29.2.1 垂直于弦的直径 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册

29.2.1 垂直于弦的直径 教学设计 课题 垂直于弦的直径 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时（29.2共4课时：29.2.1垂直于弦的直径、29.2.2圆心角、29.2.3圆周角第1、2课时；本章共10课时） 课型 新授课 教学目标 1. 充分认识圆的轴对称性，利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理，并能运用它进行简单的证明、计算和作图；2. 让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力；3. 通过垂径定理在实际问题中的应用，体会数学与生活的密切联系，发展应用意识，渗透“由特殊到一般”“化归”的数学思想。 教学重点 垂直于弦的直径的性质（垂径定理）及其应用。 教学难点 垂径定理的证明；垂径定理的题设与结论的区分，以及“知二推三”的灵活运用。 教学方法 情境教学、实验探究、启发引导、讲练结合 教学准备 多媒体课件、圆形纸片、圆规、直尺 课后练习 教材本节课后练习第 1～3 题。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 温故知新 一、情境导入，温故知新 【情境引入】教师多媒体展示赵州桥图片： 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为 37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 【回顾】什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？（线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形……）圆是轴对称图形吗？ 【师生活动】学生回顾轴对称图形的概念并举例，教师追问引出本课任务——研究圆的轴对称性及垂直于弦的直径的性质，板书课题． 学生回顾轴对称图形的概念并举例，观察赵州桥图片，带着“如何求桥拱半径”的疑问进入新课。 从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出；通过复习强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基. 二、实验探究 建构定理 二、实验探究，建构定理 1. 探究圆的轴对称性 问题1：在纸上任意画一个⊙O，以⊙O 的一条直径为折痕，把⊙O 折叠，你发现了什么？ 预设答案：①圆是轴对称图形；②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 【师生活动】教师提问，学生拿出事先准备好的圆形纸片动手操作、观察，充分交流后教师汇总补充，并用多媒体动态展示． 【追问】你能证明上面的结论吗？ 如图，设 CD 是⊙O 的任意一条直径，A 为⊙O 上点 C、D 以外的任意一点，求证：点 A 关于直线 CD 的对称点仍在⊙O 上． 证明：如图，过点 A 作 AA′⊥CD，交⊙O 于点 A′，垂足为 M，连接 OA、OA′． 在 △OAA′ 中，∵OA＝OA′，∴△OAA′ 是等腰三角形．又∵AA′⊥CD，∴AM＝MA′，即 CD 是 AA′ 的垂直平分线．∴点 A′ 与点 A 关于直线 CD 对称，点 A′ 也在⊙O 上． 【归纳】圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 2. 探究垂径定理 问题2：在折叠⊙O 后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点 A、B，把折叠的圆摊平，那么折痕 CD 是直径，点 A、B 是关于直线 CD 的一对对应点，连接 AB 得弦 AB．这时直径 CD 与弦 AB 有怎样的位置关系？ 猜想：CD⊥AB．事实上，连接 OA、OB，易得 △AOB 是等腰三角形，再结合 AE＝EB，由等腰三角形三线合一即可得到 CD⊥AB． 问题3：直径 CD 把劣弧分成 AC 与 CB 两部分，把优弧分成 AD 与 DB 两部分，这时 AC 与 CB、AD 与 DB 各有怎样的关系？ 预设答案：AC＝CB；AD＝DB． 【归纳】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 【师生活动】教师带领学生分析垂径定理的题设与结论，并结合图形把文字语言转化为数学语言： 题设（左）与结论（右） 【想一想】下列图形是否具备垂径定理的条件？ 预设答案：（1）（3）满足；（2）（4）不满足．对不具备条件的图形，引导学生说出原因并总结：定理中“直径”并不是必要条件，只要满足“过圆心”即可．追问：怎样修改图（2）（4）能够满足垂径定理的条件？ 3. 探究垂径定理的推论 问题4：当直径 CD 平分一条弦 AB（不是直径）时，能否得出 CD⊥AB？ 【师生活动】教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明，并用文字语言描述所得结论，得出垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【追问】为什么强调“不是直径”呢？ 预设答案：圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直． 【想一想·辨析】下列说法：①垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧；②平分弦的直径垂直于弦；③平分一条直径的弦必垂直于这条直径．其中错误的说法有（　　） A．0 个　　　B．1 个　　　C．2 个　　　D．3 个 解析：①错误，“垂直于弦的直线”不一定过圆心，须是“垂直于弦的直径”才平分弦；②错误，缺少“弦不是直径”的条件，圆的任意两条直径互相平分但不一定垂直；③错误，平分一条直径的弦必过圆心，即该弦必是直径，而两条直径互相平分但不一定垂直．故错误的说法有 3 个． 答案：D 【延伸】垂径定理及其推论中蕴含五个条件：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．垂径定理是①②推出③④⑤；垂径定理的推论是①③推出②④⑤．五个条件中任意知道两个，就能推出其余三个（知二推三）． 学生动手折纸、观察并归纳圆的轴对称性；仿照证明思路验证猜想，经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”全过程；辨析四个图形是否满足定理条件；探究推论并完成辨析题，理解五个条件“知二推三”. 让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性；通过证明引导学生思考，使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程；巩固垂径定理的内容，锻炼学生把文字语言转化为数学语言的能力；引导学生思考、证明和总结，得出垂径定理的推论；在已有知识的基础上适当延伸拓展，使学生理解五个条件可以知二推三，锻炼思维的灵活性与严谨性. 三、学以致用 典例精讲 三、学以致用，典例精讲 【例1】如图，⊙O 的半径为 5 cm，弦 AB 为 6 cm，求圆心 O 到弦 AB 的距离． 解：如图，连接 OA，过圆心 O 作 OE⊥AB，垂足为 E． ∴，（cm）．又 OA＝5 cm，∴在 Rt△OEA 中， m（cm）． ∴圆心 O 到弦 AB 的距离是 4 cm． 【例2】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）． 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交弧AB 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD＝7.23 m．由垂径定理，得 m（m）． 设⊙O 的半径为 R m．在 Rt△AOD 中，AO＝R，OD＝R−7.23，AD＝18.5．由勾股定理，得 m，即 m， 解得 R≈27.3．因此，赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m． 【方法点拨】垂径定理的基本图形中，半径 r、弦心距 d、半弦 h 构成直角三角形，满足 （h 为半弦长），常与勾股定理联用，实现“弦长、弦心距、半径”知二求三． 学生在教师引导下分析例1 的辅助线作法（连半径、作弦心距），独立完成计算；例2 先由学生尝试把赵州桥问题抽象为数学图形，再师生共同完成“设未知数—列方程—解方程”的全过程. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识，培养学生解决问题的能力；例2 把实际问题转化为数学问题，再利用垂径定理、勾股定理等知识进行解答，发展应用意识，锻炼实践能力；渗透“半径、弦心距、半弦”直角三角形模型. 四、随堂训练 反馈巩固 四、随堂训练，反馈巩固 （1）在⊙O 中，若直径 CD⊥AB 于点 M，则下列结论不正确的是（　　） A．AM＝BM　　　B．弧AC＝弧BC　　　C．AM＝OM　　　D．CM＝DM 解析：由垂径定理，得 AM＝BM、弧AC＝弧BC、CM＝DM 均成立；而 AM 与 OM 之间没有必然的数量关系．故选 C． 答案：C （2）点 P 是⊙O 内一点，过点 P 的最长弦的长为 10 cm，最短弦的长为 6 cm，则 OP 的长为（　　） A．3 cm　　　B．4 cm　　　C．5 cm　　　D．6 cm 解析：过点 P 的最长弦是直径，故⊙O 的半径为 5 cm；过点 P 的最短弦是垂直于 OP 的弦，其半弦长为 3 cm．在 Rt△OAP 中，（cm）．故选 B． 答案：B （3）在半径为 4 cm 的⊙O 中，有长为 4 cm 的弦 AB．计算：①点 O 与 AB 的距离；②∠AOB 的度数． 解：①如图，过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 C，连接 OA．由垂径定理，得 AC＝2 cm．在 Rt△AOC 中，由勾股定理，得， 解得 （cm），即点 O 与 AB 的距离为 cm． ②如图，连接 OB．∵OA＝OB＝AB＝4 cm，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB＝60°． （4）如图，点 A、B 是⊙O 上两点，AB＝10 cm，点 P 是⊙O 上的动点（与 A、B 不重合），连接 AP、BP，过点 O 分别作 OE⊥AP 于 E，OF⊥PB 于 F，求 EF 的长． 解：在⊙O 中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF 是 △ABP 的中位线，∴（cm），即 EF 的长为 5 cm． （5）已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点．求证：AC＝BD． 证明：如图，过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，则 AE＝BE，CE＝DE． ∴AE−CE＝BE−DE，∴AC＝BD． （6）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点 O 是这段弧所在圆的圆心，C 是弧AB 上一点，OC⊥AB，垂足为 D，AB＝300 m，CD＝50 m，则这段弯路的半径是　　　　　　m． 解析：∵OC⊥AB，AB＝300 m，∴（m）．设半径为 R m，根据勾股定理可列方程 ，解得 R＝250．故答案为 250． 答案：250 学生独立完成（1）～（3）并集中订正；（4）（5）由学生板演证明过程，其余学生补充纠错；（6）体会垂径定理在生活中的应用，教师巡视点拨. 通过随堂练习进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果；（2）题深化“最长弦是直径、最短弦垂直于 OP”的结论；（4）题综合垂径定理与三角形中位线；（5）题训练垂径定理在同心圆中的证明应用；（6）题将实际问题转化为数学问题，让学生经历运用知识解决问题的过程，获得成功体验. 五、课堂小结 梳理提升 五、课堂小结，梳理提升 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？（2）垂径定理的推论是什么？推论和定理的区别在哪里？（3）结合图形说一说，什么是弦、直径、弧、弦心距？ 【归纳】①圆的轴对称性：任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；②垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；③推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④五个条件“知二推三”：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧；⑤基本图形模型：半径 r、弦心距 d、半弦 h 构成直角三角形，． 学生复述垂径定理及其推论，辨析定理与推论的条件差异，同桌互查“知二推三”的对应关系。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 六、布置作业 课后拓展 六、布置作业，课后拓展 教材本节课后练习第 1～3 题． 提示：遇到弦长计算，先作“垂直于弦的直径”构造直角三角形；实际应用题先把实物抽象为圆与弦的基本图形． 课后独立完成，计算题写出“作弦心距—垂径定理—勾股定理”三步，应用题画出示意图并标注数据。 巩固垂径定理及其应用，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和作图规范性. 板书设计 垂直于弦的直径 一、圆的轴对称性 任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 二、垂径定理 CD⊥AB 且 CD 过圆心 → AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 三、推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 四、五条件知二推三 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧 五、基本图形 半径 r、弦心距 d、半弦 h 构成直角三角形（勾股定理） 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $