福建省福州杨桥中学2026-2027学年 上学期九年级数学第一次学情自测（10月）试卷

福州杨桥中学2026-2027学年第一学期10月适应性练习 九年级 数学 （本卷共8页；满分150分；时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写到答题卡规定的位置！答在本试卷上一律无效 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，共40分） 1. 对称现象是自然界的和谐之美，也是数学美的体现．在数学活动课中，同学们利用绘图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与轴的交点坐标是( ) A. B. C. D. 4. 如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变 6. 用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. 1 C. π D. 2 10. 已知实数a、b、c满足，，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分） 11. 若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 12. 若为方程的解，则的值为__________． 13. 如图，与相切于点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为_____． 14. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CE＝1，AB＝10，那么半径OC的长为____．” 15. 下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是___________； 16. 如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 三、解答题（本大题共9题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 19. 已知关于x的一元二次方程（为常数），若，求证：该方程总有两个不相等的实数根． 20. 为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程． 21. 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作轴于点，，点在线段上，且．求的值及线段的长． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于点D，再作，使得圆心O在边上，且过点B、点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 23. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 24. 如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交BC于点G，，连结，DG．设． （1）用含的代数式表示． （2）求证：． （3）如图2，为的直径，当的长为2时，求的长． 25. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 福州杨桥中学2026-2027学年第一学期10月适应性练习 九年级 数学 （本卷共8页；满分150分；时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写到答题卡规定的位置！答在本试卷上一律无效 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】13 【15题答案】 【答案】1.2 【16题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共9题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 【17题答案】 【答案】 ， 【18题答案】 【答案】（1） 证明：由题意可知：，， ∵， ∴， 在与中，， ∴； （2）． 【19题答案】 【答案】 证明：∵ 该方程是关于的一元二次方程，二次项系数为， ∴ 根的判别式， ∵ ， ∴ ， ∵ 无论取何值，， ∴ ， ∴ 该方程总有两个不相等的实数根． 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】； 【22题答案】 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2） 【23题答案】 【答案】（1）；； （2）①能； ② 【24题答案】 【答案】（1） （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （3）3 【25题答案】 【答案】（1）①，；② （2） 证明：∵，，    ∴，    ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，        ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $