第3章圆锥曲线的方程单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第3章圆锥曲线的方程重难点练习-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 3．已知椭圆：，点，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则的值不可能是（    ） A． B． C．3 D． 4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 5．已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合，实数的取值集合为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 10．已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（   ） A．若直线的斜率为，则 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．若点，则周长的最小值为 11．双曲线的焦点分别是，，下列命题正确的有（   ） A．双曲线C上一点M满足，，则的值为1或9 B．以，为直径的圆与双曲线C相交于点P，则的面积为12 C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 D．若直线与双曲线C交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线C的离心率为 三、填空题 12．已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 13．已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 14．已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 四、解答题 15．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 16．动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 17．已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 18．已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，.设与的面积分别为，. （i）证明直线与椭圆相切，并求出切点； （ii）比较与的大小. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第3章圆锥曲线的方程重难点练习-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D B A A B BCD BCD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】由题意求出的值，再根据抛物线的焦点坐标公式求解即可. 【详解】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 2．A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 3．A 【分析】记椭圆的上顶点为，根据结合直角三角形中三角函数的定义即可求解. 【详解】由题知，的最大值要大于等于，记椭圆的上顶点为，易知， 则，又因为，则，，而， 所以，故的值不可能是. 4．D 【分析】先利用椭圆知识得到三边与的关系，然后将的面积用表示，从而得到的值，进而得到长轴长. 【详解】由椭圆的定义可知，又，可得，. 已知椭圆的离心率为，故. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以. 则， 于是，解得， 故椭圆的长轴长为12. 5．B 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 6．A 【分析】设直线的方程为，，，作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，利用几何关系得，从而得，进而求出点坐标，即可求解. 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 7．A 【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离及几何法求弦长即可. 【详解】双曲线:的渐近线方程为， 圆，圆心，半径， 因为双曲线、圆的对称性，故取其中一条渐近线， 圆心到的距离， 故所求的弦长为. 8．B 【分析】先由满足条件的集合求，再由椭圆条件求，最后判断集合关系. 【详解】当时，， 此时的最小值为，所以，即． 若，此时能取到最小值， 即，代入可得，满足要求，即； 若取不到最小值，则需满足，即， 而在上单调递减， 所以存在唯一符合题意；所以集合. 由椭圆的焦点在轴上，得， 解得，所以实数的取值集合为， 则，即. 9．BCD 【分析】根据椭圆方程判断其焦点位置，求出的值，即可逐一判断. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，离心率为. 故A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD. 10．BCD 【分析】对于A，由题意可得，联立后使用韦达定理有，由抛物线焦点弦长公式即可求得；对于B，由题意可得圆心到轴的距离等于半径，故B正确；对于C，设直线，与抛物线联立后结合韦达定理得，则，结合基本不等式即可求得的最小值；对于D，的周长为，其中为定值，由抛物线的定义，易得共线时取最小值，即此时周长取最小值. 【详解】对于A，由题意得，若直线的斜率为，则有直线， 联立，得，则有， 则焦点弦长，故A错误； 对于B，以为直径的圆，圆心为中点，半径为， 圆心到轴的距离为，等于半径，因此圆与轴相切，故B正确； 对于C，设直线， 联立，得，则有，则， 焦半径，，则， 将代入可得， 当且仅当时，即时等号成立， 故的最小值为，C正确； 对于D，的周长为，其中， 由抛物线的定义可得为点到准线的距离， 易得当共线时取最小值如图： 则，则，故D正确. 故选：BCD. 11．BCD 【分析】根据条件，求出a值，根据双曲线定义，可得的值，检验分析，即可判断A的正误；由题意，根据双曲线定义结合勾股定理，可得的值，代入面积公式，即可判断B的正误；根据双曲线方程，可得焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线距离公式，可判断C的正误；联立与双曲线C的方程，根据韦达定理，可得a值，代入离心率公式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，又，所以，解得， 由双曲线定义得，则，解得或9， 由，得，即， 所以，故A错误； 选项B：因为以，为直径的圆与双曲线C相交于点P， 所以，则， 不妨令P为第一象限的交点，则， 所以， 则，解得， 所以的面积，故B正确； 选项C：设双曲线渐近线方程为，即，焦点， 则焦点到渐近线的距离，故C正确； 选项D：联立，得， 设，则，解得， 所以离心率，故D正确. 故选：BCD 12． 【详解】的准线方程为：， 当时，， 解得，故交点为. 13．6 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 14． 【分析】根据过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，得到渐近线的倾斜角范围，进而得到关于，的不等式，利用，进而得到关于，的不等式，可求得离心率的取值范围. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率， 即. 15．(1)； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； (3) 【分析】（1）根据点F与圆M上的点距离最小值为得到方程，求出； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据根的判别式得到方程，结合，求出，得到直线的方程； （3）在（2）的基础上，得到直线和直线的方程，确定直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，结合点到直线距离公式得到三角形面积，求出最值. 【详解】（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； （2）略 （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即得. 【详解】（1）由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3， 得，整理得， 所以曲线C的方程为. （2）由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为， 由消去得，解得， 所以. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）利用弦长公式，可得的值. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，分离常数，可求的最大值. 【详解】（1）由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. （3）如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. 18．(1) (2) (3)存在，或． 理由如下： 设，， 联立方程得，， 所以，． 假设定点在以线段AB为直径的圆上，则， 又，， 所以， 即， 所以， ， 整理得， 该式对任意m恒成立，所以各项系数必须全部等于0，得， 若，则，方程无解，所以，， 当，时，，解得（舍）或； 当，时，，解得（舍）或． 综上所述，或． 【分析】（1）利用双曲线渐近线斜率与焦距，联立关系式，求出直接写出双曲线方程； （2）由直线与圆相切，用点到直线距离求出参数m；联立直线双曲线，韦达定理算弦长，再求原点到直线距离，用求面积； （3）设定点，直径圆条件转化向量数量积，代入韦达整理为关于m的多项式，令各次项系数为0，解方程组求n. 【详解】（1）因为双曲线C的渐近线为，所以由题意知，即， 由C的焦距为6，得，即，故， 所以，， 所以C的方程为． （2）圆的圆心为，半径为， 因为直线l与圆相切， 所以，解得（舍）或， 所以l的方程为，即． 设，，联立方程得， 所以，． 所以． 又原点O到l的距离， 所以的面积为． （3）略 19．(1) (2)（i）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. （ii） 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，通过方程的根来证明直线为椭圆的切线； （ⅱ）由对称性可知，当时，；当时，，设，，联立直线与直线，，利用化简转化，再利用，最终化简证明. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为. （2）（i）略 （ii）设，易知，当时，由对称性可知，． 当时，不妨设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $