精品解析：吉林省长春吉大附中实验学校2026-2027学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷

2026-2027学年上学期高三年级 第一次摸底考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，，， 所以， 故选：D． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解. 【详解】由，可得或， 当时，此时，即充分性不成立； 反之当时，，其中可为，此时，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和求，由正弦定理即可求. 【详解】因为，， 所以， 由得. 故选：B 5. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模的公式得，再求模即可. 【详解】解：因为，，， 所以，， 所以，. 又， 所以. 故选：C 6. 已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先利用三角恒等变换化简函数，并得到函数，并求函数的零点，利用函数在上只有三个零点，列不等式求参数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得， 所以或， 即或，则或， 则非负根中较小的有：； 因为函数在上只有三个零点， 所以，解得. 故选:A 【点睛】方法点睛：求三角函数的值域，单调性，周期，零点等性质时，常常要通过三角恒等变换先求函数的解析式或的性质，首先将“”视为一个整体，然后结合或的图象和性质，去研究函数的性质，研究与三角函数相关零点问题时，函数图象的交点问题，方程根问题时，往往需要先画出三角函数的图象，在进行探索研究. 7. 已知直线分别与曲线和切于点，，且与轴交于点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设点，，利用导数求出两条曲线的切线方程，根据两条直线重合可得两条直线的斜率截距均相等，从而可求得斜率，再根据可知是中点，利用纵坐标关系列出方程解出的值，最后检验即可． 【详解】设点，， 由于的导数，的导数， 故过的切线为，即， 过的切线为，即， 因此， 设，故，， 故，故，因此， 由得，所以，进而，所以， 因此切线的方程为，令，得， 因为，所以，解得， 当时，，，切线，， ，，因此满足条件． 8. 已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先设出几何图形，确定给定向量的位置，结合给定条件得到，再对的取值进行讨论，求解最值即可. 【详解】设，，，所以， 因为，所以，即， 因为与的夹角为，所以， 因为，，， 所以，故， 如图，取中点，作，作，连接， 因为，所以，故，， 由向量中线定理得， 所以， 故， ， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 故， 由可得， 故 ， 即，解得，故， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上， 由题意得，而， 当且仅当时，， 此时， 由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等， 在直角三角形中，所以，故， 代入数据得，解得， 此时，即的最小值是， 当时，，此时的终点不在， 通过平移，使其终点到达，同时设起点为， 此时三点共线，所以， 所以， 由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等， 在直角三角形中，所以，故， 代入数据得，解得， 此时，即的最小值是， 综上，的最小值是，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是作出图形，利用给定条件得到，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的最值即可． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】，当且仅当，即时取等号，由于，所以，A正确， 由于，，当且仅当且时，即时取等号，由于，所以，B正确， 由以及可得， 当且仅当，即时取等号，由于，所以，故C正确， ，当且仅当，即时取等号，由于，所以D错误， 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 11. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，，为三条边长，则 D. 若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据糖水不等式逐项判断即可. 【详解】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误. B.，故B正确. C.，故C正确. D.，，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）是奇函数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， 又函数是奇函数，所以对任意均成立， 即对任意均成立， 所以对任意均成立， 所以，所以，所以，解得. 13. 已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】由，， 则， 故，， ， 由，所以. 14. 已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据高斯函数运算可得，然后可得的值域，然后取交集即可. 【详解】设， 则有 当时，有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 3 0 1 2 4 5 6 此时，的所有可能值为， 当时，； 故的值域， 即个位数为的数字，与的交集有： ， 共个元素， 加上5个元素，则共有个元素， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由， 有，即， ，， ，； 【小问2详解】 由（1）的结论有， 又，， 由三角形面积公式有 ，， 在中，由余弦定理有 ，， 的周长. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，化简后分析导数的符号，根据分母和分子正负确定单调区间； （2）由第一问的单调性可知函数在给定区间上的最大值和最小值，分别出现在端点或极值点处，计算后得到最大差值，从而可确定的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 由， ，所以在上的最大值为， 所以对任意的，, 故a的取值范围是． 17. 已知数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到； （2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域； （3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值. 【小问1详解】 由题意，函数 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得. 故 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象. 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象. 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. 【小问3详解】 由方程，即，即， 因为，可得， 设，其中，即，结合正弦函数的图象， 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即 解得 所以. 综上， 【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题； （2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法； 18. 在中，，为边上一点，且，. （1）若，求： ①； ②的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）（i）已知，，可求得的大小；在中，利用正弦定理可得，即可得；（ii）根据已知边、角关系，先求出，的长度，再利用三角形面积公式计算的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，，则，且为锐角， 在中，由正弦定理得，解得， 且，可得，则； （ii）因为，，， 所以， 又因为，可得. 且， 则， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， 则， 因为，则，且， 可得 ， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，对于任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，若关于的方程有两个不同的根， ①求的范围； ②当最小时，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意得对任意恒成立，令，利用二次求导，分类讨论可求得的取值范围； （2）①将问题转化为在上有两个不同的非零零点，根据导函数研究其单调性，最后根据零点存在性定理即可得出；②令，通过，先研究函数的单调性，再研究的最小值，利用两者最小值的一致性，可得的值，即可通过求的值. 【小问1详解】 当时，， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以对任意恒成立，所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，求导得. 令，求导得, 当时，，所以在上单调递增， 又，所以，所以在上单调递增， 又，所以恒成立，符合题意； 当时，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递减， 又，所以， 所以对任意不恒成立，故不符合题意； 综上所述：的取值范围为； 【小问2详解】 ①当时，关于的方程有两个不同的根， 则在上有两个不同的非零零点， 因，故只需在上有两个不同的零点即可， 求导得， 当时，，则在上单调递增， 则在上至多存在一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 由，得；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 则在上恒成立， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以，则， 则当时，； 当时，， 则由零点存在性定理可知在和上各有一个零点， 综上可知，的范围为. ②因，结合的单调性可知， 由①可知是的两个根，即， 两式相减得， 令，则，则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 故欲求的最小值，只需求的最小值，即的最小值， 令，则， 令，则，则在上单调递增， 又，，则，使得，即， 则由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时取最小值，取最小值，取最小值， 此时， 综上所述，当最小时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期高三年级 第一次摸底考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知向量满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线分别与曲线和切于点，，且与轴交于点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 11. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若，，为三条边长，则 D. 若，，为三条边长，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）是奇函数，则________． 13. 已知，若，，则_____． 14. 已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，，求的取值范围． 17. 已知数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 18. 在中，，为边上一点，且，. （1）若，求： ①； ②的面积； （2）求的取值范围. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，对于任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，若关于的方程有两个不同的根， ①求的范围； ②当最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $