28.2.3 关于原点对称的点的坐标（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

**口诀：** 关于 x 轴，**纵变号**；关于 y 轴，**横变号**；关于原点，**横纵都变号**。 **4. 几何意义：** 关于原点对称的两点，其连线**经过原点且被原点平分**（原点是对称中心），两点的位置关于原点中心对称，分别落在相对的两个象限（如第一、三象限，或第二、四象限）。 --- ## 二、基础过关（直接写坐标） **1. 求下列点关于原点对称的点的坐标：** （1）A(3, 5)；（2）B(−2, 4)；（3）C(6, −1)；（4）D(−4, −3)；（5）E(0, 7)。 **2. 填空：** 点 P (2, 3) 关于 x 轴对称的点为____，关于 y 轴对称的点为____，关于原点对称的点为____。 **3. 判断下列说法是否正确：** （1）关于原点对称的两点横、纵坐标互为相反数； （2）点 (1, 2) 与 (−1, −2) 关于原点对称； （3）点 (a, b) 关于原点的对称点是 (a, −b)。 --- ## 三、能力提升（求字母的值） **4. 已知点 P (a, 5) 与 Q (3, b) 关于原点对称，求 a、b 的值。** **5. 已知点 A (2m, −3) 与 B (6, n+1) 关于原点对称，求 m、n 的值。** **6. 若点 M (3, −2) 关于原点对称的点是 N，且点 N 关于 x 轴对称的点是 N′，求 N′ 的坐标。** **7. 已知点 P (x, y) 在第二象限，且点 P 关于原点的对称点 P′ 在第四象限。请说明理由。** --- ## 四、综合应用（图形与坐标） **8. 如图，△ABC 的三个顶点分别为 A (2, 1)、B (−1, 3)、C (0, −2)。求它关于原点对称的三角形 A′B′C′ 的各顶点坐标。** **9. 已知平行四边形 ABCD 的对角线交于原点 O，顶点 A (1, 2)、B (3, 1)、C (−1, −2)。求顶点 D 的坐标。** **【点拨】** 平行四边形是中心对称图形，原点 O 是对称中心。由 A 与 C 关于原点对称验证（1,2)→(−1,−2) 成立；则 B (3,1) 关于原点的对称点即 D，故 D (−3, −1)。 **10. 点 P (4, −3) 关于原点对称的点为 P′，求线段 PP′ 的长，并说明 PP′ 被原点如何分割。** --- ## 五、易错辨析（改错） **11. 指出错误并改正：** 小明说：“点 (2, −3) 关于原点对称的点是 (2, 3)，因为原点对称只改变符号一次。” **答：** 错误。关于原点对称，**横、纵坐标都要变号**，(2, −3) 的对称点应为 (−2, 3)。(2, 3) 是 (2, −3) 关于 **x 轴**对称的点，混淆了两种对称。 **12. 判断：点 (a, b) 与 (−a, −b) 一定关于原点对称。这个说法是否正确？若 a、b 中有一个为 0，还成立吗？** **13. 判断：若两点关于原点对称，则它们到原点的距离一定相等。是否正确？** --- ## 六、挑战题（压轴） **14. 在平面直角坐标系中，点 A (3, 4)、B (−3, −4)。** （1）判断 A、B 是否关于原点对称，并说明理由； （2）求线段 AB 的中点坐标； （3）求线段 AB 的长。 **15. 已知点 M (m, 2m) 与点 N (−3, n) 关于原点对称。** （1）求 m、n 的值； （2）点 M 在第几象限？点 N 在第几象限？ **16. 综合题：** 点 P 在第一象限，其关于原点对称的点 P′ 在第三象限。若点 P 到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，求点 P、P′ 的坐标，并写出 P′ 到 x 轴、y 轴的距离。 --- ## 参考答案 1.（1）A′(−3,−5)；（2）B′(2,−4)；（3）C′(−6,1)；（4）D′(4,3)；（5）E′(0,−7)。 2. 关于 x 轴：(2,−3)；关于 y 轴：(−2,3)；关于原点：(−2,−3)。 3.（1）对；（2）对；（3）错，应为 (−a,−b)。 4. a=−3，b=−5。 5. 由 2m=−6 得 m=−3；由 −3=−(n+1) 得 n+1=3，n=2。 6. N (−3,2)，N′(−3,−2)。 7. 第二象限的点横负、纵正，关于原点对称后横正、纵负，恰为第四象限点。 8. A′(−2,−1)、B′(1,−3)、C′(0,2)。 9. D (−3,−1)。 10. P′(−4,3)；PP′ 长 = √[(4+4)²+(−3−3)²] = √(64+36) = 10；原点 O 是 PP′ 的中点，OP=OP′=5，被原点平分。 12. 正确，两点横纵坐标互为相反数即关于原点对称；即使 a 或 b 为 0 仍成立（如 (0,b) 与 (0,−b)）。 13. 正确，关于原点对称的两点到原点距离相等（距离 = √(x²+y²) 不变）。 14.（1）是，横纵都互为相反数；（2）AB 中点 = 原点 (0,0)；（3）AB = √[(3+3)²+(4+4)²] = √(36+64) = 10。 15.（1）m=−3，n=−6；（2）M (−3,−6) 在第三象限，N (3,−6) 在第四象限。 16. P (3,4)，P′(−3,−4)；P′ 到 x 轴距离 4，到 y 轴距离 3。 --- **说明：** 本练习紧扣 28.2.3「关于原点对称的点的坐标」—— 坐标规律（横纵都变号）、与关于坐标轴对称的区分、由对称性求字母值、在图形与距离中的应用，基础到综合共 16 题、约 1500 字。需要我把三种对称（x 轴、y 轴、原点）做成一张对比表合并交付，或继续下一节内容吗？ 今天 12:03 本地电脑 项目 按需确认 技能 插件 自动低 人教版（新教材）数学九年级上册 28.2.3 关于原点对称的点的坐标 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十八章 旋转 复习回顾 1.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？ A (3, 2) B (0, −2) C (−3, −2) D (−3, 0) E (−1.5, 3.5) F (2, −3) 第一象限 y轴上 第三象限 x轴上 第二象限 第四象限 微专项 2.（1）你能说出点P关于x轴对称点的坐标吗？ O −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 y x P(−3, 2) 思考：关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系？ A(−3, −2) 结论：在平面坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数. 2.（2）你能说出点P关于y轴对称点的坐标吗？ O −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 y x P(−3, 2) A(−3, −2) B(3, 2) 思考：关于y轴对称的点的坐标具有怎样的关系？ 结论：在平面坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在平面直角坐标系中，标出下列各点，并作出它们关于原点O的对称点，写出对称点坐标， 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 O E B C A D A' B' C' D' E' 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 A(4，0)、B(0，-3)、C(2，1)、D(-1，2)、E(-3，-4)。 ① 点在x轴正半轴，绕原点旋转180°， 落在x轴负半轴，对称点； ② 点在y轴负半轴，绕原点旋转180°， 落在y轴正半轴，对称点； ③ 点在第一象限，绕原点旋转180°， 落在第三象限，对称点； ④ 点在第二象限，绕原点旋转180°， 落在第四象限，对称点； ⑤ 点在第三象限，绕原点旋转180°， 落在第一象限，对称点。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 x y 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 O E B C A D A' B' C' D' E' 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 点A(4，0)、B(0，-3)、C(2，1)、D(-1，2)、E(-3，-4)与它们关于原点O的对称点的坐标有什么规律？ 规律：一个点关于原点O的对称点的横坐标、纵坐标均变为原数的相反数； A(4,0) B(0,-3) C(2,1) D(-1,2) E(-3,-4) 关于原点O的对称 规律： 在平面直角坐标系中，若两个点关于坐标原点对称，则这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。 公式表达： 已知点，则点关于原点对称的点为。 记忆口诀：原点对称，横纵全变号。 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 关于原点对称的点的坐标特征 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 坐标系对称两个点坐标特征 P'(-x，-y) P(x，y) 关于原点对称 P'(x，-y) P(x，y) 关于x轴对称 P'(-x，y) P(x，y) 关于y轴对称 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 易错辨析： ① x轴对称：仅纵坐标变号 ； ② y轴对称：仅横坐标变号 ； ③ 原点对称：横、纵坐标全部变号 。 1. 返回 [成都中考]在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是(　　) A．(－1，－4) B．(－1，4) C．(1，4) D．(1，－4) B 举一反三 9 返回 2. 已知点P与点Q关于原点对称，若点P在第四象限，则点Q在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 举一反三 返回 3. 如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，1)和点B(2，－1)的位置关系是(　　) A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．无法确定 A 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例1.若点 、 关于原点对称，则 等于（ ） A.-1 B.-5 C.1 D.5 解：∵关于原点对称点横、纵坐标均变相反数， ∴ =－（ ）=3， =－2 ∴ =3－（－2）= 5 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例2.已知 、 两点的坐标分别是和，则：①关于轴对称；②关于轴对称；③关于原点对称；④之间的距离为 4，其中正确的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 解：∵ 、 两点的坐标分别是和， ∴两点关于y 轴对称，故②正 确，①③错误 ∵ 、两点纵坐标相等，距离 = 横坐标差的绝对值： ∴④正确。正确的是②、④，共 2 个。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例3. 已知点 在第二象限内，且 ，， 关于原点的对称点的坐标是（ ） A.(-3,2) B.(-2,3) C.(3,-2) D.(2,-3) 解：∵ 在第二象限，， ∴ ； ∴ 关于原点对称点坐标为 。 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4 利用关于原点对称的点的坐标关系，作出与关于原点对称的图形，已知。 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 x y 1 2 3 4 -2 -1 O B A C 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 我们可以快速求出单个点关于原点的对称点，那么对于三角形如何快速画出它关于原点对称的图形？ 方法： 类比绘制图形关于x轴、y轴对称图形时，无需绘制所有点，只需找出图形的关键顶点，求出顶点对称点，连线即可得到对称图形。 求出A(-4, 1)，B(-1, -1)，C(-3, 2) 这三个点关于原点的对称点，再顺次连接。 例4 利用关于原点对称的点的坐标关系，作出与关于原点对称的图形，已知。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -5 5 x y 1 2 3 4 -2 -1 O B A C B′ A′ C′ 解：第一步确定三个顶点： ； 第二步：根据原点对称坐标规律，计算对称点坐标： 第三步：在平面直角坐标系中，描出对称点 三点； 第四步：顺次连接三点。 ∴即为关于原点对称的图形。 多边形关于原点对称图形作图四步法 第一步定点： 找出原图形的所有顶点，即关键点； 第二步求坐标： ，计算关键点关于原点的对称点坐标； 第三步描点： 在平面直角坐标系中，精准描出全部对称顶点； 第四步连线： 严格按照原图形顶点的排列顺序，顺次连接各对称点，得到所求对称图形。 核心结论：前后两个图形关于原点中心对称，形状、大小完全相同，位置关于原点旋转180°。 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例5如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（5，3）、B（1，2）、C（4，1），△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称（点A′、B′、C′的对应点分别为点A、B、C）． （1）在图中画出△A′B′C′； （2）若△ABC内部有一点P（3，2），请写出在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标． 解：（1）与△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B′C′，如图即为所求； （2）∵△A′B′C′与△ABC关于坐标原点O成中心对称， △ABC内部有一点P（3，2）， ∴在△A′B′C′中，与点P对应的点P′的坐标P′（﹣3，﹣2）． A′ B′ C′ 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例6. 在如图所示的正方形网格（小正方形的边长均为1）中， 经过 平移后得到，已知在上一点平移后的对应点为 ， 点关于原点对称的点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解： 经过平移后得到，由图可得平移方式是 ：左移4格再下3格 ∴上一点平移后的对应点为的坐标为（-1.6，-1） ∴ 点关于原点对称的点 的坐标为（1.6，1） 返回 4. 在平面直角坐标系中，将点P(3，2)向上平移2个单位长度所得到的点关于原点中心对称的点的坐标为____________． (－3，－4) 举一反三 [教材P104练习T3变式]常州中考]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是(2，1)，则点C的坐标是_____________． 返回 5. (－2，－1) 举一反三 [石家庄调研已知点A(2m，2)，B(1，－n)． (1)m，n为何值时，点A，B关于y轴对称？ 返回 6. (2)m，n为何值时，点A，B关于x轴对称？ 举一反三 (3)m，n为何值时，点A，B关于原点对称？ 返回 举一反三 返回 7. [唐山期末]如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点B，C的坐标分别为(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)点A的坐标是___________； (2)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1； (3)CC1的长是________． (－2，4) 解：△ABC关于原点对称的△A1B1C1如图所示． 举一反三 返回 8. [陕西中考]一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的解析式为(　　) A．y＝3x B．y＝－3x A 举一反三 返回 9. [廊坊期中]淇淇作点(a，6)关于原点的对称点时错看成了作关于x轴的对称点，作得的点与正确点之间的距离为4，则a的值为(　　) A．4 B．2 C．±4 D．±2 D 举一反三 26 返回 10. 在如图所示的正方形网格(每个小正方形的边长都为1个单位长度)中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4，2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则点P2的坐标为(　　) A．(－1.6，－1) B．(－1，－1.6) C．(1.6，1) D．(1，－1.6) C 举一反三 27 11. 如图，菱形ABCD的对角线的交点是原点O，若点A的坐标为(－3，－5)，点B的坐标为(10，m)，点D的坐标为(n，6)，则边CD＝________． 返回 举一反三 28 返回 12. 如图，已知抛物线C1与抛物线C2关于原点中心对称．如果抛物线C1的解析式为y＝ (x＋2)2－1，那么抛物线C2的顶点坐标是__________，解析式为_____________________． (2，1) 举一反三 29 13. 【新视角 操作实践题】在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)． (1)若△ABC和△A1B1C1关于原点O中心对称，画出△A1B1C1； (2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2； 解：(1) 如图，△A1B1C1即为所求． (2) 如图，△AB2C2即为所求． 返回 举一反三 (3)在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1的距离之和最小，并求出PB1＋PC1的最小值． 返回 举一反三 返回 微专项6 中点坐标公式及其运用 方法指导：中点坐标公式：在平面直角坐标系中，如果线段AB的两个端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么线段AB的中点P 的坐标为，所以已知A，B，P三点中任意两点的坐标，可根据上述关系求出第三点的坐标. 举一反三 1. 如图，将△ABC绕点C(0，－2)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(m，n)，则点A′的坐标为(　　) A．(－m，－n) B．(－m，－n－2) C．(－m，－n＋2) D．(－m，－n－4) D 返回 举一反三 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(0，2)，将线段AB绕点A顺时针旋转180°，则点B的对应点B′的坐标是(　　) A．(2，0) B．(2，－1) C．(2，－2) D．(－2，2) C 返回 举一反三 3. 在平面直角坐标系中，已知点A(－5，3)，C(0，1)，D(－2，3)，若线段AC与BD互相平分，则点B的坐标为_________． (－3，1) 返回 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 点关于原点对称点 （横纵全变号） 关于原点对称 的点的坐标 核心规律 基础应用 作图应用 综合应用 结合平行四边形中心对称性质 求解顶点坐标 四步法作多边形原点对称图形 （定点→求标→描点→连线） 已知点坐标，求原点对称点坐标 28.2-3 关于原点对称的点的坐标 谢谢观看 THANKS 解：∵点A，B关于x轴对称， ∴2m＝1，－2＝－n，∴m＝，n＝2. 解：∵点A，B关于y轴对称， ∴2m＝－1，2＝－n，∴m＝－，n＝－2. 解：∵点A，B关于原点对称， ∴2m＝－1，－2＝－n，∴m＝－，n＝2. 2 C．y＝x D．y＝－x y＝－(x－2)2＋1 解：. $