4.2.1二次函数y=ax2的图象与性质(第1课时二次函数y=ax2(a＞0）的图象与性质)（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第4章 二次函数 第1课时 函数y = ax2（）的图象与性质 4.2.1 二次函数y = ax2的图象与性质 导入新课 我们学了一次函数，你还记得它的图象吗？ 一次函数 y = kx + b（k0)图象是一条直线。 你还记得通常用什么方法来画函数图象吗？ 描点法 列表、描点、连线 今天，我们用这种方法来画二次函数的图象。 让我们从最特殊的二次函数 y = ax2 开始研究吧！ 学 习 目 标 1 2 3 知道二次函数的图象是一条抛物线. 会用描点法画出二次函数 y=ax2的图象（重点） 掌握二次函数 y=ax2（a>0）的图象特征和性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性和最值（重点） 新知探究 探 究 如何在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象？ 1.列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 2.描点： 3.连线： -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=x² 新知探究 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 x y=x² 观察 · 思考 小组合作学习 时间：5分钟 展示小组合作学习成果 问题1：观察图象，点A和点A'，点B和B'，…，它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？ A' A B' B C C' 问题2：观察图象，二次函数y=x²的形状是什么?开口方向怎样？与y轴的交点坐标是多少？ 问题3：观察图象，二次函数y=x²的图象在y轴的左边呈什么趋势？在y轴的右边呈什么趋势？这说明了什么? y 新知探究 问题1：观察图象，点A和点A'，点B和B'，…，它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？ -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 x y=x² A' A B' B C C' y (-3，9) (3，9) (-2，4) (2，4) (-1，1) (1，1) 关于y轴对称 猜测：y =x 2的图象是轴对称图形，对称轴是y 轴 那你能说明理由吗？ 在 y = x2的图象上任取一点P(d，e)， 则 e = d2 点 P 关于 y 轴的对称点 P′ 的坐标为(－d，e) 而 e = (-d)2 = d2 则点P′也在 y = x2 的图象上 y = x2 的图象关于 y 轴对称 新知探究 问题2：观察图象，二次函数y=x²的形状是什么?开口方向怎样？与y轴的交点坐标是多少？ -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=x² 一条曲线 抛物线 （0，0） 抛物线的顶点 开口方向向上 这点在抛物线中处于最低点 y值最小 当x =0 时，函数值最小，最小值为0 . 新知探究 问题3：观察图象，二次函数y=x²的图象在y轴的左边呈什么趋势？在y轴的右边呈什么趋势？这说明了什么? 在y轴的左边 从左往右图象下降 随着x的增大，y减小 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=x² 在y轴的右边 从左往右图象上升 随着x的增大，y增大 左降 右升 新知探究 总结归纳 10 8 6 4 2 -2 y 二次函数y = x2的图象与性质： y=x² 01 开口方向 开口向上 02 对称轴 y轴 03 顶点坐标 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 坐标原点(0, 0) 04 函数最值 最低点的y值最小 当x=0时，函数取得最小值y=0 05 增减性 对称轴左侧（x<0）：y 随 x 的增大而减小； 对称轴右侧（x>0）：y 随 x 的增大而增大。 这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴. 图象特征 顶点坐标 ． 开口方向 对 称 性 函数性质 增 减 性 最 值 原点(0,0), 是图象的最低点． 开口向上． 关于y轴对称． x＝0时，函数y取最小值0． 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”; 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”. 总结归纳 二次函数y =a x2(a＞0)的图象与性质： 新知探究 例1 画出二次函数y=的图象. 典例分析 y =ax 2(a＞0)的图象是轴对称图形，对称轴是y 轴 可以先画出图象在 y 轴右边的部分， 然后利用对称性， 再画出图象在 y 轴左边的部分 典例分析 解 列表： x 0 ··· 0 ··· 1 2 3 2 描点和连线： x 2 y -2 2 4 利用对称性， 画出图象在 y 轴左边的对称点， 并用一条光滑曲线把 y 轴左边的点和原点顺次连接起来. y= 基础巩固题 新知应用 1.已知抛物线 ，则以下说法中，错误的是( ) D A.开口向上 B.顶点坐标是 C.对称轴是直线 D.当时， 有最大值0 2.下列关于二次函数y＝4x2的说法正确的是（ ） A.它的图象经过点（-1，-2） B.它的图象的对称轴是直线x＝4 C.当x＜0时，y随x的增大而增大 D.当－1≤x≤2时，y有最大值为16，最小值为0. D 基础巩固题 新知应用 3、关于y＝x2，y＝2x2，y＝x2的图象，下列说法不正确的是(　　) A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．形状相同 D　 4. 如右图，观察函数 y = (k-1)x2 的图象,则 k 的取值范围是 . O x y k > 1 开口向上 k-1 包括开口大小 基础巩固题 新知应用 6. 已知二次函数 y＝ax2 (a＞0) 过 A (－2， y1)，B (1，y2) 两点，则下列关系式中正确的是（ ） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 C 5、已知点(－1，y1)，(－3，y2)都在函数y＝5x2的图象上，则y1与y2的大小关系为________． y1<y2　 在对称轴的左侧,随着的增大而减小. 在对称轴的右侧,随着的增大而增大. 基础巩固题 新知应用 7. 画出二次函数y = 2x²的图象，并填空： （1） 图象的对称轴是 ，对称轴与图象的交点是 . （2） 图象的开口向 . （3） 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ； 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 . y轴 (0，0) 上 减小 增大 基础巩固题 新知应用 8. 在同一坐标系中画出二次函数y=3x²及的图象，并比较它们的共同点与不同点。 共同点：①图象开口都向上； ②对称轴都是y轴； ③图象都是左降右升； ④图象与对称轴的交点都是原点。 不同点： y=3x²的图象比开口小. 二次函数的图象特征：开口方向大小、对称轴、顶点、增减性 能力提升题 新知应用 9.已知函数y=(m+2)xm2+m-4 是关于x 的二次函数. (1)求满足条件的m 的值. (2)当m 为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ 解：(1)由题意，得 解得m=2 或m=－3. ∴当m=2 或m=－3 时， 函数为二次函数. (2)若图象有最低点，则抛物线的开口向上， ∴ m+2>0，即m>－2，∴ m=2. ∵这个最低点为抛物线的顶点， ∴最低点的坐标为(0，0). 当x>0 时，y 随x 的增大而增大. m+20 能力提升题 新知应用 10.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m). (1)求a、m的值； (2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？ (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴. 解: (1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以P点坐标为(1，1).将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12，得a=1.即a=1,m=1. (2)二次函数的表达式：y=x2，当x>0时，y随x的增大而增大. (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴. 课堂小结 二次函数y=ax2(a＞0)的图象及性质 画法 描点法 先画对称轴一边的部分，再根据对称性画出另一边 图象 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 与对称轴的交点 增减性 感谢聆听! $