第1章空间向量与立体几何单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第1章空间向量与立体几何重难点练习-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 2．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知正四面体的棱长为分别为棱的中点，则的值为（   ） A． B．2 C．-2 D． 4．如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 5．在三棱柱中，D是BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的轴截面为，在空间直角坐标系中，点，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的直径的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为和，对应的圆心角为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．若向量，夹角为锐角，则 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列结论正确的有（    ） A．点关于轴对称的点的坐标为 B．若，且，则 C．若，且，则 D．在上的投影向量为 11．如图，在棱长为2的正方体中，为内的任意一点（含边界），则下列结论正确的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到直线的距离的最小值为 C．向量与夹角的取值范围是 D．若线段的中点为，当时，点的轨迹长度为 三、填空题 12．已知向量，单位向量满足，则，的夹角为_____． 13．已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 14．如图，在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为________. 四、解答题 15．如图，E，F分别是长方体ABCD-的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1); (2) (3). 16．如图，在平行六面体中，，，，． (1)设，，，用，，表示； (2)求证：； (3)求的长． 17．已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 18．在直三棱柱中，,分别为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)若二面角是直二面角，求的长. 19．如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章空间向量与立体几何重难点练习-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A C A D BD BC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 空间中方向相同的向量不一定是相等向量，因为长度也不一定相等，故D错误. 2．C 【详解】， 故在上的投影向量. 3．B 【分析】利用空间向量基本定理将用和表示，再将展开，利用正四面体棱长及夹角求出各点积，最后代入计算。 【详解】 因为为中点，为中点， 所以 于是 在正四面体中,棱长为，各面均为等边三角形， 所以 所以 4．B 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， . 5．A 【分析】应用空间向量加减法计算求解. 【详解】． 6．C 【详解】由题意圆锥底面的半径，圆锥的高， 所以圆锥的体积为. 7．A 【分析】先根据题意，将平面的方程化为的形式，从而得到该平面的法向量及经过的点坐标，再应用向量法求点面距，结合球体的特征确定球直径的最小值． 【详解】由平面的方程可化为， 则平面的一个法向量为，且过点. 又球经过点，则. 所以点到平面的距离为. 所以球直径最小值为． 8．D 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式，取余弦绝对值，得到异面直线所成角的余弦值． 【详解】设底面扇环的圆心为，以为坐标原点，为轴，底面内垂直于向上为轴，竖直向上为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 已知底面扇环内外半径为和，圆心角为，曲池高为，为中点． 可得各点坐标：，，， ，，， 是中点，故．，． 计算数量积：， ，， 异面直线所成角范围是，余弦取绝对值： ． 9．BD 【详解】由，得，所以，解得，故A错误. 当时，，所以， 所以，故B正确. 当时，， ，所以C错误. 向量，的方向不可能相同，且向量，夹角为锐角， 所以，所以， 解得.故D正确. 10．BC 【分析】逐一利用空间点关于轴对称点坐标、向量垂直与平行的坐标关系、向量投影向量公式，对四个选项分别计算判断. 【详解】对于A：点关于轴的对称点的坐标特点是横坐标不变， 纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以关于轴的对称点的坐标为，A错误； 对于B：，若，则，解得，B正确； 对于C：若，则，解得，C正确； 对于D：，则在上的投影向量为，D错误. 11．ACD 【分析】根据面面平行的性质，可知点到平面的距离始终相等，即可判断选项A；根据线面平行的性质，利用等体积法计算即可判断选项B；由可知向量与夹角即为向量与夹角，从而求出夹角的取值范围，即可判断选项C；连接，由可知点在平面内，结合已知条件即可得出为点的轨迹，求出其长度即可判断选项D. 【详解】对于A，在正方体中，且， 则四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面，又平面，， 所以平面平面， 所以点到平面的距离始终相等，又面积不变， 所以三棱锥的体积为定值，选项A正确； 对于B，由A知平面，则点到直线的距离的最小值， 等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为，由， 则， 易知，，， 代入上式解得，选项B错误； 对于C，由A知，所以向量与夹角即为向量与夹角， 又为等边三角形， 当点在上时，向量与夹角为0； 当点在上时，向量与夹角为， 所以向量与夹角的取值范围为，选项C正确； 对于D，连接，设，连接， 由，则点在平面内，又点在平面内， 所以点在两个平面的交线上，即平面平面， 又为等边三角形，边长为，所以， 即点的轨迹长度为，选项D正确. 12．/ 【分析】根据模长公式可求解数量积，再根据夹角公式求解. 【详解】由，可得， 故， 所以，由于，故. 13．1 【分析】通过空间向量的线性运算将用表示，对比系数求出的值后计算和. 【详解】如图所示，在正方体中， 由，且为的中点，可得. 又，代入上式得： ， 因为，所以，， 因此.    14． 【分析】建立空间直角坐标系，设出、的坐标，利用条结合垂直关系的向量表示列方程得到两个参数之间的关系式，写出长度的平方关于参数的表达式，结合参数的取值范围，利用二次函数的性质求取值范围. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因为和分别为和的中点，所以， 因为和分别为线段和上的动点（不包括端点）， 设，， 则， 因为，所以，即，即， 则，可得， 当时，，当时，， 所以线段长度的取值范围为. 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 16．(1) (2)由（1）得，又， 又，，， 所以 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）根据空间向量基本定理可表示向量； （2）利用基底法可得向量数量积，即可得证； （3）利用基底法求向量模长. 【详解】（1）由已知可得； （2）略 （3）由（1）得， 又，，，． 则 . 17．(1) 或 (2) ， 【分析】（1）利用向量共线及向量模的坐标表示列式求解. （2）利用模的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示分类求解. 【详解】（1）由，，设， 又，则，解得， 所以或. （2）由，，得，解得， 依题意，，由向量与垂直， 得， 当时，，则，无解； 当时，，则，解得， 所以. 18．(1)证明：连接，因四边形是矩形，与互相平分， 因是线段的中点，则是的中点，又因为的中点,则 又平面平面，故平面. (2) 【分析】（1）先证是的中点，利用三角形中位线定理推得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）依题建系，设，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式列方程求出的值即得. 【详解】（1）略 （2）易得平面，因为，则可以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    设，则，且①， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得； 因，则， 再设平面的一个法向量为， 则 ，取，得. 因二面角是直二面角，则， 将①代入，可得②. 联立①和②，解得，所以. 19．(1)证明：在中，点为的中点，且，； 又；且，平面；平面； (2)． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，根据所给的垂直关系，和直角三角形斜边的性质得到两个垂直条件； （2）根据梯形边长可证明，可得三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系求二面角的正弦值即可． 【详解】（1）略； （2），； ，，； ，； 由（1）可知，平面； 故以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； ，，，则； ，，； 取为平面的法向量； 设与平面所成角为， 则， 整理可得，解得； ，，； 设为平面的法向量， 则，即，令， 则； 设为平面的法向量， 则，即，解得； 令，则 则； 设二面角的平面角为， 则． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $