精品解析：河北廊坊市三河市第一中学2026-2027学年高二年级上学期第一次阶段测试数学试题

高二年级第一次阶段考数学试题 一、单选题 1. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点连线的斜率公式可求得该直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 2. 若，，三点共线，则实数a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 3. 已知直线和垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线的位置关系求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 4. 下列直线中与直线平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 5. 点到直线的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点到直线的距离是. 6. 已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，所以， 故以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 7. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆心与切点连线和切线垂直可求出切线斜率，再根据点斜式可得答案. 【详解】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A 8. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 二、多选题 9. 关于直线，下列说法正确的有（    ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线不经过第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方程一般式求出斜率及倾斜角可判断A，B选项；将直线化为截距式可判断C，D选项. 【详解】由直线，得，所以直线的斜率为，A错误； 设直线的倾斜角为，则，，所以直线的倾斜角为，B正确； 令，得，所以直线在轴上的截距为，故C正确； 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故直线不经过第一象限，D正确. 10. 已知直线：，圆：，则（ ） A. 圆的半径为 B. 圆心坐标为 C. 当直线平分圆时， D. 当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D. 【详解】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. 11. 已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. ，，，四点可能共圆 C. 为直角三角形 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A直接由椭圆的几何性质计算可得；对B根据点的对称可知，若四点共圆则圆心必在原点，再由，再结合对称性可知四点不共圆；对C，设，由三角形面积关系得，再通过解方程可得，进而可得，从而可判断C，再由直角三角形中边角关系可得，由基本不等式可得最小值，可判断D选项. 【详解】因为椭圆（）满足 ，结合椭圆关系， 代入得：，即，所以，因此离心率​​，选项A正确. 设，由椭圆关于原点对称得 ；轴则. 所以​，由题意. 设 ，的面积也可表示为， 所以，得，即. 由，椭圆方程可写为， 又因为直线过和，斜率， 直线方程为，代入椭圆方程，， 结合，得，，， ，， ，， ，解得或. 所以，代入得，即， 所以， 又因为，所以，即，因此， 所以为直角三角形，故C正确. 由是直角，所以在直角三角形中， 又因为， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，D正确.  对选项B，，若四点共圆， 则圆心必在弦的垂直平分线 轴上，也在弦的垂直平分线上，且的垂直平分线过原点， 因此圆心必在轴与弦的垂直平分线的交点，即原点. 所以圆的半径，圆的方程为. 又因为在椭圆上，也在圆上， 联立，显然方程组无解，故不存在， 所以，，，四点不可能共圆，故B错误. 三、填空题 12. 直线与直线的交点的坐标为________________. 【答案】 【解析】 【分析】联立两直线方程，求解即得. 【详解】联立方程得：， 解得：， 所以交点坐标为 故答案为： 13. 已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，结合圆心在上，列出方程组，求出圆心和半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 由题意得：，解得：， 故所求圆的方程为，即． 故答案为：． 14. 已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由余弦定理可得，两式相除可得，再根据对勾函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设，由椭圆定义可得， 设，则，所以，即， 因为，所以， 即， 两式相除得：， 所以，因为，所以， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. 四、解答题 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； （2）一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； （3）焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】根据双曲线的顶点或焦点位置、渐近线方程及焦距、实轴长，结合双曲线的性质求双曲线方程. 【小问1详解】 由题设，且，则，， 又顶点在轴上，故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题设，，则， 又一个焦点为，故双曲线的标准方程为. 【小问3详解】 由题设，，又焦点在轴上，令双曲线的标准方程为， 又一条渐近线方程为，即，则， 所以双曲线的标准方程为. 16. （1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 【答案】（1）（2）（3）（4）． 【解析】 【分析】（1）设点，根据题意建立等式化简求解作答； （2）设出和点的坐标，利用中点坐标公式把点的坐标用点的坐标和常数表示，再由在定圆上，把的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案； （3）设出点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知，列出方程化简作答； （4）设出点的坐标，根据建立等式化简求解作答. 【详解】（1）设点，所以，到直线：的距离为， 由题意得，即， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为； （2）设，， 因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以， 所以． 即点的轨迹方程为，也即； （3）设，． ，，， ，整理得，即． 故点的轨迹方程为． （4）设，点，则由， 得，化简可得， 故动点的轨迹的方程为． 17. 在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求的面积； （4）求三棱锥的体积． 【答案】（1）如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系 . 则、、、、、． 所以，，． 所以，， 所以，，即，． 又，、平面，所以平面. （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，证明，，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）求出点到的距离，再结合三角形的面积公式求解即可； （4）计算点到平面的距离，再计算三棱锥体积即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设平面的一个法向量为，， 则，令，可得 ． 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ，点到的距离为， 故的面积为. 【小问4详解】 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为. 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，且，直线与椭圆交于两点，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）若直线与轴的交点为，且与四边形的面积比值为，求实数的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由离心率条件和左右顶点距离确定，再由求出； （2）直线方程代入椭圆消去得关于的二次方程，利用韦达定理求两根之差的绝对值，面积等于底（直线与轴交点到原点距离）乘以高（纵坐标差）的一半； （3）由面积比关系转化为两三角形面积比，利用同底（都在轴上）将面积比转化为纵坐标之比，得到与的关系，再联立直线与椭圆，通过韦达定理建立方程求解. 【小问1详解】 由题知， ， 又有， 解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 当时，联立与椭圆可得， 则， 所以． 所以． 【小问3详解】 由已知得点， 又与四边形的面积比值为， 所以与的面积比值为， 又，且与同号， 则， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得， 则，即， 解得或，且， 联立得，所以． 19. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. （1）求椭圆的方程. （2）若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. （3）在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 【答案】（1） （2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去整理得， 则，，， 而，则， 因此 ， 解得， 所以直线恒过定点. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆四个顶点围成的菱形周长和面积公式，即可求解椭圆参数； （2）利用设直线与椭圆联立方程组，由于转化为坐标关系式为，此时消元，即可求出，从而可得出定点坐标. （3）利用上述消元思想，可得点横坐标为定值，即可表示点纵坐标，同理可求得点横坐标也为定值，即可表示点纵坐标，从而可表示，再求最小值. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形为菱形， 由，，得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，得， 直线的方程为，直线的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第一次阶段考数学试题 一、单选题 1. 已知直线过、两点，则该直线的斜率为（     ） A. B. C. D. 2. 若，，三点共线，则实数a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知直线和垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 下列直线中与直线平行的是（ ） A. B. C. D. 5. 点到直线的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6. 已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 圆在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 关于直线，下列说法正确的有（    ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 直线不经过第一象限 10. 已知直线：，圆：，则（ ） A. 圆的半径为 B. 圆心坐标为 C. 当直线平分圆时， D. 当直线与圆相切时， 11. 已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. ，，，四点可能共圆 C. 为直角三角形 D. 的最小值为 三、填空题 12. 直线与直线的交点的坐标为________________. 13. 已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为__________． 14. 已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在轴上，焦距为，离心率是 ； （2）一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为； （3）焦点在轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12； 16. （1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 17. 在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求的面积； （4）求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右顶点，且，直线与椭圆交于两点，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）若直线与轴的交点为，且与四边形的面积比值为，求实数的值． 19. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. （1）求椭圆的方程. （2）若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. （3）在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $