4.4　数学归纳法课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4*　数学归纳法 一、基础落实 1.用数学归纳法证明 “对任意的n∈N*,12+22+32+…+(2n)2=”,第一步应该验证的等式是(　　) A.12= B.12+22= C.12+22+32= D.12+22+32+42= 2.用数学归纳法证明:1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1),在验证当n=1结论成立时,左边所得的代数式是(　　) A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 3.在正项数列{an}中,a1=3,an+1=3-,则{an}(　　) A.为递减数列 B.为递增数列 C.先递减后递增 D.先递增后递减 4.用数学归纳法证明 “n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(　　) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 5.用数学归纳法推断2n>n2时,正整数n的第一个取值应为　　　　　.  6.用数学归纳法证明 12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是　　　　　.  7.证明:不等式×…×成立. 8.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=. (1)求出数列{an}的前三项; (2)根据数列{an}的前三项猜想出其一个通项公式,并用数学归纳法证明. 二、素能提升 9.若正项数列{an}中,a1+a2+a3+…+an=(an+),n∈N*,则a5 024的值是(　　) A. B. C. D. 10.(多选题)数列{an}满足an=2-(n∈N且n≥2),则下列选项正确的有(　　) A.若a1=1,则数列{an}是等比数列 B.若a1≠1,则数列是等差数列 C.若a1=2,则数列{an}中存在最大项与最小项 D.若1<a1<2,则1<an+1<an<2 11.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,若存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n),则最大的m的值为　　　　　.  12.从以下两个条件:①Sn-1+an=n2(n∈N,n≥2);②an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N,n≥1)中,选择一个填入下题的横线处,然后解答该题. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且S1=1,　　　　　.  (1)求a2,a3,a4; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. 13.记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,{3an-2Sn}是公差为2的等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<2. 参考答案 一、基础落实 1.B 解析 因为n∈N*,则第一步应验证当n=1时,12+22=是否成立,故选B. 2.C 解析 当n=1时,2n+1=2×1+1=3,所以左边为1+2+3.故选C. 3.A 解析 由a1=3,a2=3-,a3=3-,且0<an≤3,显然a1>a2>a3成立,假设n=k≥3,ak>ak+1成立,当n=k+1时,则ak+1-ak+2=ak+1-3+>0,所以ak+1>ak+2,故{an}为递减数列,故选A. 4.A 解析 因为从n=k到n=k+1,增加了(k+3)3,减少了k3,所以利用归纳假设,只需将(k+3)3展开,证明余下的项9k2+27k+27能被9整除即可. 5.5 解析 由题意得,当n=1时,左边=21=2,右边=12=1,左边>右边,所以不等式成立; 当n=2时,左边=22=4,右边=22=4,不等式不成立; 当n=3时,左边=23=8,右边=32=9,不等式不成立; 当n=4时,左边=24=16,右边=42=16,不等式不成立; 当n=5时,左边=25=32,右边=52=25,左边>右边,不等式成立; 当n≥5时,左边=2n>n2恒成立,所以n的第一个取值应是5. 6.(k+1)2+k2 解析 把n=k和n=k+1代入等式左边分别可得12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,① 12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,② 两式作差得(k+1)2+k2. 7.证明 (1)当n=1时,左边==右边,所以不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,即×…×. 则当n=k+1时,左边=×…×, 因此当n=k+1时,不等式也成立. 综上可得,原不等式恒成立. 8.解 (1)当n=1时,S1+1=a1+1=,解得a1=-1(a1>0). 当n=2时,则a1+a2+1=,将a1=-1代入,得+2a2-2=0,解得a2=(a2>0). 当n=3时,则a1+a2+a3+1=,解得a3=(a3>0). (2)由(1)可以猜想an=. 证明:当n=1,2,3时,猜想成立; 假设当n=k(k>3,k∈N*)时,猜想也成立,即ak=. 当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(an>0), 故当n=k+1时,猜想成立.综上,当n∈N*时,an=. 二、素能提升 9.C 解析 因为a1+a2+a3+…+an=(an+),所以当n=1时,a1=(a1+),解得a1=1或a1=-1(舍去), 当n=2时,1+a2=(a2+),解得a2=-1或a2=--1(舍去),所以a3=,a4=2-,…, 猜想an=. 证明:当n=1时,显然成立;假设当n=k(k∈N*)时,ak=,则当n=k+1时,a1+a2+a3+…+ak+ak+1=(ak+1+)=(ak+)+ak+1,所以-ak+1=2,则ak+1=. 故n=k+1时,结论也成立.故an=, 所以a5 024=,故选C. 10.ABD 解析 选项A,因为若a1=1,an=2-,n≥2,所以a2=2-=1,a3=2-=1,…,an=2-=1,即an=1,n∈N*,所以{an}是等比数列,故A正确; 选项B,令bn=,n≥2,而bn-1=,所以bn-bn-1==1,n≥2,又因为b1=,a1≠1,所以数列{bn}是以1为公差的等差数列,故B正确; 选项C,由选项B的结论及a1=2可知,=1+(n-1)×1=n,所以an=1+,显然,数列{an}在n∈N*上为递减数列,故当n=1时,an有最大值2,没有最小值,故C错误; 选项D,用数学归纳法证明 1<an<2,(1)当n=1时,1<a1<2;(2)假设当n=k,k∈N*时,不等式成立,即1<ak<2,即<1,当n=k+1时,ak+1=2-∈(1,),满足1<ak+1<2,故当n=k+1时,不等式也成立,综合(1)(2),对任意n∈N*,有1<an<2,下面证明 an+1<an,an+1-an=2--an=2-(an+)≤2-2=0,因为1<an<2,所以上面不等式中的等号不成立,所以an+1-an<0,所以an+1<an,故1<an+1<an<2,故D正确,故选ABD. 11.36 解析 f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360,都能被36整除,猜想f(n)能被36整除.证明:(1)当n=1时,f(1)=36是36的整数倍; (2)假设当n=k时,f(k)=(2k+7)·3k+9是36的整数倍,即f(k)=36p(p∈N*), 则当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=3(2k+7+2)·3k+9=3(2k+7)·3k+2·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+2·3k+1-18=3f(k)+18(3k-1-1), 由假设f(k)是36的整数倍,又3k-1-1是偶数,18(3k-1-1)是36的整数倍, 所以f(k+1)是36的整数倍, 综上,对一切正整数n,f(n)是36的整数倍,即f(n)能被36整除,而f(1)=36,所以36是最大的数,即m=36. 12.解 选择条件①. (1)因为Sn-1+an=n2(n∈N,n≥2),S1=a1=1, 所以当n=2时,S1+a2=4,即a2=3; 当n=3时,S2+a3=9,所以a1+a2+a3=9,即a3=5; 当n=4时,S3+a4=16,所以a1+a2+a3+a4=16,即a4=7. (2)猜想an=2n-1,理由如下: ①当n=1时,由题知,a1=1,猜想成立; ②假设当n=k(k∈N,k≥2)时,猜想成立,即ak=2k-1, 则Sk-1+ak=k2,所以Sk+ak+1=(k+1)2, 两式相减得Sk+ak+1-Sk-1-ak=(k+1)2-k2, 即ak+1=2k+1=2(k+1)-1, 所以n=k+1时猜想也成立, 综上所述,任意n∈N,有an=2n-1. 选择条件②. (1)因为an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N,n≥1),S1=a1=1, 所以当n=1时,a2=a1-2×12+3×1+1=3; 当n=2时,a3=2a2-2×22+3×2+1=5; 当n=3时,a4=3a3-2×32+3×3+1=7. (2)猜想an=2n-1,理由如下: 因为an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N,n≥1), ①当n=1时,由题知a1=1,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N,k≥2)时,猜想成立,即ak=2k-1. 则当n=k+1时,ak+1=kak-2k2+3k+1=k(2k-1)-2k2+3k+1=2k+1=2(k+1)-1, 所以n=k+1时猜想也成立. 综上所述,任意n∈N,有an=2n-1. 13.(1)解 当n=1时,3a1-2S1=a1=2, 因为{3an-2Sn}是公差为2的等差数列, 所以3an-2Sn=2+2(n-1)=2n. 当n≥2时,3an-1-2Sn-1=2(n-1), 所以3an-2Sn-3an-1+2Sn-1=2n-2(n-1), 即an-3an-1=2, 因此an+1=3(an-1+1), 即a1+1=3, 所以数列{an+1}是以3为公比,3为首项的等比数列, 所以an+1=3×3n-1=3n,所以an=3n-1. (2)证明 由(1)可得bn=, 当n=1时,b1==1,下面用数学归纳法证明当n≥2时,3n-1≥2n+1. ①当n=2时,32-1=23,不等式成立; ②假设n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立, 即3k-1≥2k+1成立, 则当n=k+1时,3k+1-1=3·3k-1≥3×2k+1+2>2k+2, 即当n=k+1时不等式也成立. 因此当n≥2时,3n-1≥2n+1.所以bn=. 令Mn=+…+, 则Mn=+…+, 两式相减得Mn=+…+=1-,所以Mn=2-<2, 所以Tn<Mn<2,即Tn<2. 学科网（北京）股份有限公司 $