5.2 实际问题中的函数模型同步练（拔高）—2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

5.2 实际问题中的函数模型 1.5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：，它表示在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W.S是信道内所传信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比.按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至，使得C增加了，则的值约为（参考数据：，）( ) A.9121 B.9119 C.9919 D.10999 2.某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为0.1，学习率随迭代次数的变化公式为；当学习率小于或等于0.05时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，n为总迭代次数；当学习率小于或等于0.01时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为( ) （结果保留整数，参考数据：，） A.307 B.308 C.309 D.310 3.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（参考数据：，，）( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆.现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.则总费用最少为( ) A.300元 B.400元 C.700元 D.860元 5.某国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功，该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的利润与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得利润0.25千万元；生产B芯片的利润y（单位：千万元）与投入的资金x（单位：千万元）的函数关系式为，其图象如图所示.现公司准备投入40千万元资金同时生产两A，B种芯片，公司所获利润为，则利润的最大值为( ) A.7千万元 B.8千万元 C.9千万元 D.10千万元 6.一直角墙角的平面图如图所示，两墙的长度足够长，在点P处有一棵树与两墙的距离分别是，，不考虑树的粗细，现在想用长的篱笆，借助墙角围一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 7.（多选）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差.设利润函数为，则以下说法正确的是( ) A.取得最大值时每月产量为63台 B.边际利润函数的表达式为 C.利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D.边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 8.（多选）甲、乙两人沿着同一方向从A地去B地，途中两人的速度都是或.甲一半的路程使用速度，另一半的路程使用速度；乙一半的时间使用速度，另一半的时间使用速度.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面4个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程），则其中可能正确的图示分析为( ) A. B. C. D. 9.根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中N为饱和度，为初始值，此后第x年底新能源汽车的保有量为y（单位：万辆），p为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约______万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据：，，） 10.放射性物质原子核数的衰变规律是，其中指初始时刻的原子核数，t为衰变时间，T为半衰期，N为衰变后剩余的原子核数.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始原子核数相同，512天后发现甲的原子核数是乙的原子核数的4倍，则______. 11.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，当销售额x为8万元时，奖励金额y为1万元；当销售额x为64万元时，奖励金额y为4万元.若公司拟定的奖励模型为.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为_________万元. 12.经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：）（）的部分数据关系如下表： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 W 13 9.25 为描述Q与v的关系，现有以下三种模型可供选择：，，. （1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）已知某高速公路共有三条车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是，，（单位：），则该型号汽车在哪条车道以什么速度行驶时百公里耗油量最小？ 答案以及解析 1.答案：B 解析：由题意得， ，， ，， 又， ，. 2.答案：C 解析：在第一阶段，由－，即，得，而，解得，即时第一阶段迭代结束，所以. 在第二阶段，由，即，即，而，解得，即时，模型停止训练.故选C. 3.答案：B 解析：设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x，由题意得，即，得.因为，所以，即.故选B. 4.答案：D 解析：设从甲仓库调到A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为，从乙仓库调往A县的车辆数为，从乙仓库调往B县的车辆数为.设总费用为y，则（，）.由于函数（，）为减函数，所以要想使运费y最少，则需x最大，所以当时，运费y最少，为860元.故选D. 5.答案：C 解析：因为生产A芯片的利润与投入的资金成正比，所以设. 因为当时，，所以，所以，即生产A芯片的利润y（单位：千万元）与投入的资金x（单位：千万元）的函数关系式为. 对于生产B芯片，因为函数的图象过点，， 所以解得所以，即生产B芯片的利润y（单位：千万元）与投入的资金x（单位：千万元）的函数关系式为. 若投入千万元生产B芯片，则投入千万元生产A芯片， 所以公司所获利润，所以当， 即时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元.故选C. 6.答案：C 解析：设，则花圃的面积，且.当时，花圃面积的最大值，为定值；当时，花圃面积的最大值随a的增大逐渐变小，且.观察各选项，知选C. 7.答案：BCD 解析：，当时，该函数取得最大值，结合实际，当每月产量为62或63台时，取得最大值.故A错误..故B正确.，因为边际利润函数为减函数，所以.故C正确.结合选项B可知边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.故D正确.综上，故选BCD. 8.答案：AB 解析：设A地到B地的路程为s，则甲用的时间，乙用的时间，，则甲到达B地所用时间长一些，因此选项A，B可能正确. 9.答案：36 解析：根据题意，所给模型中，，，，则2030年底该省新能源汽车的保有量为，因为，所以，所以，所以2030年底该地区新能源汽车的保有量约36万辆.故答案为36. 10.答案： 解析：依题意，，则，所以.故答案为. 11.答案：1024 解析：依题意得即解得 所以.当，即时，. 12.答案：（1）函数模型最符合实际； （2） 解析：（1）填表如下： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 W 13 10 9.25 10 13 由题意可得符合的函数模型需满足在时有意义，且在上单调递增. 在上单调递减，不符合题意. 若选择，代入，， 得解得 则，此时，，， 与实际数据相差较大，所以不符合题意. 经观察，函数模型最符合实际， 代入，，， 则解得 . （2）， 当时，W取得最小值9， 故该型号汽车在外侧车道以的速度行驶时百公里耗油量最小. 学科网（北京）股份有限公司 $