广东汕头市潮阳实验学校2026-2027学年第一学期第一次月考高三数学试卷

汕头市潮阳实验学校2026~2027学年度第一学期第一次月考 高三数学试卷 命题人:朱海涛审题人:周道贤 一、单选题 1.设一组样本数据1,2,,的方差为0.01,则数据10x1,10x2,,10x的方差为() A.0.01 B.0.1 c.1 D.10 2.已知两个单位向量名,g的夹角为30 ,且满足g12g-V5,则1的值为() A.1 B.2 c.5 D.√2 合上、下底面均为有一个内角为60 的菱形,上、下底面边长分别为2和3,体积为)”, 台的高为() A.25 B.2 C.1 D.3 4.已知y=f(x-)的图象关于点(1,0)对称,且对x∈R,都有f(x-)=f(3-x)成立,当0≤x≤1 时,f(x)=x2,则f(2027)=() A.2 B.0 C.1 D.-1 5.已知圆x2+y2-2x-4y+a=0上有且只有两个点到直线3x-4y-5=0的距离等于1,则实数a的取值 范围是() A.(4,4) B.(4,) C.(1,4 D.(2,4) 6.设抛物线y2-8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥L,A为垂足,如果直线AF的斜率 为-√3,那么1PF1=() A.4V5 B.8 c.85 D.16 7.设函数f(x)=si血(x-p)(0>>-2x),若将y=f(x)的图象沿x轴的负方向平移3p个单位长度, 所得图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,则满足条件的p的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 8五名男生和五名女生排成一列,从左边第一个位置开始至右算到任何一个位置,.男生的人数不比女 生的人数少,且所有男生之间的顺序一定,这种排队方式共有()种。 A.30240 B.25200 C.5040 D.2520 二、多选题 9.已知i为虚数单位,复数z=i-√5,则下列说法不正确的是() A.z的虚部为i B.z的共轭复数z=i+√万 c.2l=2 D.z2=4-25i 10.已知x、y是正数,且2x+y=1,下列叙述正确的有() Ay最大值为日 B.4x+的最小值为) C.√2x+√5最小值为√2 D.1+最小值为3+25 x y 11.己知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)e+2,则() A.当x<0时,∫(x)=-(x2-3)e-2 B.x=-1是f(x)的极大值点 C.f(x)≥2当且仅当x≥5 D.关于x的方程ff(x)=0的解有6个 三、填空题 12.双曲线x2-2y2=1(2≠0)的离心率为 13.数列{an}满足4=0,a4+a。=2n,则4m1= 14.现有n(n≥3,n∈N)个相同的袋子,里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球,第: (k=1,2,3,,)个袋中有k个红球,n-k个白球现将这些袋子混合后,任选其中一个袋子,并且从中 个球(每个球取后不放回),若第三次取出的球为白球的概率是?,则在前两次 白球的条件下,第三次取出的球是白球的概率是 四、解答题 15.已知数列{an}是等差数列,a2=5,a4+a=20. (1)求数列{an}的通项公式: D (2)若bn=an+2,求数列{色}的前4项和Sn 16.如图,已知AB是圆柱下底面圆的直径,点C是下底面圆周上异于A,B的动 点,CD,BE是圆柱的两条母线. (1)求证:平面ACD⊥平面BCDE: (2)若AB=5,BC=2,圆柱的母线长为2√5,求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值. 17.随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强,新能源汽车的市场需求也在不断增加新能 源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型某汽车企业生产的A型汽车,有混合 动力和纯电动两种类型,总日产量达120台,其中有30台混合动力汽车,90台纯电动汽车. (1)若从中随机抽检2台汽车,用X表示抽检混合动力汽车的台数,分别就有放回抽检与不放回抽检, 求X的分布列及数学期望: (2)若从每日生产的120台A型汽车中随机地抽取10台样本,用Y表示样本中混合动力汽车台数,分别 就有放回抽取和不放回抽取,用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比 例,求误差不超过0.15的概率,并比较在相同的误差限制下,采用哪种抽取估计的结果更可靠。 二项分布概率值 超几何分布概率值 0 0.05631 0.04929 0.18771 0.18254 0.28157 0.29051 0.25028 0.26134 0.14600 0.14701 0.05840 0.05396 6 0.01622 0.01307 0.00309 0.00206 0.00039 0.00020 9 0.00003 0.00001 10 0.00000 0.00000 总计 1.00000 1.00000 参考数据:(概率值精确到0.00001) 18、已知椭圆: +长-1口>6>0的离心率为马,左右顶点分别为4,4,上肌点为,且 |4B=V6. (1)求椭圆c的方程: (2)若P为椭圆在第一象限上一点, PA4,的面积是 POB的面积的2√2倍,求P的坐标; (3)已知斜率为k的直线1在y轴上的截距为m(0<m<b),I与椭圆交于M,N两点,是否存在实数k使 得kwk≥k2恒成立?若存在,求出k的取值范围,若不存在,说明理由. 192知函数r=号-6e+on-ax-aa-克a>0叭 ①当a=1时,求x)在0,-)处的切线方程,并证明:f+x2>2x-3: (2)是否存在a>0,使得f(x)>0在(1,+∞)上恒成立,并说明理由; 3)当a∈(+o)时,探究函数r的零点个数。 (参考数据:ln2.1=0.742) 汕头市潮阳实验学校20262027学年度第一学期第一次月考 高三 数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D B A ABD ABD 题号 11 答案 AB 12. 5成6 13.2020 7.【详解】向左平移3p个单位:g()=sim[(x+3p)-p]=sim(x+2p): 由两图像关于x轴对称,所以g()=-f(x),sim(x+2p)=-si血(x-), 由-si血a=sin(a+得:sim(x+2p)=s血(x-p+, 所以x+2p=x-p+ +2或x+2@=花-(x-印++2m,第二个等式含x,对任意x不恒成立,舍去 整理x+2p=x-0+元+2 得:30= +2kmr p号+2 33 因为-2<p<0,所以-子<k<子,所以整数k=3,么1. 2 k=-1时,=西-2=恶 33=-3 区纸=A k=-2时,p=号3 k=3时,9-音-a=受 三个都落在(-2红,0)区间,共3个 8.【详解】:设f(m,n)表示已经排了m个男生、n个女生,且始终满足条件的性别排法数。显然必 须有m≥n,否则不符合题意。 考虑最后一个位置,如果最后一个是男生,那么前面有m一1个男生,n个女生,排法总数为f(m一1): 如果最后-个是女生,那么前面有m个男生,n-1个女生,排法总数为f(m,n一1) 递推关系:f(m,n)=f(m-1,n)+f(m,n-1) f(1,1)=f0,1)+f1,0)=0+1=1 f(2,1)=f(1,1)+f(2,0)=1+1=2 f(2,2)=f(1,2)+f(2,1)=0+2=2 f(3,1)=f(2,1)+f(3,0)=2+1=3 f(3,2)=f(2,2)+f3,1)=2+3=5 f(3,3)=f(2,3)+f3,2)=0+5=5 f(4,1)=f(3,1)+f(4,0)=3+1=4 f(4,2)=f(3,2)+f(4,1)=5+4=9 f(4,3)=f(3,3)+f(4,2)=5+9=14 f(4,4)=f(3,4)+f(4,3)=0+14=14 f(5,1)=f(4,1)+f(5,0)=4+1=5 f(5,2)=f(4,2)+f5,1)=9+5=14 f(5,3)=f4,3)+f(5,2)=14+14=28 f(5,4)=f(4,4)+f5,3)=14+28=42 f(5,5)=f(4,5)+f5,4)=0+42=42 42 A =5040 答案:C.5040 11.【详解】对于A:已知f(x)是R上的奇函数,当x<0时,-x>0,得: f(-x=-)2-3]e+2=(x-3e*+2, 由奇函数性质f)=-f(-),得:f()=-(2-3)e-2,A正确: 对于B:x<0时,f(x)=((x-3e*-2,求导得:()=(x-3x+)e, 由()=0得x=-1,当x<-1时,>0,(单调递增,当-1<x<0时,(x)<0,f(x单 调递减。 所以x=-1是f(x)的极大值点,B正确: 对子C:当x>0时,≥2等价于(2-3列e20,解得x≥5;但当x<0时,f(-)=28-2>2, 满足)≥2,但-1<√5,不符合“当且仅当x≥√万",C错误: 对于D:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以fO)=0,x=0是一个零点: 当x>0时,fx)=(径-3列e+2,求导得f(x)=(x+3x-1)e, 可知fx)在0,1)单调递减,在0,+四)单调递增,因此x>0时f(x)的最小值为f()=2-2e<0: 又x 0时x) -1<0,x ∞时 ∞,因此f(x)在(10有且只有1个零点, 设其为a,结合选项C可知aeLW同): 由奇函数性质可知,x<0时,f(x)必存在零点b=-a, 即f=0共有3个零点:a∈月,0,b=-a∈(-5-). 故fU(x)=0等价于f)=a或f)=0或f)=b, f(=a时,a∈同),小于f)的最大值2e-2,共3个解 f()=时,因为be(一5,-,大于f树的最小值2-28,共3个解: fx)=0时共3个解: 综上,((x》=0的解共有3+3+3=9个,D错误. 14.【详解】设“取出第1个袋子"为事件4(0“1,23,…,), “从袋子中连续取出三个球,第三次取出的球为白球”为事件B, 则Q=AU么U-U4.且4,儿两两互斥,1-2A,P4)-日 对于第(个袋子,白球数为n一【,从第1个袋子中连续取山三个球(每个球取后不放回), 因此第三次取出的球为白球P(风4)=”二。 所以P(4小-4P4)-片 ””,由全概率公式, P=P(4+P(%++P(4-ta-+a-2++(n-】/ =京*[a-)*a-明- 令-12 2n-5,解得n=5. 所以第1个袋子(化=1):1个红球4个白球;第2个袋子(k=2):2个红球3个白球: 第3个袋子(化=3):3个红球2个白球:第4个袋子(化=4):4个红球1个白球: 第5个袋子(k=5)5个红球 设前两次取出白球为事件C,第三次取出白球为事件D,则P(DC=PC 又四为@)-袋+0-货++引5 Peoj-g40器+0o+-器+-t 故在前两次取出的球是白球的条件下,第三次取出的球是白球的概率是子: 15.【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d. 由题意得 a+d=5 20,+7d=20,解得4=3,d=2 所以a=4+(n-l)d=3+(n-)2=2n+1. 数列{性划}的组项公式为鸟妇同214山,b乡息目分 ()由题意可得, 心。爵九卡+乌+b中中ba+b e2+3+22+5+2八+7+…+2"+2n+1 (2'+2+2+42)+(3b5+7+小2n+1) 20-2,3+2n+9m22-)+m+21=2+㎡+2m-2 所以数列{b,}的前n项和Sn为21+2+2n=2,。6.13分 16、(1)证明:因为AB是底面圆的一条直径,C是下底面圆周上异于A,B的动点, 所以AC⊥BC, 又因为CD是圆柱的一条母线,所以CD⊥底面ABC, 而CG廊面ABC,所以CD⊥AC, 因为CDc平面BCDE,BCc平面BCDE,且CDnBC=C, 所以AC⊥平面BCDE, 又因为ACC平面ACD,所以平面ACDL平面BCDE, 6分 (2)如图所示,过点A作圆柱的母线AM,连接DM,EM. D 、 因为底面ABC/I底面DME,所以即求平面ADE与平面DME的夹角. 因为M,E在底面ABC的射影为A,B,且AB为下底面圆的直径, 所以EM为上底面圆的直径, 因为AM是圆柱的母线,所以AM⊥平面DME, 因为DEC平面DME,所以AM⊥DE. 又因为EM为上底面圆的直径,所以MD⊥DB, 因为M,DiMC平面AD,AM∩DM=M,所以DE⊥平面AMD, 因为ADC平面AMD,所以DE⊥AD,又因为平面ADEO平面DME=DE, 所以MDA为平面ADE与平面DME的夹角, 又因为D在底面ABC的射影为C,所以DB=BC=2,ME=B=5, 所以DM=N52一2=√2,又因为母线长为2√5、所以AM=25, 又因为AM⊥平面DMB,DMc平面DME,所以AM⊥MD, 所以4D-V22+(2i=√3, 所以coS∠MDA= 厉 丽川, 即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为历 0+00000 00 15分 11 17.【详解】(1)对于有放回抽检, 每次抽到混合动力汽车的概率为:,且各次抽检结果是独立的, 设x为有放回抽检的混合动力米车的台数,则X-B2,》x可取0,1,2, %-名-*对0x=刘-石 X的分布列如下: 0 9 3 1 16 8 16 9 则(X)=0x6+x后+2 11 8 162 :0 5分 对于不放回抽检,各次抽检的结果不独立, 设X,为不放回抽检的混合动力汽车的台数,则X2服从超几何分布, X2可取0,1,2,P(X2=0)= -%:P6=功=S10 =267 =29 C哈 476 P(X=2)= 476 Xz的分布列如下: X2 0 P 267 180 29 476 476 476 则B(X2)=0x 267 180 +2 291 +1 476 476 476-2 注:也可按照下面步骤作答 X0分布列为PK-c目(目=a28X)-2x 名分有列为PK=制-答a2)-瓷-片 (2)样本中混合动力消车的比例一是一个随机变量,根银参考致据。 有放回抽取:P。-0.25≤0.15)=P(≤Y≤4)≈0.18771+0.28157+0.25028+0.14600=0.86556 不放回抽取:P(0f-025≤0.15)=P(1≤Y≤4)≈0.8254+0.29051+0.26134+0.1l4701=0.88140 因为0.86556<0.88140, 所以,在相同的误差限制下,采用不放回抽取估计的结果更可靠.4 15分 18【1由圆意e日-号44-F-6即d-2,且+f.6 又c2=d2-b,解得a=2,b=e=√2; 即椭圆c的方程为兰+上 =1.000.0400s4中00 00014分 42 (2)设P(%), 则%=*4l8m-分4 因S4=22Sna,可得i=l, 代入椭圈方程得6=,=25 3 因P为椭圆在第一象限, 则P 2525 33 000…9分 (3)设直线:y=女+m,M(,N(5,2),如下图: y年c+m 联立方程 +之=壁理可得2++4m+2m-4=0, 42 因此名+五=一 Alon 2m2-4 派+=2k+1 因为 =(4km2-4(2k2+2m2-4)>0,可得m<4k2+2 易知ko么如冬者使得ur之恒欣立,即效=低+m+园之尺 西 5 由g(x)=0得:x2-2x-a=0,A=4+4a>0 因为0<m<√2 则4<0, 可得(+m)c+m)s25,即m(名+为)+m2≤0 所以m 4品 m≤0-42+1+2水s02≥ 嘴型。[停树…7分 1a解:D当a=时f因-e+0加x-x之 f)=x-x-1-1=*-mx-1-2 f0=-2,0)=-1…2分 x在(1,-)处的切线方程为:y+1=-2(x-)=-2x+2,即2x+y-1=0…3分 记:0国=f树+2=子-6e+0nz*x-号 …4分 i树=x-nx-x+1+1=x-nx- x 》+3 24>0…5分 x2 ∴(x)在(0,o)上单调递增,且h'()=0, ∴h(x)在(0,)上单调递减,.在色oo)上单调递增, .x=1为(x)的极小值点,也是最小值点, ∴h(xmm=h()=1…6分 h(x)21,即f(x)+2x21, 又-x2+4x-3=(x-22+1≤1, f()+2x>-x2+4x-3(取等条件不一致) f)+x2>2x-3…7分 (2)存在a∈(0,04使f(x)>0在1,+)上恒成立.理由如下:…8分 由侧在+时上恒成立 020,分4-2+号20, a-a+0<as号 49分 由f()>0得: 2-2ac-2c2+a-2hx>0, x+a 设g0的=-2r-24+a-2nx, xta g0=c+202-0.…10分 x(+a)2 由g'(x)=0得:x2-2x-a=0, =4+4a>0 x>00=1+Ni+a, 当x∈Q,1+V+a)时;g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈0+V+a,+o)时,g'(x)>0,g()单调递增…1l分 x=1+√+a为g()的极小值点,也是最小值点, g(x)a=g(o)=21-a-ln1+V1+a》…12分 含=ire:a=2-,ea+5, ∴x)mm=20-2+2t-ln),记m(0=1-2+2t-nt, mi0=-24+2-<0,m0单调递减…13分 又m(2.)=-(2.1)2+2(2.1)-n2.1=2-1.12-ln2.1=0.79-0.742=0.048>0, 1e2521+9时,m020,即3>0,0≥0, 3t∈(2,2.]即a∈(0,0.4]时,8()>0恒成立, .a∈(0,0.4]使f(x)>0在(1,+o)上恒成立…14分 (3)当ae分+四)时,由(2)知e+5 ,t), m初<0,m0在0+回)上单调递减 :612,m22)=2-122-a22=0,56-h22<0…15分 2 m(t)<0∴g(xmin<0, 当x 0时,-2nx +o0,g() ∞,3x∈(0,1+V1+a),使g(x)=0,即f()=0, 当x oo时,g(x) +o,3x2e(1+V1+a,+o),使g(x2)=0,即f(2)=0…16分 二当ae(o网)时,f因有2个零点.…17分