第3章圆锥曲线的方程练习卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第3章圆锥曲线的方程练习卷-2026-2027学年数学人教A版选择性必修第一册 基础闯关 一、单选题 1．椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 5．设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上异于长轴端点的动点．若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥曲线和均经过点，则的焦点与的渐近线之间的距离为（     ） A． B． C． D． 8．，抛物线的焦点分别为，坐标原点．过的直线交于点，过的直线交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为双曲线，且焦点在轴上，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 10．已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 11．已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 三、填空题 12．已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 13．若椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为，则四边形周长的最小值为________． 14．如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 四、解答题 15．过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 16．已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知，是过点的两条相互垂直的直线，的倾斜角为锐角，与交于，两点，与交于，两点，且，求的方程． 17．已知抛物线 （）经过点 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)设直线 与抛物线 交于 两点，且 .证明：直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 18．已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 19．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，.设与的面积分别为，. （i）证明直线与椭圆相切，并求出切点； （ii）比较与的大小. 拔尖闯关 20．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为.点是椭圆上位于第一象限内的一点． (1)若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； (2)设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； (3)设直线与椭圆交于另外一点，直线与椭圆交于另外一点，为直线上一点（为坐标原点），问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第3章圆锥曲线的方程练习卷-2026-2027学年数学人教A版选择性必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C A B A ABD ACD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】根据椭圆标准方程的性质即可求解. 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得 ， 所以椭圆焦点在轴，，坐标为. 2．C 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所求点的轨迹方程为． 3．B 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 4．D 【详解】双曲线：，则， 由双曲线定义可知，解得或， 因为，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以. 5．C 【详解】将代入双曲线方程得， 解得， 所以的渐近线方程为 6．A 【分析】先根据椭圆的定义得到，，再设外接圆的半径为,内切圆的半径为，从而根据题意得到，再利用内切圆法得到，再根据正弦定理得到，从而结合三角形的面积公式得到，从而根据余弦定理得到，从而根据即可求出的值，进而即可求出的面积 【详解】由椭圆，则由椭圆的定义可知，且， 设外接圆的半径为,内切圆的半径为，则，得， 所以， 在中，由正弦定理有， 即，即， 所以，即， 在中，由余弦定理有， 又，即，化简得，解得， 所以的面积为． 7．B 【详解】由，所以的焦点为. 由，所以的渐近线方程为. 所以的焦点与的渐近线之间的距离为. 8．A 【分析】先求出两条抛物线的焦点，设过焦点的直线方程并联立抛物线方程，结合韦达定理和向量点积条件得到直线参数关系，再计算两个三角形的面积比即可， 【详解】的焦点，的焦点， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得，， 由题知，即，得， ， ，代入得， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得， ， 同理，即，得， ， ，代入得， 故. 9．ABD 【分析】根据题意，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程，以及椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故B正确. 对于C，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故C错误. 对于D，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，， 所以，解得，，所以离心率为，故D正确； 10．ACD 【分析】由实轴长求，由离心率求，再由求，进而判断各选项. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 11．BC 【分析】对A和B，根据条件，利用抛物线的性质，即可求解；对C，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对D，根据条件，可得，即可求解. 【详解】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，因为，由图可知，所以D错误. 12． 【分析】由点在抛物线上求参数值，即可得抛物线，应用点斜式写出直线方程后设直线MN的方程为，联立抛物线得到韦达定理，且MN的中点坐标为，再由点在直线上求参数，最后由弦长公式可得. 【详解】如图，因为在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，    因为直线的斜率为1，所以直线的方程为； 设直线MN的方程为， 由，消去得， 设，则，于是线段MN的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得， 所以， 所以. 13． 【分析】菱形面积转化为对角线乘积的一半，周长借助勾股定理表示，最后借助基本不等式求最值. 【详解】由题，，且四边形为菱形， 又因为菱形的面积为，所以， 四边形周长为，当时，等号成立， 故四边形的周长的最小值为. 14．/ 【分析】通过相似椭圆的定义与椭圆方程求出：，再设出直线的方程，与椭圆联立，根据相切得到，同理得到，可知，是方程的两根，根据韦达定理即可求出. 【详解】由题意可知，，解得，，则， 设，则，化简得， 设直线的方程为，即， 代入整理得， 则， 整理得， 设直线的斜率为，同理得， 所以，是方程的两根， . 15．(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）设，，，联立直线与轨迹的方程，结合韦达定理，用表示面积，利用基本不等式求得其最大值. 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即解得. 又点在圆上，所以， 即， 故动点的轨迹的方程为． （2）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， ，     令，则， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设：（），：，与双曲线方程联立，再结合弦长公式求解. 【详解】（1）设的焦距为，由题意得得， 所以的方程为． （2）设：（），：，，． 由，得，得． 由得， 得， 所以 ， 同理可得． 由，得，得，得． 当时，， 得，，，，符合题意． 故的方程为． 17．(1)； (2)证明：因为直线 与抛物线有两个交点， 所以 不可能是平行于 轴的直线（否则与抛物线只有一个交点）， 故可设，代入 得 ， 即 ，判别式 . 设，，则 ， . 由 都在抛物线上得 ，， 所以. 由 得 ，即 ， 所以 ，解得 或 . 若 ，则直线 经过原点 ， 此时 中有一点与重合，与 中有零向量，不符合题意，故舍去. 所以，即，直线恒过定点. 检验：当 时 恒成立，直线与抛物线恒有两个交点, 取 得 ，与 交于 、， 此时 成立，定点 确在 上. 【分析】（1）把点 的坐标代入 ，求出，即可求得抛物线的方程. （2）可设，代入 得 ，设，，则 ，，由得即，从而求得，再证明直线 经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）把点 的坐标代入 得 ，即 ，解得 . 所以抛物线的方程为 . （2）略，定点为 . 18．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的条件列式求出即可. （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及共线条件求解；（ii）求出四边形面积的表达式，利用函数的单调性求出范围. 【详解】（1）由双曲线的左焦点为，离心率为， 得，则， 所以双曲线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， ，由，得，联立解得， 所以直线的方程为. （ii）由（i）知，连接，设四边形的面积为， 则，由对称性不妨令，由， 得，即，则，解得， ，而为中点，则， 而，因此， ，，， 则，函数在上单调递增， 于是，而当从小于的方向趋近于时，， 所以四边形的面积的取值范围为. 19．(1) (2)（i）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. （ii） 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，通过方程的根来证明直线为椭圆的切线； （ⅱ）由对称性可知，当时，；当时，，设，，联立直线与直线，，利用化简转化，再利用，最终化简证明. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为. （2）（i）略 （ii）设，易知，当时，由对称性可知，． 当时，不妨设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 20．(1)或； (2)当时，取得最小值， 最小值为． (3)设，， 又题设的斜率必存在且，故设， 由可得，整理得， 故 ， 故，故， 故，同理. 因为，故， 故 ， 当且仅当即时，为定值. 【分析】（1）求得椭圆的离心率，分类讨论可求得； （2）可得直线的方程分别为，，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得，，进而可求取得最小值； （3）设，，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求的坐标，同理可求的坐标，从而可用的坐标表示，结合在椭圆上化简前者可得时定值为. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或； （2）易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，故， 因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为． （3）略. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $