精品解析：江西省抚州市南丰县第一中学等十校联考2026-2027学年高二上学期数学阶段作业

2026—2027学年下学期高二数学学科阶段性作业 说明：1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，根据公式即可求出倾斜角. 【详解】易知直线的斜率，所以， 又因为，所以. 故选：B. 2. 如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案. 【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 所以． 故选：D. 3. 已知两条直线 ，“”是“直线”（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，根据的取值进而验证即可求解. 【详解】当时，，解得， 所以，所以是直线的充分不必要条件. 4. 设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）． A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA， 即 k≥，或 k≤，∴，或 k≤-4， 即直线的斜率的取值范围是或 ，故选A． 5. 平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 0条 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，1为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】依题意，与点的距离为1的直线始终与以点为圆心，1为半径的圆相切， 而此直线与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又圆的圆心，半径为2，显然， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数是3. 故选：B 6. 直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为( ) A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 7. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 8. 在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解 【详解】 如图，设设，，则由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式联立可得，则，则， 对，由余弦定理可得， 则 ， 当时，有最大值，，所以， 故选：C 【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题， 本题中的角平分线性质可当结论进行识记：为的角平分线，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 若方程表示椭圆，则m的值可以为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】ACD 【解析】 【详解】方程表示椭圆， ，解得且， 结合选项，故m的值可以为ACD． 10. 已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 11. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ） A. 对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B. 函数是圆的一个太极函数； C. 存在圆，使得是圆的太极函数； D. 直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D. 【详解】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足， 显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误； 对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象， 即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称， 因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确； 对于C，的定义域为，且， 即为奇函数，图象关于对称， 若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上， 因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误； 对于D，直线，即， 由，解得，则直线恒过定点， 显然直线经过圆的圆心， 该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确， 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意将问题分直线过原点和不过原点两种情况求解，然后结合待定系数法可得到所求的直线方程． 【详解】（1）当直线过原点时，可设直线方程为， ∵点在直线上， ∴， ∴直线方程为，即． （2）当直线不过原点时，设直线方程为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线方程为，即． 综上可得所求直线方程为或． 故答案为或． 【点睛】在求直线方程时，应先选择适当形式的直线方程，并注意各种形式的方程所适用的条件，由于截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，分为直线过原点和不过原点两种情况求解．本题考查直线方程的求法和分类讨论思想方法的运用． 13. 如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】与椭圆两个焦点有关的问题，一般以回归定义求解为上策，抓住△PF1F2为直角三角形建立 等式关系． 【详解】∵△POF2是面积为的正三角形， ∴S=|PF2|2=，|PF2|=2． ∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=， 所以. 故答案为． 【点睛】本题考查了椭圆的基本量，关键是抓住图形特征建立等式关系． 14. 已知点，点F是直线l:上的一个动点，当最大时，过点M，N，F的圆的方程是__________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C（2，a），当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆与直线y=x-3相切． ∴， ∴a=1或9， a=1时，r=，∠MCN=90°，∠MFN=45°， a=9时，r=，∠MCN＜90°，∠MFN＜45°， 则所求圆的方程为 考点：圆的标准方程 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设椭圆的左，右焦点是，，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的上顶点坐标及离心率列方程组求解即可. （2）根据椭圆的定义及余弦定理求出，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，解得. 故椭圆的方程为 【小问2详解】 由（1）知，所以 . 又为椭圆上一点，所以， 在中，由余弦定理，得， 即①. 将平方，得 ②. ①—②，整理得， 所以. 16. 在中，已知点，点在直线上. （1）若点的坐标为，求边上的高线所在的直线方程； （2）求周长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线的斜率，再根据垂直关系求边上的高线的斜率，由点斜式即可得高线所在的直线方程； （2）先求点关于直线的对称点为，再由结合两点间的距离公式求得的最小值. 【小问1详解】 直线的斜率为 所以边上的高线的斜率为， 得边上的高所在的直线方程为，即 【小问2详解】 因为，所以 的周长 设点关于直线的对称点为，则 解得，所以点关于直线的对称点为， ， 当且仅当三点共线时取等号. 的周长的最小值为. 17. 已知过点的直线与圆相交于A，B两点. （1）若，求直线AB的方程； （2）设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径； （1）当直线斜率不存在时可知不满足题意，由此可设方程为，利用垂径定理可构造方程求得，进而得到直线方程； （2）由圆的性质可知，利用平面向量坐标运算可表示出所满足的方程，通过在圆内可确定的取值范围，进而得到结果. 【详解】将圆方程整理为：，则圆心，半径， （1）若过点的直线斜率不存在，则方程为，此时直线与圆无交点，不合题意， 过点的直线斜率存在，设直线方程为，即， 则圆心到直线距离，，解得：， 直线的方程为：或. （2）由圆的性质可知：，即. 设，则，， ，整理可得：， 由得：， 为圆的弦的中点，在圆内，即， 点的轨迹方程为. 【点睛】本题考查直线与圆知识的综合应用，涉及到根据直线被圆截得的弦长求解直线方程、动点轨迹的求解问题；易错点是在求解动点轨迹时，忽略动点所满足的约束条件，从而造成轨迹求解错误. 18. 已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程； （2）若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； （3）过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在满足条件的，且坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离，结合待定系数法即可求解圆心， （2）根据四点共圆可得圆方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标关系可得切线方程，进而可得直线方程， （3）根据斜率和为0，结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解. 【小问1详解】 设圆心的坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 法1：由条件可知四点共圆，且直径，记为圆， 则,半径， 所以圆的方程为， 因为圆的方程为， 两圆方程相减可得，所以直线的方程为； 法2：设，设直线上任意不同于点的点为， 根据,可得切线的方程为， 因为在直线上，所以， 同理， 从而直线的方程为，即； 【小问3详解】 设存在点满足条件，由题可设直线，， 由，得， ∵点在圆内部，∴恒成立，则， 因为，所以，即， 即是，整理得， 从而，化简有， 因为对任意的都要成立，所以， 由此可得假设成立，存在满足条件的，且坐标为． 19. 设是定义在上的函数，且，对任意，，若经过点、的直线与轴的交点是，则称为、关于函数的平均数，记为. （1）若，求的表达式； （2）若，求出所有满足条件的的解析式； （3）若对任意，，且，都有成立，求证：. 【答案】（1）；（2）（，为常数且）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用、、三点共线，结合斜率公式可求得的表达式，即为所求； （2）利用点、、三点共线，结合斜率公式可得出，进而可得出函数的解析式； （3）利用点斜式可求得经过点、的直线方程，可求得，由可推导出函数在上为增函数，进而可得出，，然后利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】（1），由于点、、三点共线， 即点、、三点共线，由斜率公式可得， 因此，； （2），由已知，、、三点共线， 由斜率公式可得，即， 整理可得， 对任意的正实数、且，成立， 即对任意的，为常数， 由于，可设（其中为常数且）， 所以，（，为常数且）； （3）记点、、， 直线的方程为， 直线与轴的交点是，可得， 所以，， 对任意，，且都有. 则，即， 整理可得， 即，则， 设，则，所以，函数在上为增函数， 所以，，可得，同理可得， 由不等式的基本性质可得. 因此，对任意，，且都有成立，. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解本题的关键在于利用三点共线结合斜率公式求出关于、的表达式，在求解本题的第（3）问，要充分结合条件推导出函数在上为增函数，进而结合函数的单调性与不等式的基本性质来证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年下学期高二数学学科阶段性作业 说明：1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线 ，“”是“直线”（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 4. 设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）． A. 或 B. C. D. 或 5. 平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 0条 6. 直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为( ) A. 4 B. 8 C. D. 7. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 在中，的平分线交于点，则的面积的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 若方程表示椭圆，则m的值可以为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 11. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（ ） A. 对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B. 函数是圆的一个太极函数； C. 存在圆，使得是圆的太极函数； D. 直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程为__________． 13. 如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________. 14. 已知点，点F是直线l:上的一个动点，当最大时，过点M，N，F的圆的方程是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设椭圆的左，右焦点是，，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求的面积． 16. 在中，已知点，点在直线上. （1）若点的坐标为，求边上的高线所在的直线方程； （2）求周长的最小值. 17. 已知过点的直线与圆相交于A，B两点. （1）若，求直线AB的方程； （2）设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程. 18. 已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． （1）求圆的标准方程； （2）若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； （3）过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 设是定义在上的函数，且，对任意，，若经过点、的直线与轴的交点是，则称为、关于函数的平均数，记为. （1）若，求的表达式； （2）若，求出所有满足条件的的解析式； （3）若对任意，，且，都有成立，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $