奥数思维培优 第9讲 线与角·数图形（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学 人教版

【人教课标版 三年级上册奥数思维培优】 第9讲 线与角 数图形 —— —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第9讲 专题 线与角——数图形 适用年级 小学三年级上册 建议课时 1课时(60分钟) 难度星级 前置知识 线段、角的认识(已学);射线、直线(本讲新知) 核心方法 有序计数、分类计数、递推规律 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 区分线段、射线、直线,认识角。 过程与方法 掌握数线段、数角、数三角形的有序方法。 思维品质 学会从简单情形找规律,再推广到复杂情形。 情感应用 用“有序不漏”的方法解决生活中的计数问题。 三、情境导入 体育老师要拉一根晾衣绳,小明说:绳子两端固定就是线段;小红说:手电筒的光像射线;小刚说:马路笔直看不到头,像直线。同样是“线”,却有三种不同的样子。 想一想:两点之间能画几条线段?一个角里有几条射线? 悬念:图形里的线段、角,怎样才能数得又快又不漏? 图1 线的王国 今天我们就来当“图形计数器”:数线段、数角、数三角形。 四、知识导航 图2 三种线的对比 图形 端点 特点 线段 2个 能度量长度 射线 1个 一端无限延伸 直线 0个 两端无限延伸 五、易错辨析 常见错误 正确做法 端点记混 线段2个、射线1个、直线0个 漏数线段 按顺序从短到长、从左到右 漏数角 相邻的、隔1条的、隔2条的逐个找 数重了 每条线段、每个角只数一次 六、典例精讲 本讲安排6道例题:从三种线的区分、数线段、数角、数三角形到图形分类与综合;每例后附一道变式练习。 例1【线段 射线 直线】 题目:下面的图形分别是什么线?各有几个端点?线段AB、射线AB、直线AB。 分析:看端点的个数就能区分三种线。 详解: 线段AB:有两个端点,能度量长度。 射线AB:只有一个端点,向一端无限延伸。 直线AB:没有端点,向两端无限延伸。 图3 三种线与三点数线段 方法点睛:端点个数是区分三种线的“身份证”。 变式练习(同方法 换情境) 变式题:直线上有A、B、C三个点,一共能数出几条线段? 解答: 短线段:AB、BC共2条;长线段:AC共1条;一共2+1=3条。 点拨:与例1同法:按长短有序数。 例2【数线段规律】 题目:直线上有5个点,一共能数出多少条线段? 分析:按“从每个点向右连”的方法,有序计数。 详解: 第1个点向右连:4条。 第2个点向右连:3条;第3个点:2条;第4个点:1条。 一共:4+3+2+1=10条。 图4 数线段规律 方法点睛:n个点:从(n-1)加到1,有序不漏。 变式练习(同方法 换情境) 变式题:直线上有6个点,一共能数出多少条线段? 解答: 5+4+3+2+1=15条。 点拨:与例2同法:从5加到1。 例3【数角规律】 题目:从一点引出5条射线,一共能数出多少个角? 分析:和数线段同理:相邻的角先数,再数隔一条的。 详解: 相邻的角:4个。 隔1条的角:3个;隔2条的角:2个;隔3条的角:1个。 一共:4+3+2+1=10个。 图5 数角规律 方法点睛:n条射线:角的个数也是从(n-1)加到1。 变式练习(同方法 换情境) 变式题:从一点引出4条射线,一共能数出多少个角? 解答: 3+2+1=6个。 点拨:与例3同法:从3加到1。 例4【数三角形】 题目:下面的大三角形底边被分成2段,一共能数出多少个三角形? 分析:先数小三角形,再数由小三角形拼成的大三角形。 详解: 2个小三角形:①、②。 1个由两个小三角形拼成的大三角形。 一共:2+1=3个。 图6 数三角形 方法点睛:底边分n段,三角形个数就是从n加到1。 变式练习(同方法 换情境) 变式题:如果底边被分成3段,一共能数出多少个三角形? 解答: 3个小三角形+2个两两拼的+1个三拼的=3+2+1=6个。 点拨:与例4同法:从3加到1。 例5【图形分类 综合计数】 题目:长方形中加一条对角线:图中有几条线段?几个角? 分析:按类型分类计数:先数线段,再数角,都不重复。 详解: 线段:长方形的4条边各算1条,再加对角线1条:4+1=5条。 角:长方形原有4个角,对角线把2个角各分成2个角:4+2=6个。 答:图中有5条线段、6个角。 图7 图形分类 方法点睛:先分类再计数:线段、角分开数,不重不漏。 变式练习(同方法 换情境) 变式题:正方形中加一条竖线(连接上下边中点):图中有几条线段?几个角? 解答: 线段:4+1=5条;角:原4个角+竖线两端各2个=4+4=8个。 点拨:与例5同法:分类计数。 例6【综合 圆周点连线】 题目:圆周上5个点,任意两点连一条线段,一共能连多少条? 分析:和直线上数线段一样:从每个点出发,依次连向还没连过的点。 详解: 第1个点:连出4条。 第2个点:3条;第3个点:2条;第4个点:1条。 一共:4+3+2+1=10条。 图8 圆周点连线 方法点睛:把图形转个方向,还是“从(n-1)加到1”的规律。 变式练习(同方法 换情境) 变式题:圆周上6个点,任意两点连线,一共能连多少条? 解答: 5+4+3+2+1=15条。 点拨:与例6同法:从5加到1。 七、真题进阶(名校思维题) 真题1【数角】(名校思维拓展 三年级适配) 题目:从一点引出6条射线,一共能数出多少个角? 分析:射线条数比角的“相邻组数”多1,按规律从5加到1。 详解: 相邻的角:5个;隔1条:4个;隔2条:3个;隔3条:2个;隔4条:1个。 一共:5+4+3+2+1=15个。 方法点睛:射线越多,越要按顺序一层一层数。 变式练习(同方法 换情境) 变式题:从一点引出7条射线,一共能数出多少个角? 解答: 6+5+4+3+2+1=21个。 点拨:与真题1同法。 真题2【数线段】(名校思维拓展 三年级适配) 题目:一条直线上有8个点,一共能数出多少条线段? 分析:8个点,从7开始往下加到1。 详解: 第1个点向右连7条,依次6、5、4、3、2、1。 一共:7+6+5+4+3+2+1=28条。 方法点睛:先算几个点,就知道从几加到1。 变式练习(同方法 换情境) 变式题:一条直线上有10个点,一共能数出多少条线段? 解答: 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45条。 点拨:与真题2同法。 八、方法总结表 图形 规律 例子 线段 n个点:从(n-1)加到1 5点 10条 角 n条射线:从(n-1)加到1 5条 10个 三角形 底边n段:从n加到1 3段 6个 连线 n点两两连线:从(n-1)加到1 6点 15条 九、解题口诀 线段角儿数不清,有序来数最聪明; 从少到多挨着数,隔一个、隔两个; n个点来(n-1)起,一直加到1为止; 分类计数不重复,不重不漏才算对。 十、分层训练 A组 基础过关(5题) A1. 线段有几个端点? A2. 射线有几个端点? A3. 直线有几个端点? A4. 直线上有4个点,一共能数出多少条线段? A5. 从一点引出3条射线,一共能数出多少个角? B组 能力提升(5题) B6. 一条直线上有4个点,能数出多少条线段?再添上1个点(共5个),线段增加了几条? B7. 从一点引出4条射线,能数出多少个角?再引出1条(共5条),角增加了几个? B8. 一个三角形底边被分成若干段,一共数出了6个三角形。底边被分成了几段? B9. 圆周上6个点,任意两点连线一共15条。如果只有5个点,能连多少条? B10. 长方形中加一条对角线,图中一共有几个三角形? C组 思维挑战(5题) C11. 直线上有7个点,一共能数出多少条线段? C12. 从一点引出7条射线,一共能数出多少个角? C13. 直线上有3个点,另有1个点不在这条直线上。这4个点两两连线,一共能连出几条线段? C14. 一条高铁线上有6个车站(含起点站和终点站),任意两站之间都要准备一种车票,去、回方向算两种。一共要准备多少种车票? C15. 直线上有9个点,一共能数出多少条线段? 十一、参考答案与详细解析 A组 基础过关(5题) A1 线段有2个端点。 A2 射线有1个端点。 A3 直线有0个端点。 A4 3+2+1=6条。 A5 2+1=3个。 B组 能力提升(5题) B6 4个点:3+2+1=6条;5个点:4+3+2+1=10条;增加10-6=4条。 B7 4条射线:3+2+1=6个;5条射线:4+3+2+1=10个;增加10-6=4个。 B8 从n一直加到1等于6:3+2+1=6,所以n=3。底边被分成了3段。 B9 5个点:4+3+2+1=10条。 B10 对角线把长方形分成左、右2个三角形;没有更多拼组,一共2个。 C组 思维挑战(5题) C11 6+5+4+3+2+1=21条。 C12 6+5+4+3+2+1=21个。 C13 直线上3个点:2+1=3条;第4个点与这3个点各连1条:3条;一共3+3=6条。 C14 车站两两配对(数线段):5+4+3+2+1=15种区间;往返方向各一种:15 2=30种。 C15 8+7+6+5+4+3+2+1=36条。 十二、本讲小结 本讲我们认识了线段、射线、直线三种“线兄弟”,还学会了数线段、数角、数三角形的妙招——从(n-1)加到1,有序计数不重不漏。图形千变万化,只要掌握规律,再多的线、再多的角也难不倒我们。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 两端都当端点 射线只有一个端点,另一端是无限延伸的方向 只数相邻的角 隔1条、隔2条的角也要数,一层一层不遗漏 大三角形漏数 小三角形数完,还要数由小三角形拼成的大三角形 连线数重复 两点之间只连一条,按顺序连就不会重 十四、奥数思维拓展(提优加油站) 数线段、数角的本领还能解决生活中的问题。下面三道题要用上“有序计数、分类计数”的奥数思维,敢挑战吗? 拓展1【握手问题】 题目:4个同学每两人握一次手,一共握多少次手? 分析:把4个同学看作直线上的4个点,每两人“连一条线”,就是数线段。 解答:3+2+1=6(次):第1人握3次,第2人再握2次,第3人再握1次,第4人不用再握。 检验:一一列举:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,正好6次,不重不漏。 方法点睛:握手问题就是“数线段”:n个人,就从(n-1)一直加到1。 拓展2【数长方形】 题目:一个大长方形被两条竖线分成3个小长方形,图中一共能数出多少个长方形? 分析:按组成分类:单个的3个,两个拼成的2个,三个拼成的1个。 解答:3+2+1=6(个)。 检验:从左往右逐个数:3个小+2个中+1个大,正好6个。 方法点睛:数长方形和数三角形同招:底边分n段,就从n加到1。 拓展3【数正方形】 题目:由9个小方格拼成的3行3列方格图(像“田”字再添一格),一共能数出多少个正方形? 分析:按边长分类数:边长1格、边长2格、边长3格,一类一类数。 解答:9+4+1=14(个):边长1格的9个,边长2格的4个,边长3格的1个。 检验:边长2格的正方形在左上、右上、左下、右下各1个,逐个核对无误。 方法点睛:分类计数——先定分类标准(边长),再一类一类数,最后相加。 参考答案(拓展):拓展1:6次。拓展2:6个。拓展3:14个。 学习建议:多画图——在纸上画点、连线、标角,边画边数;数完再用“从(n-1)加到1”验证一遍。下讲预告:第10讲 角的分类 角度计算。 第 1 页 学科网(北京)股份有限公司 $