26.1二次函数的概念 教学设计2026-2027 学年人教版九年级数学上册

26.1 二次函数的概念 课题名称 26.1 二次函数的概念 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 二次函数的概念 内容解析 《二次函数》是在学生学习了正比例函数、一次函数的概念与图象性质之后，对函数概念的又一次概括。本节课通过正方体表面积、比赛场次数、多边形对角线数、产品产量增长等实际问题，列出关于自变量的二次式，归纳出y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）这一一般形式，理解二次函数的概念。 二次函数是初中阶段“函数”主线的重要组成部分，既是对一元二次方程知识的延续，又是后续学习二次函数图象、性质、平移变换以及用二次函数解决实际最值问题的基础，起着承上启下的作用。教材在编排上遵循“实际问题—列式—观察归纳—形成概念—辨析应用”的路径，注重让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的建模过程，发展学生的抽象能力与模型观念。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了函数概念、一次函数的基础上，进一步学习一类具体而重要的函数——二次函数。本章主要内容包括：二次函数的概念、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，以及用二次函数解决实际问题。本章的重点是二次函数的图象与性质；难点是建立二次函数模型并利用图象性质解决实际问题。 对应课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）： ①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义； ②了解常量、变量和函数的概念，体会函数的基本思想； ③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值； ④通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； ⑤会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质； ⑥已知不共线三点的坐标可以确定一个二次函数； ⑦能用二次函数解决简单的实际问题。 课时目标 1.（数学抽象·模型观念）经历从实际问题中列出函数关系式的过程，观察归纳出它们的共同特征，理解二次函数的概念，能说出二次函数的一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），知道二次项、一次项、常数项及其系数。 2.（符号意识·推理能力）能根据二次函数的概念判断一个给定的函数是否为二次函数，会确定二次函数各项系数；明确二次项系数a≠0这一必要条件，能正确处理含参数的简单问题。 3.（数学建模·应用意识）能从简单实际问题（如几何图形面积、比赛场次、产量增长）中抽象出二次函数关系，列出函数解析式，体会数学与实际生活的联系，在自主探究与合作交流中养成言之有据的思维习惯。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能从实际问题中独立列出 y=6x²、m=n(n−1)、d=n(n−3)、y=20(1+x)² 等式子，观察出“右边是关于自变量的整式、最高次数为2”的共同特征，并用自己的语言归纳出二次函数的定义。 达成目标2的标志是：学生能正确指出 y=−2x²+3x−1、y=5x²、y=−x²+6x 等函数的二次项系数、一次项系数、常数项；能识别化简后二次项系数为0的函数不是二次函数（如 y=(x+1)²−x²），并能解决形如 y=(m−2)x^{m²−2} 是二次函数求 m 的简单问题。 达成目标3的标志是：学生能根据矩形面积、球队比赛等实际背景列出二次函数关系式，并指出自变量的实际取值范围，感受到二次函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型。 学情分析 已有的知识、认知水平 从认知结构看，九年级学生已经学习了函数的概念、正比例函数 y=kx（k≠0）和一次函数 y=kx+b（k≠0），知道“在一个变化过程中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应”，具备研究一类函数的基本活动经验；同时学生已经学习了一元二次方程，会进行整式的乘法与化简，具备从实际问题中列式、整理代数式的运算基础。学生对“系数不能为0”已有初步认识（如 k≠0），这为理解 a≠0 提供了类比迁移的基础。 困惑点或探索点 学生容易忽视二次项系数 a≠0这一必要条件，在判断 y=ax²、y=(m−1)x^{m²+1} 等含参形式时常漏掉对系数的限制；此外，对于需要先展开、化简再判断的函数（如 y=(x+1)²−x²），学生容易不化简就凭表面形式下结论。 教学 重难点 教学重点 二次函数概念的形成，即理解一般形式y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），能识别二次函数并确定各项系数。 教学难点 理解二次项系数 a≠0的必要性；能通过化简判断一个函数是否为二次函数；从实际问题中抽象出二次函数模型并确定自变量取值范围。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：二次函数是初中函数体系的最后一类基本初等函数，是刻画现实世界中抛物线运动、面积最值、利润增长等变化规律的重要模型，也是后续高中函数学习的直接基础，在中考与进一步学习中占有重要地位。 学什么：从实际问题列式出发，归纳二次函数的概念、一般形式与各项系数名称；明确 a≠0 的条件；会判断、会列简单实际问题的二次函数关系式。 怎么学：采用“问题情境—列式表示—观察归纳—形成概念—辨析应用”的探究式教学路径。以学生熟悉的正方体、比赛场次、对角线、产量增长等问题为载体，让学生先列关系式，再通过小组讨论比较这些式子的共同特征，类比一次函数的概念“再发现”二次函数；教师通过追问、变式与错例辨析，引导学生关注 a≠0 这一本质条件，落实学生的主体地位。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 1. 什么是函数？我们已经学过哪几类函数？ 2. 一次函数的一般形式是什么？正比例函数与一次函数有什么关系？ 复习引入 师：同学们，前面我们已经研究过函数，大家回忆一下，什么是函数？我们都学过哪些函数？ 生：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，就说 y 是 x 的函数。我们学过正比例函数 y=kx（k≠0）和一次函数 y=kx+b（k≠0）。 师：一次函数的“一次”指的是什么？ 生：指等号右边关于 x 的整式最高次数是 1。 师：很好！如果最高次数变成 2，这样的函数又是什么呢？今天我们就来认识一类新的函数——二次函数。（板书课题） 学生能准确说出函数的概念及正比例函数、一次函数的一般形式；能说出“一次”即最高次数为1，为类比“二次”做好铺垫。 从学生已有的函数知识出发，通过“一次→二次”的类比设疑，唤醒学生对函数研究方法的记忆，制造认知冲突，激发学习新知的愿望，为归纳二次函数概念埋下伏笔。 概念探究 一、实际问题列式 问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，y 与 x 之间有什么关系？ 问题2：n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛场次数 m 与球队数 n 之间有什么关系？ 问题3：n 边形的对角线数 d 与边数 n 之间有什么关系？ 问题4：某产品现在的年产量是 20 件，计划今后两年产量每年都比上一年增加 x 倍，两年后产量 y 与 x 之间有什么关系？ 二、观察归纳 观察上面四个式子，它们有什么共同特点？ 三、形成概念 一般地，形如______________的函数，叫做二次函数。其中 x 是______，ax² 是______，a 是______；bx 是______，b 是______；c 是______。 活动一：列式表示 学生独立思考、列式： 问题1：y = 6x² 问题2：每个队要和其余 (n−1) 个队各赛一场，但甲对乙与乙对甲是同一场，所以 m = n(n−1)，即 m = n² − n 问题3：从每个顶点出发可引 (n−3) 条对角线，n 个顶点共 n(n−3) 条，但每条对角线被两个顶点各算一次，所以 d = n(n−3)，即 d = n² − n 问题4：一年后产量为 20(1+x) 件，两年后为 y = 20(1+x)² = 20x² + 40x + 20 活动二：观察比较 师：请同学们观察黑板上的四个式子： y = 6x²； m = n² − n； d = n² − n； y = 20x² + 40x + 20 它们等号右边关于自变量的式子，在形式上有什么共同特征？ 生小组讨论后汇报： ① 等号右边都是整式； ② 自变量的最高次数都是 2。 活动三：归纳定义 师：类比一次函数 y=kx+b（k≠0），你能给这类函数下个定义吗？ 师生共同归纳并板书： 一般地，形如 y = ax² + bx + c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。 其中 x 是自变量；ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 师追问：为什么一定要强调 a ≠ 0？如果 a = 0，会发生什么？ 生：如果 a=0，式子就变成 y = bx + c，当 b≠0 时就是一次函数；当 b=0 时就是常数函数，不再是二次函数了。 师：那么 b、c 可以为 0 吗？举例说明。 生：可以。比如 y=ax²（b=c=0）、y=ax²+bx（c=0）、y=ax²+c（b=0）都是二次函数。 学生能正确列出四个实际问题的函数关系式；能通过观察比较说出“整式、最高次数为2”两个共同特征；能类比一次函数说出二次函数的定义；能解释 a≠0 的必要性，并能举例说明 b、c 可以为0。 让学生经历“实际问题—列式—观察—归纳—定义”的完整数学建模过程，从熟悉的正方体、比赛、对角线、产量问题中抽象出二次模型，落实数学抽象与模型观念。通过“为什么 a≠0”的追问，突破难点，让学生在说理中理解概念本质，而不是机械记忆。 课堂练习 例1：下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项。 (1) s = −2t² + 3t； (2) y = 3(x−1)² + 1； (3) y = (x+3)² − x²； (4) v = πr²； (5) y = x³ + x² + 25； (6) y = 2² + 2x。 例2：若函数 y = (m−2)x^{m²−2} 是关于 x 的二次函数，求 m 的值。 练习：一个长方形的长是宽的 2 倍，设宽为 x m，面积为 y m²。 (1) 写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2) y 是 x 的什么函数？ (3) 当 x = 3 时，求 y 的值。 例1讲评： 先让学生独立判断，再全班交流。强调：判断前要先把式子展开、化简，再看最高次数。 (1) 是。二次项系数 −2，一次项系数 3，常数项 0。 (2) 展开 y = 3(x²−2x+1)+1 = 3x²−6x+4，是。二次项系数 3，一次项系数 −6，常数项 4。 (3) 展开 y = x²+6x+9−x² = 6x+9，化简后二次项系数为 0，不是二次函数。 (4) 是。二次项系数 π，一次项系数 0，常数项 0。 (5) 最高次数是 3，不是二次函数。 (6) 2² = 4，即 y = 2x + 4，是一次函数，不是二次函数。 例2讲评： 解：∵ y = (m−2)x^{m²−2} 是二次函数， ∴ m² − 2 = 2，且 m − 2 ≠ 0。 由 m² − 2 = 2，得 m² = 4，∴ m = ±2； 又 m − 2 ≠ 0，即 m ≠ 2， ∴ m = −2。 教师强调：此类题必须同时满足两个条件——次数为2、二次项系数不为0，缺一不可。 练习：学生板演。 解：(1) 长为 2x m，y = 2x·x = 2x²； (2) y = 2x² 是二次函数； (3) 当 x = 3 时，y = 2 × 3² = 18（m²）。 例1通过“先化简再判断”的辨析，特别是 (3)(6) 两个反例，纠正学生“只看表面形式”的误区，深化对 a≠0 的理解；例2通过含参数问题，强化“次数为2且二次项系数不为0”的双重条件；实际问题练习让学生再次经历建模过程。题目由易到难、由判断到说理再到建模，层层递进。 反思总结 学生为主体发言总结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 师：请同学们闭上眼睛回顾一下，这节课我们认识的新函数叫什么？它的一般形式是什么？判断时最容易忽略什么条件？ 生1：二次函数，一般形式是 y=ax²+bx+c（a≠0）。 生2：要特别注意 a≠0；遇到复杂式子要先化简再判断。 生3：我还知道了二次函数在正方体表面积、比赛场次、面积问题中都有应用。 师：大家还有什么疑问吗？课后请完成教材习题 26.1 第1、2题。 学生能用自己的语言说出二次函数的定义、一般形式与 a≠0 的条件；能举例说明二次函数的简单应用。 通过师生共同回顾，梳理本节课的知识脉络与思想方法（类比、从特殊到一般、数学建模），强化 a≠0 这一易错点，培养学生的归纳概括能力与反思习惯。 板书设计 26.1 二次函数的概念 一、实际问题： y=6x²； m=n(n−1)； d=n(n−3)； y=20(1+x)² 二、定义： 一般地，形如 y = ax² + bx + c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。 ax² —— 二次项，a —— 二次项系数 bx —— 一次项，b —— 一次项系数 c —— 常数项 三、注意：a ≠ 0（b、c 可以为0）；先化简，再判断。 提纲挈领,重点突出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $