湖南湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2026-2027学年高三上学期第二次强化考试数学试卷

泸溪一中2027届高三第二次强化考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．直线被圆所截得的弦长为（    ） A．4 B． C． D． 2．设A，B为两个事件，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是双曲线在第一象限上一点，，分别是的左、右焦点，的面积为．则点的横坐标是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．有9个外形相同的零件，其中1件是次品（次品略轻），如果用天平称的方法，至少称（    ）次可以把次品找出来． A．1 B．2 C．3 D．9 8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为，，，则（ ） A. B. C. 当取得最大值时，或 D. 数列的前30项和为630 10. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若|+|=， 则或 11．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，则的值是 ． 13．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是 ． 14．四棱锥各顶点在同一球面上，，，，则这个球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）已知数列中，，. （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和及的最大值. 16．（15分）某学院开设了甲、乙、丙三类选修课，要求该学院所有学生至少选择其中的一门上课。据统计，选甲类选修课的学生有30人，选乙类选修课的学生有40人，选丙类选修课的学生有95人，选甲、乙两类的学生有10人，选甲、丙两类的学生有15人，选乙、丙两类的学生有15人。假设选甲、乙、丙三类的学生有人，该学院学生总人数为. （1）求函数的解析式和定义域； （2）若该学院学生总数为130，为了解学生对甲、乙、丙选修课授课教师的上课的意见，学院决定从只选一门选修课的学生中抽取一个容量为20的样本.问：应该如何抽取才能客观的评价结论？请具体实施抽取. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 18．（17分）已知为的焦点，为上一点，直线交于、两点（在线段上）. （1）求； （2）证明：为线段中点； （3）求最小值。 19．（17分）设函数. （1）求的导函数； （2）记的二项式展开式为，求的导函数； （3）若随机变量，证明：，. 参考公式：，其中 泸溪一中2027届高三第二次强化考试 数学试卷参考答案 1．【答案】D【详解】圆的标准方程为，圆心到直线的距离为，所以所求弦长为．故选：D 2．【答案】A【详解】由，得，显然，因此，所以．故选：A 3．【答案】D【详解】由，可得，所以，则在上的投影向量为. 4．【答案】B【详解】当，满足，但不成立，当时，满足，但不成立，故A错误；当时，，但，故B正确；时，，但不成立，时，，但不成立，故C错误；因为指数函数在上单调递增，故，故D错误.故选：B 5．【答案】A【详解】双曲线中的，不妨设，，的面积为，，解得，由，可得，故选：A 6．【答案】B【详解】因为，，所以，即，解得或（舍），又因为，所以.故选：B. 7．【答案】B【详解 】把9个零件分3份：3、3、31. 第一次称把两份3个分别放天平两边：- 若平衡：次品在剩下没称的3个里；- 若不平衡：次品在轻的那一边3个里。2. 第二次称从有次品的3个里各拿1个分别放在天平两边：- 平衡：剩下那个是次品；- 不平衡：轻的那个就是次品。所以最少只需2次。 8．【答案】D【详解】设曲线上的点，，；曲线上的点，，；，，，．故选：D． 9【答案】ABD【详解】由题意知，，化简得，解得.所以，所以A，B正确；因为，令，得且，所以当取得最大值时，或，所以C错误；数列的前30项和为.所以D正确. 10【答案】ABD【详解】，则，，A正确；，则，，B正确；与的夹角为锐角，则，，但当时，与同向，夹角为，C错；，解得或，D正确. 11．ABC【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】由题意得，不妨设在第二象限，当时，则，则，故，，故，由于是的角平分线，所以，进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确，延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以，故是的中点，， 由双曲线定义可得，又是的中点，，故C正确，D错误. 12．【答案】【详解】在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：所以故答案为： 13．【答案】 【详解】试题分析：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵，∴，它们的侧面积相等，∴，∴．故答案为． 14．【答案】【详解】四棱锥各顶点在同一球面上, ，,则四边形四点共圆，对角互补，，故为等边三角形， 又，则点P在底面射影为的中心H，球心O在PH所在直线上，设外接圆半径为r，则,，设外接球的半径为，当球心O在PH上，故，即，解得（大于PH长度，舍去）．同理当球心O在PH延长线上，则即，解得成立，故球的表面积为故答案为： 15．解：（1）.又.所以是以为首项，为公比的等比数列...........4分由题意.所以 （2）..又 当时，即时，.得最大值为 16．解：（1）设集合、、分别表示选择甲、乙、丙选修课的学生，则的元素个数为30，的元素个数为40，的元素个数为95，的元素个数为10，的元素个数为15，的元素个数为15，的元素个数为，..作出Venn图：.故，，..（2）由（1），所以只选甲、只选乙、只选丙选修课的人数分别为10、20、70.本次评价对象是甲、乙、丙选修课授课教师，对象不同产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样。...实施抽取步骤如下：①分层：分为只选甲类选修课学生、只选乙类选修课学生、只选丙类选修课学生，共三层；②确定每层抽取个体的个数：只选甲类选修课学生人数为人、只选乙类选修课学生人数为人、只选丙类选修课学生人数为人；③因只选甲类选修课学生和只选乙类选修课学生人数较少，他们分别按1~10编号与1~20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对只选丙类选修课学生人数采用00，01，02，…，69编号，然后利用随机数表法抽取14人；④将2人，4人，14人的编号汇合在一起就得到容量为20的样本. 17【答案】（1）证明见解析（2） 【1】依题意：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，．所以，，，，，．所以有：，，因为，所以． 【2】设平面的法向量为，则有，，而，，，所以，令，有，设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的大小为． 18．解：（1）由 （2）设，直线的方程为联立得：. 所以，也即，所以为线段中点 （3）由（2）得..由（2）得（当且仅当取等号） 19．解：（1）对求导得：...................................................................................2分 （2）由二项式定理得：............................................3分对求导得：................................................5分（3）由（1）（2）得①..........................6分对①式取得：...............................8分所以.......................................9分因为，所以...........................................................................................10分由①得②...............................................11分对②式两边求导得：③.....................12分对③式取得：..................14分所以....................16分所以毕证.............................................17 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $