16.1.2幂的乘方与积的乘方课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十六章 整式的乘法 人教版八年级上册 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 推导根据 理解幂的乘方与积的乘方运算性质的推导根据. 会运用幂的乘方与积的乘方运算性质进行计算. 在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法. 计算 类比、归纳 学习目标 幂的乘方 (1)(32)3=32×32×32=3( ) (2)(a2)3= =a( ) (3)(am)3=am×am×am=a( ) 猜想(am)n= (m，n都是正整数) 探究 根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律? 6 6 3m amn a2×a2×a2 探究 观察以下各式的结果与原式，底数和指数分别有什么规律？ 底数不变，指数相乘. 证明 (am)n =am · am · ··· · am =am+m+···+m =amn. n个am n个m 乘方的意义 同底数幂的运算性质 幂的乘方 (am)n = amn (m，n 都是正整数). 文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的乘方的运算性质 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，我们有： 幂的乘方 证明 [(am)n]p = (amn)p = amnp 猜想 [(am)n]p= .(m，n，p都是正整数) 幂的乘方的运算性质 amnp 幂的乘方 例2 计算： (1) (103)5 ； (2) (a4)4 ； (3) (am)2 ； (4) −(x4)3 . 解 (1)原式=103×5=1015 ； (2)原式=a4×4=a16 ； (3)原式=am×2=a2m ； (4)原式=−x4×3=−x12 . 幂的乘方 变式训练.已知 am=2，an=3, 求：（1）a2m ，a3n的值； 解:(1) a2m = (am)2 = 22 = 4， a3n = (an)3 = 33= 27； (3) a2m+3n = a2m. a3n = (am)2. (an)3 = 4×27 = 108. （3） a2m+3n 的值. （2） am+n 的值. (2) am+n = am.an =2×3=6； amn =(am)n =(an)m am+n = am. an 幂的乘方 能力提升：已知 44×83=2x，求x的值. 解：∵44×83 = (22)4×(23)3 = 28×29 = 217 ∴x=17. 幂的乘方 底数不变 指数相乘 指数相加 同底数幂相乘 幂的乘方 其中m , n都是正整数 （am）n=amn am·an=am+n 想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？ 幂的乘方 猜想(ab)n= (n是正整数) 探究 填空，下面的运算过程用到哪些运算律?运算结果有什么规律? (1) (ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a( )b( ) ； (2) (ab)3= = =a( )b( ) . 3 2 anbn (ab) · (ab) · (ab) 2 (a·a·a) · (b·b·b) 3 运算过程用到了乘法交换律和结合律. 这两道题有什么特点？ 底数为两个因式相乘，积的形式. 积的乘方 探究 观察以下各式的结果与原式，底数和指数分别有什么规律？ 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 证明 (ab)n =(ab)·(ab)· ··· ·(ab) =(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b) =anbn. n个ab n个a 乘方的意义 乘法交换律和结合律 n个b 乘方的意义 积的乘方 (ab)n = anbn (n 是正整数). 文字语言：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 积的乘方的运算性质 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，我们有： 积的乘方 证明 (abc)n = (ab)ncn = anbncn 猜想 (abc)n= .(n是正整数) 积的乘方的运算性质 anbncn 积的乘方 例3 计算： (1) (2a)3； (2) (−5b)3 ； (3) (xy2)2 ； (4) (−2x3y)4 . 解 (1) 原式=23·a3=8a3 ； (2) 原式=(−5)3·b3=−125b3 ； (3)原式=x2·(y2)2=x2y4 ； (4)原式=(−2)4·(x3)4·y4=16x12y4. 积的乘方 解：原式 逆用幂的乘方的运算性质 幂的乘方的运算性质 逆用同底数幂的乘法运算性质 逆用积的乘方的运算性质 变式训练： 计算: 积的乘方 小结：幂的运算性质的反向应用 an·bn = (ab)n am+n =am·an amn =(am)n 作用： 使运算更加简便快捷！ 积的乘方 巩固练习 1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1)(a5)2=a7 ； (2)(ab2)3=ab6 ； (3)(−2a)2=−4a2 . 不正确 不正确 不正确 原式=a10 原式=a3·(b2)3=a3b6 原式=(−2)2·a2 =4a2 2. 计算： (1) (103)3 ； (2) (x3)2 ； (3) −(xm)5 ； (4) (a2)3·a5 . 巩固练习 解 （1）原式=103×3=109. （2）原式=x3×2=x6. （3）原式=−xm×5=−x5m. （4）原式=a2×3·a5=a6·a5=a11. 3. 计算： (1) (ab)4 ； (2) (−3×102)3 ； (3) (xy2)3 ； (4) (2ab2)3·2ab2 . 巩固练习 解 （1）原式=a4b4. （2）原式=(−3)3×(102)3 =−27×106=−2.7×107 . （3）原式=(- )3·x3·(y2)3 =- x3·y6 . （4）原式=(2ab2)4 =24·a4·(b2)4 =16a4b8 . 能力提升：如果（an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值.  （an）3•（bm）3•b3=a9b15,  a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,  a 3n •b 3m+3=a9b15,  3n=9 ,3m+3=15. n=3,m=4. 解： ∵（an•bm•b)3=a9b15, 巩固练习 归纳总结 幂的运算——幂的乘方 法则 文字 幂的乘方，底数 ，指数 . 符号 (am)n = (m，n 都是正整数). 推广 [(am)n]p= .(m，n，p都是正整数) amn (m，n 都是正整数). 逆用 不变 相乘 amn (am)n amnp 归纳总结 幂的运算——积的乘方 法则 文字 积的乘方，等于把 分别乘方， 再把 相乘. 符号 (ab)n = (n 是正整数). 推广 (abc)n= .(n是正整数) anbn= . (n 是正整数). 逆用 所得的幂 积的每一个因式 anbn (ab)n anbncn 感受中考 1.（2026·湖南）已知a>0，b>0，ab≠1，且(ab)n=a2b2，则n的值是（     ） A．−2 B．2 C．3 D．4 B 感受中考 2.（2025·四川资阳）下列计算正确的是（　　） A.a+2a=2a2 B.3b−b=3 C.(b3)2=b6 D. a3·a4=a12 C 感受中考 3.（2025·海南）下列运算结果为m5的是（   ） A．m2⋅m3 B．（m2）3 C．m2+m3 D．m9−m4 A 感受中考 4.（2024·河北）若a，b是正整数，且满足 ，则a与b的关系正确的是（     ） A. a+3=8b B. 3a=8b C. a+3=b8 D. 3a=8+b A $