湖南湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2026-2027学年高三上学期第三次起点考试数学试卷

泸溪一中2027届高三第三次起点考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．1 C． D． 4．已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 6．已知一组样本数据，…，的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 8. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 外接圆半径是 11．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（   ） A．圆锥的体积为 B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线BF与PA所成角为 D．平面AEF截球O的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式的第3项为______． 13．已知等比数列的前n项和为，若，则______． 14．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，P为C的渐近线上一点，且P在第一象限，Q为C的左支上一点，若四边形OFPQ为菱形，则C的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．如图，一张边长为2的正方形纸片ABCD，E为AB的中点，现沿DE将折起至，使得． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数. （1）若4是的极小值点，求的极大值； （2）若在其定义域上是增函数，求实数 的取值范围. 18．某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏． (1)求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； (2)求该顾客的奖金不低于元的概率； (3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望． 19．给定自然数，定义集合．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为a的“逆对数”．例如，若中的一个元素，则，a的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为k的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 泸溪一中2027届高三第三次起点考试 数学试卷参考答案 1．D【详解】由，解得，所以，由，解得，所以，故． 2【答案】D【详解】因为，所以，所以，所以. 3．A【详解】由是定义在上的奇函数，得，故，当时，，所以， 4．B【详解】因为，所以，所以在上的投影向量为，所以投影向量的模为． 5．D【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得，又，所以，得，由得，即，所以椭圆的短轴长为． 6．B【详解】由已知得，因为删除某个数据后，平均数没有变化，故删除掉的数据为6，因为去掉数据6后方差变为30，故，解得． 7．D【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得，所以.由余弦定理，得，解得或.若，则，得，又由且，得，所以，与矛盾； 若，由余弦定理得，又，且，所以，符合题意．综上所述，. 8【答案】C【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得化简得，解得，，又，故数列的通项公式为，设数列的前项和为，则， ，从到共项，两两一组，可分为组，.故选：. 9．ABD【详解】，所以B在圆O外，故A正确；由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确；设，则， 故，，则，故C错误；所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 10【答案】AC【详解】在中，，则，则，故A正确；因为，，，由余弦定理，得，故B错误；，故C正确；设外接圆半径为，由正弦定理，得，则外接圆半径为，故D错误； 11．ACD【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】由已知得,所以，且，所以圆锥的体积为，所以A正确；由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点，，所以轨迹的周长为，所以B错误；连，可得，且，由，且，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确；设球半径为，则 ，可得，由，且，可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为，所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 12．【详解】的展开式的第3项． 13．－144【详解】由，得.当时，；当时，.因为为等比数列，故时的通项也满足时的表达式，即，解得.此时，公比，故. 14．【详解】记双曲线的左焦点为，连，QF，由四边形OFPQ为菱形，则， F到渐近线的距离为，结合菱形性质可得，又注意到，则四边形为平行四边形，，，又，则，由双曲线定义可得：，，从而C的离心率为 15【答案】（1） （2）或. 【1】对任意正整数，（为虚数单位），则，所以，复数数列是以为首项，公差为的等差数列，故，故. 【2】由题意可知数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所 .故当时，； 当时； 当时，； 当时，. 综上所述，. 16．（1）见解析 (2)． 【详解】(1)由已知得，又，，所以，所以，又，，平面，所以平面； （2）方法一：以C为原点，CB，CD为x轴，y轴，垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由已知得，，，设，由，得，解得，所以， 所以，，，设平面的一个法向量为，由，不妨取，得，，所以，设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以B到平面的距离 ，取CD中点F，连EF，，BF，过作于O，连OB，则，，又， 平面，所以平面，所以，因为平面，所以，所以，所以，，因为，，，平面BCDE，所以平面BCDE，所以，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为． 17【答案】（1） （2） 【1】函数的定义域为，.因为4是的极小值点，所以，即，解得 .当 时，，， 令，则，解得 或.当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极大值，， 【2】因为在定义域内单调递增，所以 在上恒成立，即在上恒成立.在上恒成立，也即在上恒成立.又，当且仅当，即 时等号成立.所以，即实数 的取值范围为 18．(1) (2) (3)174元． 【详解】（1）游戏停止时共抽取5次，即前四次抽到2金2银，且第五次抽到金券， 故所求的概率为； （2）奖金不低于270元，则可能为300元，290元，280元，270元．①若奖金为300元，即连续抽到3次金券，其概率为；②若奖金为290元，即前三次抽到两张金券和一张－10元银券，且第四次抽到金券，其概率为；③若奖金为280元，即前三次抽到两张金券和一张－20元银券，且第四次抽到金券，同②知；④若奖金为270元，一种情况是前三次抽到两张金券和一张－30元银券，且第四次抽到金券，同②知其概率为；另一种情况是前四次抽到两张金券、一张－10元银券和一张－20元银券，且第五次抽到金券，其概率为，所以；综上所述，奖金不低于270元的概率为. （3）方法一：记银券分别为，，…，，对应面值－10元，－20元，…，－60元． 记，银券与4张金券被抽到的先后次序是等可能的，表示在与4张金券一起排列时，排在了前三个位置上，所以，， 所以，，因为奖金， 所以，即奖金的期望为174元． 方法二：记为停止时抽到银券的张数，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且. 由已知得，，， ，，，，计算得．又因为，所以，因为每张银券被抽到是等可能的，所以，，所以，即奖金的期望为174元． 19．(1)，； (2)（i） ；（ii） 【详解】（1）对于，仅在，所以， 对于，在，，所以； （2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列，且这两个数为，若去掉中最大的数t后仍有一个逆对数的排列，则t位于，之间或最后； 若去掉t后逆对数为0，则t可能位于除最后的所有位置．所以 ； 方案二：对按所在位置分类：若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1；若不在末位，设 ，，则当的逆对数为1时，前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数 ，综上， ． （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数t后仍有两个逆对数的排列，则t位于，或，之间或最后； 若去掉t后逆对数为1，且为，则t可能位于除最后与，之间的所有位置， 所以，由（i）知，又 ，则 ，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故，所以 ，所以， 所以，又 ，则 ，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $