29.3 课时1 弧长和扇形面积 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训川练 第二十九章圆 29.3弧长和扇形面积 课时1弧长和扇形面积 课时目标 1. 理解扇形的概念，能说出弧长公式与扇形面积公式中各字母的意义。 nπr 1= 2. 掌握孤长公式180与扇形面积公式°3602，会正用与逆用公式。 3. 能计算弓形及组合图形中阴影部分的面积，体会割补与和差转化的思想。 课时目录 知识点01：弧长公式 知识点02：由弧长公式求圆心角或半径 知识点03：扇形的概念 知识点04：扇形面积公式（两个形式及其选用） 知识点05：弧长与扇形面积的综合计算 知识点06：号形面积的计算（扇形面积与三角形面积的和差) 知识点07：组合图形中阴影部分面积的计算 1/13 知识点01：弧长公过式 1=nar 在半径为r的圆中，°的圆心角所对的弧长为180。 2πr nπr 推导：圆周长为2,1°圆心角所对弧长为360，故对应180。 注意：n和180都不带单位；公式中有1、r三个量，知二可求一。 1.(2026宁夏中考真题)如图， ⊙0 的直径MB=6A 是弦， ∠ACO=55°BC 的长为() A 11 11 B.4π D.2 2。(2026湖南长沙：中考真题)如图，等边三角形4B 内接于⊙0 老0的半径为3，则的K为 AB () 0° A.π B.2π C.3π D.4π 3、(2026吉林长春中考真题)如图，点1，B在00」 0上，连接O1,OB,AB.若MB=OM=6,则 B ”在 的长是 B 2/13 4.(25-26九年级下广东江门阶段检测)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD,OM为折痕，以点 O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD,BC于E,F两点，则EF的长度为 (结果 保留π) 知识点02：由弧长公式求圆心角或半径 1801 1801 n= r= 求圆心角： πr;求半径： nπ。 代入时注意已知量的单位统一，结果中π一般保留，不要过早取近似值。 n-180x5r=150 例：弧长为5π，半径为6，则 6 圆心角为150°。 5.(2026黑龙江齐齐哈尔·中考真题)若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为160°，则其母线长 为 6.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)一个扇形的圆心角为60°，扇形的面积为3π，则扇形半径是」 7.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)已知扇形的弧长是10π，面积为300π，则该扇形的圆心角为 8.(2026山西运城二模)如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮A和从动带轮B组成，皮带紧绷且 传动时无滑动.已知主动带轮半径为6cm,从动带轮半径为8cm,当主动带轮转动的圆心角为240°时， 从动带轮转动的圆心角为 B 知识点03：扇形的概念 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 扇形的大小由半径和圆心角共同决定。 3/13 辨析：扇形是封闭的图形，含两条半径和一条弧：半圆可以看作圆心角为180°的特殊扇 形。 9.(26-27九年级上重庆江北阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,AB、BC分别交O0于点D、 EAC⊙O ∠BED=45°AB=8 为 的直径，连接15，若 则阴影部分的面积为() B. 2π C.2n D.4元 10.(26-27九年级上福建福州阶段检测)一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm,圆心角为120°的扇形， 则此扇形的面积是 cm 11.(26-27九年级上吉林期中)如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O,且圆心角∠0=150°； 若OA=30cm,OB=10cm,则扇面（阴影）部分的面积是 cm2.(结果用π表示) 12.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)一个扇形的圆心角是135°，半径为4，则这个扇形的面积 为 .(结果保留兀) 知识点04：形面积公式（两个形式及其选甲） nar2 S= 公式一： 360 (已知圆心角n和半径r时使用)。 S= 公式二： 2(已知弧长1和半径r时使用，可与三角形面积公式类比记忆)。 选用原则：己知、r选公式一：已知1、r选公式二；知三量可互相换算。 4/13 1 13.(25-26六年级下·上海闵行·期末)如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的2，那 么所得扇形的面积为原来的() A.4倍 B.1倍 c.2 D.2 14.(2026浙江温州·三模)如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点E,以 C为圆心，CD为半径画弧交BC于点F.若AB=1,AD=2,则图中阴影部分的面积为() A B πv3 A.124 a资9， c日+5-1 D 2457m 212 15.(2026四川凉山中考真题)如图，⊙A,⊙B,⊙C,⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个 扇形（即阴影部分）的面积之和为() B D A.4 B.2 C. D.2π 16.(2026:湖南中考真题)如图，⊙0的半径为6，若它的周长等于弧AB的长的6倍，则阴影部分的面 积为 知识点05：孤长与扇形面积的综合计算 5/13 基本量：、r1、S中已知任意两个（其中须含r或由关系可求r),可求其余量。 S=nar2 常用换算： 360与2联立，先求1再求S,或先求n再求S。 注意运算顺序与π的保留，结果要写明单位（长度单位、面积单位）。 17.(2026西藏·中考真题)如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形CAB,将此扇形围成一个 圆锥，则圆锥底面圆的半径是() B 2 2 2 2 A.8 B.6 C.4 D.2 18.(2026广东广州中考真腿)如图，在矩形4BCD中，B=2,4D=25,对角线4C与D交于点 0,点P在过B,0,C三点的圆弧上运动，当MP长取最小值时，4P与P 的长分别为() 2V3n A.27-25,3 B.2W7-23,元 2V3n C.2V3-2,3 D.23-2,π 19.(26-27九年级上·辽宁盘锦阶段检测)如图，图1是边长为2的等边三角形铁丝框ABC,按图2方式 变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的面积是 6/13 B 图1 图2 20.(26-27九年级上辽宁盘锦阶段检测)如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的 扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是 知识点06：弓形面积的计算（扇形面积与三鱼形面积的和差） 弓形：由弦及其所对的弧围成的图形。 当弧为劣弧时：S号形=S扇形一S三角形；当弧为优弧时：S马形=S扇形十S三角形。 关键是作出弦心距或连半径，求出圆心角度数，再分别计算扇形与三角形的面积。 21.（25:26九年级上浙江绍兴期末)如图。所在圆的半径=8= 3,则1B和弦1B围成的图形面积 是() B 3m-95 3π-9V3 6π-95 6π-9√5 A.4 B.2 C 4 D.2 22.(2026新疆乌鲁木齐·一模)如图，点O为半圆的圆心，直径AB长为6，再以点B为圆心，OB为半 径作弧，交弧AB于点C,则阴影部分的面积是 7/13 23.(25-26九年级上江苏徐州阶段检测)如图，己知AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，点E在⊙0 外，∠EAC=∠D E 1)请说明AE是⊙O的切线： (2)若OA=BC=2时，求阴影部分的面积. 24.(25-26九年级上新疆乌鲁木齐阶段检测)如图，⊙0是△ABD的外接圆，AB是⊙0的直径，C是 AB延长线上一点，△EDB在⊙O上，连接DC,若CD为OO的切线 (I)求证：∠DEB=∠CDB: 2)若AB=5,BD=DE=3,求BE的长： 3)若AB=6,BD=3,求弓形BD的面积. 知识点07：组合图形中阴影部分面积的计算 基本策略：把阴影面积表示为几个规则图形（扇形、三角形、半圆、弓形）面积的和或 差。 常见类型：整体减空白、割补拼接、等积转化（利用同底等高或等圆心角扇形拼凑）。 步骤：分解图形→标出半径与圆心角→列式→化简，注意结果保留π或按要求取值。 25 ,(2026~黑龙江大庆中考真题)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4,将△ABC绕点C顺 时针旋转0后得到△DBC .90° ,点B经过的路径为配，点1经过的路径为D,CS与D B 交于点， 则图中阴影部分的面积为() 8/13 F D 20m-43 A. B.8m-4V3 C.12m-43 28π-4W3 D. 26.(2026山东济南中考真题)如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=30°，以点A为圆心，以AB的 长为半径作弧BD,则图中阴影部分的面积是 (结果保留π)· 0 C 夕 27.(25-26九年级上辽宁抚顺阶段检测)如图1，△ABC中，AB=3,BC=4,AC=6.以点A为旋转中 心，将4AB C顺时针方向旋转0，得到△1D6,C正是点C的轨迹，D是点B的轨迹。 90° 图1 图2 (I)若用扇形ACE围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径r: (2)如图2，求图中阴影部分的面积. 28。(2026河南三门峡三模)如图，在平面直角坐标系0中，BC为⊙0的直径，点43，)为⊙0上- 点，反比例函数y=x的图象经过点A: 9/13 (1)求反比例函数的表达式： (2)求图中阴影部分的面积. 课时训练 一、选择题 1.(25-26九年级上·贵州黔西南·期末)如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染 制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形ABC)的面积为60πcm2,竹条AB,AC的长均为l2cm,D、 分别为1B、4C DE 的中点，则的长为( A.4πcm B.5πcm C.6πcm D.7πcm 2.(25-26九年级上辽宁朝阳期末)已知扇形的圆心角为120°，面积为3πcm，则该扇形的半径为 () A.3cm B 6cm C.9cm D.12cm 3.(25-26七年级下·山东烟台期末)如图，钟面上的时针长4cm,从3点到3点半，时针在钟面上扫过的 面积是() 10/13 3 -8 8 A.cm 2元 4π 3π B.3cm C.3 cm2 D.2cm 4.(2026山西忻州二模)如图，BC为⊙O的直径，点A在圆上，口ABCD中边AD与⊙0交于点E,已 知BC=25,点恰好为AD的中点，则阴影都分的面积为(） A子 B π c.3 D.下 二、填空题 5.(2026福建福州三模)已知⊙0的半径为6，AC是⊙0的弦，点B是O0上异于点A.C的一点，若 AC=4π，则∠ABC的大小为 6.(2026黑龙江哈尔滨·三模)如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πCm,假设绳索与滑轮 之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了度. 重物 7.(2026安徽二模)生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一 个正方形的顶点B,D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示.经测量，正方形的 11/13 边长为4cm,则图中阴影部分的面积为一cm2, ----1B 图1 图2 8.(25-26八年级下四川成都期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=2,现将△ABC绕 着点B顺时针旋转90°得到△ABC',其中A,C的对应点分别为A',C,则边AC扫过的区域（图中 阴影部分)的面积为， 三、解答题 9.(25-26九年级上浙江宁波阶段检测)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，延长BC到D,连接 DA ⊙0 AC,CE 并延长，与交于点卫，连接 ,恰好使得<D=∠E D (I)求证：BC=CD: 2 ②)若AB=4,弧AC的长为3”，求弧AC与4C所围成部分的面积. 10.(26-27九年级上·辽宁盘锦阶段检测)如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径 作圆，分别交AD,BC于点E,F,延长BA交⊙A于点G, 12113 GE=EF (1)求证： (②)连接EF,若四边形ABFE是菱形，BG=8,则阴影部分的面积为 13/13 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十九章 圆 29.3 弧长和扇形面积 课时1 弧长和扇形面积 ▌课时目标 1. 理解扇形的概念，能说出弧长公式与扇形面积公式中各字母的意义。 2. 掌握弧长公式与扇形面积公式，会正用与逆用公式。 3. 能计算弓形及组合图形中阴影部分的面积，体会割补与和差转化的思想。 ▌课时目录 知识点01：弧长公式 知识点02：由弧长公式求圆心角或半径 知识点03：扇形的概念 知识点04：扇形面积公式（两个形式及其选用） 知识点05：弧长与扇形面积的综合计算 知识点06：弓形面积的计算（扇形面积与三角形面积的和差） 知识点07：组合图形中阴影部分面积的计算 ▌知识点01：弧长公式 在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为。 推导：圆周长为2πr，1°圆心角所对弧长为，故n°对应。 注意：n和180都不带单位；公式中有l、n、r三个量，知二可求一。 1．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 2．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 3．（2026·吉林长春·中考真题）如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 4．（25-26九年级下·广东江门·阶段检测）如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为____________．（结果保留） 【答案】 【分析】利用正方形对折性质确定点位置与的长度，通过解直角三角形求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：对折边长为的正方形纸片，为折痕， 四边形是矩形，为中点，为中点， ，，， 以点为圆心，为半径作弧， ， 在中，， ， ， 由对称性可知，， ， 的长度为：． ▌知识点02：由弧长公式求圆心角或半径 求圆心角：；求半径：。 代入时注意已知量的单位统一，结果中π一般保留，不要过早取近似值。 例：弧长为5π，半径为6，则，圆心角为150°。 5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长． 【详解】解：圆锥底面半径为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的母线长为，根据题意得， 整理得， 解得． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】 /30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 8．（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． ▌知识点03：扇形的概念 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 扇形的大小由半径和圆心角共同决定。 辨析：扇形是封闭的图形，含两条半径和一条弧；半圆可以看作圆心角为180°的特殊扇形。 9．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 10．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 11．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵ ∴ . 12．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 【答案】 【分析】已知扇形的圆心角度数和半径，直接代入扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：扇形半径，圆心角， 代入扇形面积公式 ∴． ▌知识点04：扇形面积公式（两个形式及其选用） 公式一：（已知圆心角n和半径r时使用）。 公式二：（已知弧长l和半径r时使用，可与三角形面积公式类比记忆）。 选用原则：已知n、r选公式一；已知l、r选公式二；知三量可互相换算。 13．（25-26六年级下·上海闵行·期末）如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算判断即可 【详解】解：扇形面积，圆心角变为 ，半径变为， 变化后的扇形面积为： 14．（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 15．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 16．（2026·湖南·中考真题）如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧的长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的周长为， ∵的周长等于弧的长的倍， ∴弧的长为， ∴阴影部分的面积． ▌知识点05：弧长与扇形面积的综合计算 基本量：n、r、l、S 中已知任意两个（其中须含r或由关系可求r），可求其余量。 常用换算：与联立，先求l再求S，或先求n再求S。 注意运算顺序与π的保留，结果要写明单位（长度单位、面积单位）。 17．（2026·西藏·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 18．（2026·广东广州·中考真题）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】确定过 三点的圆的圆心和半径，利用点圆距离最小值原理求最小值，通过勾股定理逆定理判定度数从而求弧长． 【详解】解：在矩形 中，，， 设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点， 则点在的垂直平分线上 ∴ 在中， 在 中，，即 解得， 过作交延长线于， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 则， ∴ 在中， ∵ ∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置， ∴ 在中，，， 弧的长即为 ． 19．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，图1是边长为2的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是________． 【答案】2 【详解】解：∵， ， 扇形的面积是. 20．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【分析】连接，由题意可得为的直径，，，求出扇形的对应半径为，弧的长为，设圆锥的底面圆半径为，则，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． ▌知识点06：弓形面积的计算（扇形面积与三角形面积的和差） 弓形：由弦及其所对的弧围成的图形。 当弧为劣弧时：S弓形＝S扇形－S三角形；当弧为优弧时：S弓形＝S扇形＋S三角形。 关键是作出弦心距或连半径，求出圆心角度数，再分别计算扇形与三角形的面积。 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 22．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出的长，根据公式求出，然后计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 根据题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 23．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，已知是的直径，点在上，点在外，． (1)请说明是的切线； (2)若时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）先通过直径所对的圆周角是直角，推导出，接着证明，结合，从而得到，从而得证； （2）连接，先通过，推出，接着求得，最后通过求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示：    ∵是的直径，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为：，， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理及其推论，勾股定理，扇形的面积，中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若为的切线． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求弓形的面积． 【答案】(1) 证明：如图1，连接． 是的直径， ， ， ， ． ， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) (3)弓形BD的面积 【分析】（1）连接，利用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质及直径所对的圆周角是直角即可得到，据此即可证明； （2）设交于点H，由，得到，根据垂径定理，设，则．利用勾股定理求出，从而利用勾股定理求得的长； （3）先证明为等边三角形，得到，过点O作于点G，，利用勾股定理求出，利用弓形的面积为计即可算． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，设交于点H． ， ， ，． ， ． 设，则． ，， ， ， 解得， ， ， ． （3）解：∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 过点O作于点G，如图3， 则， ∴． ∴弓形的面积为 ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角的有关性质，垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识，灵活运用勾股定理建立方程是解题的关键． ▌知识点07：组合图形中阴影部分面积的计算 基本策略：把阴影面积表示为几个规则图形（扇形、三角形、半圆、弓形）面积的和或差。 常见类型：整体减空白、割补拼接、等积转化（利用同底等高或等圆心角扇形拼凑）。 步骤：分解图形→标出半径与圆心角→列式→化简，注意结果保留π或按要求取值。 25．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 26．（2026·山东济南·中考真题）如图，菱形的边长为4，，以点为圆心，以的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】过点D作于点E，求出，再根据阴影部分的面积等于菱形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∴， ∴． 27．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不规则图形的面积，弧长公式，圆锥的侧面积，旋转的性质，三角形全等的性质，掌握扇形面积公式，弧长公式和圆锥侧面积公式是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，先求出长，再根据圆锥侧面积公式即可求解； （2）由旋转的性质得到，得到，根据图形可得即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得到， ∵， 的长为， ， ； （2）解：根据图形得， 是旋转得到的， ， ， ． 28．（2026·河南三门峡·三模）如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解k值即可； （2）如图，连接．先利用坐标与图形性质求得，由求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图，连接． ． 为的直径， ， ， ． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式与弧长公式的综合应用，需先通过大扇形的面积求出圆心角，再结合中点条件确定小扇形的半径，进而计算弧长． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 根据题意，得：， 解得， 即圆心角． ∵、分别为、的中点， ∴， ∴的长为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查扇形的面积公式 根据扇形面积公式，代入圆心角和面积值，求解半径． 【详解】解：根据题意，得， 简化得：， 解得或（舍去）， 因此，扇形的半径为． 故选：A． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 4．（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，再根据平行四边形的性质和已知条件可得是等边三角形，进而得出，然后根据，结合扇形面积公式可得答案． 【详解】解：连接，作，于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由，可得， ∴． 二、填空题 5．（2026·福建福州·三模）已知的半径为，是的弦，点是上异于点的一点，若，则的大小为________． 【答案】或 【分析】先根据弧长公式求出所对的圆心角度数，再分点在优弧上和点在劣弧上两种情况，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：设所对的圆心角为， 由弧长公式，将，代入得：， 解得，即所对的圆心角为， 分两种情况讨论：当点在优弧上时， 根据圆周角定理，， 当点在劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，得， 则的大小为或． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 【答案】 【分析】根据弧长为 ，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设滑轮上某一点P旋转了， 根据题意，得 ， 解得 ． 7．（2026·安徽·二模）生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：根据图2可知，图形是由2个完全相同的扇形重叠在一起得到的， ∴阴影部分的面积2个扇形面积正方形的面积， ∵正方形的边长为4cm， ∴扇形的半径为4cm， ∴阴影部分的面积（）． 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接，恰好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 【答案】(1) 证明：∵所对应的圆周角为和，同时， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵为的直径， ∴，即， ∴是等腰三角形底边的高，也是中线， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，同时还考查了弧长公式，扇形的面积公式（其中为圆心角的度数，为圆的半径），等边三角形面积的计算等，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，弧长、扇形面积计算公式是解题的关键． （1）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到，结合已知条件得到为等腰三角形，同时根据直径所对的圆周角是直角，得到是等腰三角形底边的高,在根据等腰三角形三线合一证得； （2）根据弧长公式计算得到圆心角的度数，利用扇形面积公式计算得到扇形面积，同时求得等边三角形的面积，最终求得弧与所围成部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如下图所示， ∵直径， ∴圆的半径， ∴， ∴圆心角， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴扇形的面积为， ∴弧与所围成部分的面积为扇形与面积之差，即． 答：弧与所围成部分的面积为． 10．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，，再通过等腰三角形的性质得到，从而证得，然后由圆心角定理证得； （2）作于，利用菱形的性质可得，是等边三角形，得到，通过等腰三角形的性质结合勾股定理得到，然后通过求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $