重庆市南开中学校2026-2027学年高二上学期数学练习(10.11）

重庆南开中学高2028届高二数学练习(10.11) 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分 钟.第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.若直线2x+ay+1=0与直线x+2y-2=0互相垂直，则实数a的值是（) A.1 B.-1 C.4 D.-4 2.已知点P(0,-1),2(2,1),且线段P2是圆M的直径，则圆M的方程为() A.（x-1)2+y2=2 B.（x-1)2+y2=8 C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y-1)2=8 3。椭圆号+1的焦点坐标为（ A.(±13,0 B.(0,±3) c.(W5,0) D.(o,±5) 4.设点P为椭圆C:二+上=1上一点，R,B分别为C的左、右焦点，且∠RPR=60°，则△PR5,的 94 面积为() A.4W3 B.2W5 C.4v3 D.23 3 3 ,已知椭圆关+艺1，直线mx+y+m-1=0,那么直线与椭圆位置关系（) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 6,已知曲线C:乏+上=1，直线I与曲线c交于A,B两点，且点P(2,1)是线段4B的中点，则直线1的 169 斜率为() 8 B. 9 A.9 C. 7.已知椭圆C:号+=1的一个焦点为P,点B,2是C上关于原点对称的两点.则1PFP6Qg的取 2516 值范围为(） A.[2,26] B.[51,52] c.[51,76 D.[52,76 试卷第1页（共4页） &,设P为精圆C草+茶=1口6>0上的动点。写，5为精圆C的焦点，I为△PR5的内心，扇直线G 和直线的斜率之积() A.是定值 B.非定值，但存在最大值 C.非定值，但存在最小值 D.非定值，且不存在最值 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于直线1：x-y+2=0,下列说法正确的有() A。直线1的顿斜角为子 B.直线1在x轴上的截距为2 C.直线1经过第一、二、三象限 D.直线l与直线x+y-1=0平行 0,已知椭圆C:5+片1的左、右焦点分别为、乃，P为椭圆C上不同于左、右顶点的任意一点！ 则下列说法正确的是（) A.△PE2的周长为16 B.△PFF,面积的最大值为12 C.存在点P,使得∠FPE=90° D.PPF的取值范围为(9,25] 1.已知图0：7+少=2经过椭圆C:若+若=1a>6>0)的左、右两个焦点，R.A为c的右顶点，日 为O与C在x轴上方的公共点，且△BFE的面积为2，点P为C上与点A,B不重合的动点，直线PA与y轴 交于点M,直线PB与x轴交于点N,则( ) A.椭圆C的离心率为5 B.坐标原点0到直线B的距离为25 3 C.△RAP面积的最大值为1+V2 D.ANBM=42 试卷第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上。 12,已知椭圆C经过点M0和点N5,),则其标准方程为 包指图c苦+ 13. 茶=1a>b>0)的右焦点为Fre,0,若b=ac,则相圆C的离心率为 动直线！垂直于x轴，且交椭圆艺+于A,两点，P是上线段AB外的一点，目 PPB=1,则点P的轨迹方程为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已斑格氨C苧茶-1a>60的离心*e 且椭圆的长轴长为4. 2 (1)求椭圆C的方程： 包过点（L,0)的直线1与椭圆C交于4B两点，且到4-5，求直线1的方程， 16.(本小题满分15分) 已妇国C学长=1e>办0签过点以8对引 左焦点(5,0) (1)求椭圆C的方程； (2)过点D(0,3)作直线1与椭圆C交于A,B两点，点N满足O=OA+OB（O为原点)，求四边形OAB面 积的最大值 17.(本小题满分15分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E,F分别为线段PB, BC上的动点. (I)若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC: (②诺B驱=5BR,且平面ABF与平面P8C所成角的余弦值为 试确定 14 点F的位置. 试卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知椭圆c:女+y 京+？=1(a>b>0)的左、右焦点分别为片，B,过点B作x轴的垂线交椭圆C于点M、N, MWM=V2,且aMEN的周长为42. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点P是椭圆C上异于左、右顶点A,B的任意一点，直线AP与直线x=2交于点S,直线BP与直线x=2 交于点T,记△FST的外接圆半径为R,求R的最小值. 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系中，4(-1,0)，A(1,0),以A为圆心作半径为4的圆，M是圆上任意一点，线段M4的 垂直平分线与半径M4交于点C. (I)当M在圆上运动时，求点C的轨迹方程； (2)过A2的直线I交曲线C交于D,E两点，点D关于x轴的对称点为D. (i)直线DE与x轴的交点为P,求点P的坐标； (i)求lPDP+PE的取值范围。 DEP重庆南开中学高2028届高二数学练习(10.11) 参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A AC BCD BCD 12. + -=1 13. V5-1 14. -=1(-2<x<2) 43 63 8.A【详解】连接PI并延长交x轴于G, 则由内角平分线定理可得： FG_GI EG_GIGL-PG+RG-C-e: P阳p'Pp, IP PF+PF a .a2y 设Pw）,,Go0,则至+冷=1， 5=b2, b2 “a2-x 六a则%=，又总则= 业=c a+c xc+c a+exo :名-=c 方+e,ks=业 为-。a中e,则=，k5=么， -c’ c'y 则kks=- (a+c2 1 a'yp b2 ,直线瓜和直线F的斜率之积是定值. 1.BCD【详解】~圆0：+y=2经过椭圆C:若+芳=e>60的左，右两个焦点R,3, 设(-c,0),F(c,0),∴c2=2,解得c=√2， B “A3的面积为2,5=分2c⅓=2，解得，=5， :B在圆0上，∴x号+(V2=2,解得x。=0,故B0,V2), B在椭圆C上，是，解得6=2，G2=6+e2=2+2=4 椭圆C的方程为：父+ -=1, 42 c√2, 选项A:c=√2，a=2,e= ，故A错误： a23 选项B:42.0,B0,直线B的方程头二g,，一般式为x+2y-2=0 原点到直线AB的距离为d= -22W5 +23，故B正确 答案第1页（共6页） 选项C:F4=2+5,S=4小，“P是椭圆上点，=5， Sm=4ln=+V)x5=1+2,故c正确」 选爽D设P(小则0线以方程为y产-小，令=0：用：故0- 线阳0间方限-4i,数 x-2 %-2 wM1aw-a-2%+2h5-2%+2（5s+2%-2 -2 %-v2 k。-2斗%-2 ~椭圆方程x好+2y好=4，令x。=2cos0,y。=√2sin0, 则V2x,+2。-2W2=2W2cos日+22sin0-2V2,%-V2=V2(sin0-1),x。-2=2(cos0-1), o叶a-e0 令u=1-sin6,v=1-cos0,则sin6=1-4,cos0=1-v, sin20+cos20=(1-u)2+(1-v)2=1,∴u2+v2-2u-2v+1=0,即u2+v2=2u+2y-1, ∴(1-4-v)2=1+u2+v2-2u-2v+2w=1+2u+2v-1-2l-2v+2w=2w, 4MH1BM-250---22.2=4N2,故D正确. 14.【详解】设P(,y),A(x4,y4),B(xya),其中-2<x<2: 由题意得x=x=x,y4+yg=0,所以PA=y-y,|PB=y-yl, 因为P是I上线段AB外的一点，即P在椭圆外，所以y-y4与y-y同号， 所以PAPB=(y-y4y-y)=y-（yA+ya)y+yya=1, 因为片=2)引所以y-}1 即点P的锐迹方程为若 +上=1-2<x<2) 袋密第)而（共6而） 15.解：(1)由题可知，2a=4,0=2,又e=c ,且2=62+c2, a 2 解得。=5,6=1，则椭圆C的方程为 +y2=1 4 (2)①当直线1斜率为0时，AB=2a=4,不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线1方程为x=y+1, -21 2+42-4=0得(+4到广+2-3=0，△>0，设4(，x,B%,y),则 x=y+1 +y2=2+4 联立 -3 y2=2+4 由题意，=i++为-4=点，即g7P+9-,解得1= 故直线的方程为：x=y+1或x=-y+1. 16.解：(1)设椭圆的焦距为2c,则c=√， 又因为椭圆经过点M5,引所以子+证=1，又公--，“c3,。=4,=1。 所以椭圆C的方程为兰+y=1. 4 (2)因为ON=OA+OB,所以四边形OANB为平行四边形， 当直线I的斜率不存在时，显然不符合题意： 当直线I的斜率存在时，设直线l的方程为y=c+3, y=la+3 1与椭圆交于A(:,y),B(,)两点，由x2 →(1+4k2)x2+24a+32=0. 由△=24-1281+4k23)>0→2>2，x+名=- 24k 32 1+4k252 1+4k2, :Sa2o0%--x, S0wm=2SA08=3引x-x=3V:+x)2-4x52=3, -24k 32 ÷3 242k2-1281+4k2) K2-2 4 =24 1+4k2 1+42 0+42)2 (1+4k22’ 令2-2=1，则k=1+2（由上式知1>0)， 1 1 ∴S20wn=24 ≤24 (41+9y2 =24 /72+161+8T 4a2,当且仅当1-号，即-号>2时取等号。 :当k=士亚时，平行四边形O4W8的面积最大值为2， 2 17.解：(1)证明：由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BC, 又在正方形ABCD中，BC⊥AB,且PAOAB=A,则BC⊥平面PAB,有BC⊥AE. 由PA=AB,E为PB中点，可得AE⊥PB, 又PBOBC=B,则AE⊥平面PBC,从而平面AEF⊥平面PBC. (2)以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 由①可知网-侵0)为平面PaC的法向最。 由BE=√2BF,可知EF/1PC,设BF=1BC,BE=1BP,则BF=2(0,1,0),BE=(-1,0,1), 可得AF=AB+BF=(1,1,0),AE=B+BE=(1-入，0，)· 设平面BF的法向量为元-(6%动，由径·=0， 「x+y=0 (%E=0’即 Q-)x+Az=0' 取y=1,则x=-2,z=1-1,即n2=(-,1,1-). 从而，由eos(何，- 1-22入 V2V222-22+214' 解得A=或入=子，即F为8C三等分点处， 3 18.解：(1)由椭圆的定义可得△MFN的周长为4a=4√2，解得a=√2， 当x=c时， 亭+若=1，解得y=号则=答=E,解得1 a a 则椭圆℃的标准方程为；+y2=1 (2)设P(,%),*±反，根据椭圆的对称性，不妨设%>0，A-√2,0，B(巨，0)， 则直线中万+)，当x=2时，y-+阿 x,+V2 记%=2+回 ,同理可得T ,(2-V2) x0+√2 记y= 。-√2 则%+.⅓-回.2- -11 +2。-2x场-2-2 答案第4页（共6页） 考虑到(1,0)，则=(y,),T=(1,y),则不T=1+y,y=1+(-1)=0, 则F下⊥FT,即∠SF,T=90°，则aE,ST为直角三角形，则其外接圆半径 -四+北2员 当且仅当y=1时，不等式取到等号， 当以=+2 1时，为=-1=为2- x=1 ,解得 满足椭圆方程，因此等号可取， +V2 -V2 % 2 枚R的最小值为1， 19、解：(1)因为M是圆A上任意一点，点C为线段M4的垂直平分线与半径M4的交点， 则MC=|CA2,故CA+CA=CA+MC=|AM=4, 又因为A4=2,则CA+CA2=4>4A, 所以C的轨迹是以A,A,为两焦点，长轴长为4的椭圆， 即a=2,c=1,6=5,故C的轨迹方程为号+二=1. 43 (2)(i)由已知直线1与直线A4,不重合， 设过A(1,0)的直线DE方程为x=my+1,D(:,y),E(x,y2),D'(,-), 文片+号，化简得3m++6my-9=0 (x=my+1 显然A>0,且%+%=3年5=32+4 9 又因为6=+》，则直线DE的方程为y+y=+4(x-), 为为 x2-x 令y=0,得x=弘，将=网4+1西=m,+1代入上式， 为+y2 9 2m- 可得x=m%+)+(m+边_2m+片+丛= 3m2+4+1=4, 为+y2 4+2 6m 3m2+4 所以点P的坐标为(4,0). 答案第5页（共6页） (i由)得D=+m0+%-4%=3m+4 -12(m2+1） PDP=(x-4}2+=(my-3)2+=(m2+1y-6m刚+9，同理得1PE=(m2+1)片2-6m,+9, 则PDP+PsP=(m2+10+)-6m+)+18=(m2+1儿b+⅓}-2y]-6m0y+2)+18, 将%+以=g=3号代入 9 化简得，P0+1PEf=1820m+41m2+20) (3m2+4)2 A O IA, 1820m4+41m2+20 E PDP+PEP 3m2+4 (4m2+5j5m2+4） 故 DER 14(m2+1 8m2+1 (3m2+47 令t=m2+1(t21),则m2=t-1, Pop.+..期+期-0-贵 DEP 8r2 812 由1≥1，则0<2s1, 当时时 PDP+PER PDP+PEP DEP DEP 所以PDP+PE心的取值范围为 581] DER 2'32 答案第6页（共6页）