4.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过回顾一次函数、反比例函数图象引入，以探究y=x²的描点法（列表、描点、连线）为支架，引导学生从具体函数到一般规律的认知。 其亮点在于以数学眼光观察图象特征，通过对比a>0与a<0的性质培养推理意识，用表格归纳性质强化数学语言表达。采用问题驱动和例题示范，学生能深化抽象能力与几何直观，教师可高效落实重难点。

2 第4章 二次函数 4.2 二次函数的图象与性质 4.2.1 二次函数 y = ax²的图象与性质 学习目标 1．会用描点法画二次函数y=ax²的图象. 2．能结合图象直观，初步地了解函数y=ax²的性质. 重难点： 二次函数y=ax²的图象的画法及其函数性质的归纳. 知识回顾 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ 1. 一次函数y=kx+b(k ≠ 0) x y o b<0 b>0 b=0 x y o b<0 b>0 b=0 2. 反比例函数 0 x y 课时导入 探究：画二次函数y=x2 的图象. 1.列表：对于二次函数 y =x2 ，其自变量x可以取任意实数. 因此让x取0和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值，列成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 2.描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 如图. 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y y=x2的图象关于y轴对称， y轴就是它的对称轴. -3 3 o 3 6 9 x y 图象在 y 轴右边的部分，函数 值随自变量取值的增大而增大， 简称为“右升”. A A' B B' 问题1：观察图象，点A和点A'，点B和点B'，…，它们有什么关系？由此你可以做出什么猜测？ 问题2：从图象还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？ 3.连线：根据前面的分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分(把y轴左边的点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来)，这样就得到了y=x2的图象. 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 观察 函数 y=x2 的图象除了具有关于 y 轴对称和“右升”外，还具有哪些性质？ x o y=x2 y 1. y=x2的图象是一条曲线； 2. 开口向上； 3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0)； 4. 当x<0时，y随x的增大而减小，简称为“左降”； 5. 当x=0时，函数值最小，最小值为0． 例1 x 0 1 2 3 ··· ··· 0 4.5 2 0.5 列表： 描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.如图1. 利用对称性，画出图象在y轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把y轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y=x²的图象. 如图2. x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 图1 图2 知识讲解 一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 例2 x 0 1 2 3 4 ··· y=-x² ··· 0 -2.25 -1 -0.25 -4 请同学们在草稿纸上画一下试试~ 知识讲解 一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 随 堂 小 测 A 1.二次函数y＝2x2的图象大致是(　　) 2.关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点，下列说法中错误的是(　　) A．有共同的顶点和对称轴 B．两抛物线的开口方向相反 C．两抛物线关于x轴成轴对称 D．两抛物线都过点(－3，9) D 3.下列说法：①二次函数y＝x2有最大值，最大值为0； ②二次函数y＝x2有最小值，最小值为0； ③二次函数y＝－x2有最大值，最大值为0； ④二次函数y＝－x2有最小值，最小值为0. 其中，正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ C C 4.已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数 y＝x2的图象上，则(　　) A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 5. 若抛物线 y = ax2 (a≠0)，过点(-1，2). (1)则 a 的值是 . (2)对称轴是 ，开口 . (3)与对称轴的交点是 ，该点是图象上的最 值 . (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1 < x2 <0，则y1 y2. 2 y 轴 向上 （0，0） 小 > 6.m为何值时，函数 的图象是开口向下的抛物线？ 解：由题意得 解得m=-1， 所以当m=-1时，函数 的图象是开口向下的抛物线. 7.已知函数y=(m+2)xm2+m-4 是关于x 的二次函数. （1）求满足条件的m 的值. （2）当m为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y 随x的增大而减小？ 解：(1)由题意，得 解得m=2 或m=－3. 所以当m=2 或m=－3 时，函数为二次函数. (2)若图象有最低点，则抛物线的开口向上， 所以 m+2>0，即m>－2，所以 m=2. 因为这个最低点为抛物线的顶点， 所以最低点的坐标为(0，0). 当x>0 时，y 随x的增大而增大. (3)若函数有最大值，则抛物线的开口向下， 所以m+2<0，即m<－2，所以m=－3. 因为函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)， 所以当m=－3 时，函数有最大值0， 当x>0 时，y 随x 的增大而减小. 小结 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质 小结 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 先画对称轴一边的部分，再根据对称性画出另一边 图象 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 与对称轴的交点 增减性 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $