精品解析：北京市景山学校2026-2027学年第一学期九年级10月数学考试卷

北京景山学校2026~2027学年度第一学期10月考试 九年级 数学 2026年10月 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 单选题（共16分，每题2分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在的内接四边形中，，则的度数是（ ） A. 150° B. 115° C. 65° D. 130° 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，外部交于点D，画射线交于E，连接，点F是劣弧上一点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 第二部分 填空题（共16分，每题2分） 9. 设，是方程的两实数根，则____________． 10. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 11. 如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 13. 二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 14. 函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为_______________． 15. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 16. 在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输需100元．运输成本可由公式：“运输成本货物量距离单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和． （1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为吨，吨，吨，运输距离，，从M处分别运3吨货物至L与N，此货运过程中总运输成本为________元． （2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨，每两个货运站之间的运输距离分别为，，，，，，，，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为________元． 第三部分 解答题（本题共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 解方程：； 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）画出与关于原点O中心对称的，点的坐标是______； （2）画出绕着点A逆时针方向旋转得到的． （3）在（2）的条件下，求点B走过的弧长． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上找一点O，以点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，，，求的半径． 20. 已知t是方程的一个根，求代数式的值． 21. 已知二次函数与的一些对应值如下表： … … … … （1）根据表格中的数据，求二次函数的表达式； （2）填写表格中空白处的对应值，并利用五点作图法在上面的网格图中画出该二次函数的图象；（不必重新列表） （3）根据图象回答：当时，的取值范围是________； 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值既大于反比例函数的值，又小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 24. 如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系． 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 （1）①请在如图的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由． （2）小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，若抛物线恒过，求的取值范围． 27. 已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接． （1）设，用含的代数式表示的大小，并求的度数； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”． （1）如图1，的半径为2． ①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________； ②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标； （2）如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京景山学校2026~2027学年度第一学期10月考试 九年级 数学 2026年10月 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 单选题（共16分，每题2分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 2. 如图，在的内接四边形中，，则的度数是（ ） A. 150° B. 115° C. 65° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质及圆周角定理，掌握圆内接四边形性质及圆周角定理是解题关键，先求出，再根据圆周角定理求出结论即可． 【详解】解：在的内接四边形中，， ， ， 故选：D． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ． 4. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 5. 如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 6. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式， 根据反比例函数关系，设，利用已知条件求k，再代入计算v． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵时，， ∴， ∴． 当时，． 故选：B． 7. 如图，是的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，外部交于点D，画射线交于E，连接，点F是劣弧上一点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，构造圆内接四边形，可得对角互补，即可得出结果. 【详解】解：连接 ， ∵，垂直平分， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 第二部分 填空题（共16分，每题2分） 9. 设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 10. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由旋转的性质得出，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∵点落在上， ∴， ∴． 11. 如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9##九 【解析】 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 12. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 13. 二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 14. 函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】将原抛物线解析式进行配方，再根据二次函数图象“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：， ∵函数的图象向左平移2个单位可得， 再向下平移1个单位可得， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解题的关键是掌握二次函数图象“括号内左加右减，括号外上加下减”的平移规律． 15. 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形的面积为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵的图象在第一象限， ∴， ∴． 16. 在货物运输过程中常希望付出的总运输成本最小，以下问题中单价均为每吨货物运输需100元．运输成本可由公式：“运输成本货物量距离单价”进行计算，总运输成本为所有运输成本之和． （1）如图1，若有三个货运站L，M，N，初始货物量分别为吨，吨，吨，运输距离，，从M处分别运3吨货物至L与N，此货运过程中总运输成本为________元． （2）如图2，现有五个货运站A，B，C，D，E，它们的初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨，每两个货运站之间的运输距离分别为，，，，，，，，运输时仅能通过图中所示的边，若想经过若干次运输使各货运站的货物量相等，则最小总运输成本为________元． 【答案】 ①. 2400 ②. 1600 【解析】 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）先计算各货运站的货物量相等时的货物量，再按照就近原则，将货物数量多余平均值的运往货物数量低于平均值的货运站即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：（元）， （2）， ∵初始货物量分别为吨，吨，吨，吨，吨， ∴从B运2吨到D，费用元， ∵B到A距离为5，B先到E再到A距离为， ∴从B运2吨到E，费用为元， 从E运2吨到A，费用为元， 从E运1吨到C，费用为元， 元． 第三部分 解答题（本题共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）画出与关于原点O中心对称的，点的坐标是______； （2）画出绕着点A逆时针方向旋转得到的． （3）在（2）的条件下，求点B走过的弧长． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求 （2） 解：如图所示：即为所求 （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转和对称作图，确定对称点是作图关键． （1）确定各顶点关于原点O的中心对称点即可作图； （2）确定各顶点绕着点A逆时针方向旋转得到的对称点即可作图； （3）计算即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知：， ∴点B走过的弧长 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上找一点O，以点O为圆心，线段的长为半径作，使得与边相切于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，，，求的半径． 【答案】（1）如图所示，点即为所求点的位置； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，切线的性质，勾股定理的综合运用，理解题意，掌握切线的性质，勾股定理是关键． （1）根据切线的性质，角平分线的性质定理，运用尺规作角平分线即可求解； （2）根据题意得到，则，设，则，在中，由列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵以为半径，与相切于点， ∴， ∵，切线与半径相互垂直， ∴得到即为的角平分线， ∴尺规作的角平分线即可， ∴点即为所求点的位置； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是切线，切点是点， ∴，即，且， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径为． 20. 已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【解析】 【分析】根据方程根的定义得出，然后化简求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 21. 已知二次函数与的一些对应值如下表： … … … … （1）根据表格中的数据，求二次函数的表达式； （2）填写表格中空白处的对应值，并利用五点作图法在上面的网格图中画出该二次函数的图象；（不必重新列表） （3）根据图象回答：当时，的取值范围是________； 【答案】（1） （2）解：如下表所示： 0 1 2 3 4 8 3 0 0 3 函数图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）从表格中选取三组已知和的值的数据，代入二次函数解析式，即可求得二次函数的解析式； （2）根据第一问的解析式，可以将表格的空白处填上数据，再根据表格中的数据可以画出二次函数的图象； （3）根据第（2）问中的函数图象即可解答本题． 【小问1详解】 解：由表格可知，时，；时，；时，， ， 解得，，， 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由第（2）问的函数图象可知，当时， 当时，有最小值；当时，有最大值， ∴的取值范围是：． 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值既大于反比例函数的值，又小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、求反比例函数和一次函数的解析式； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意画出一次函数与反比例函数图象，数形结合，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴ 把，代入一次函数得 ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 【小问2详解】 解：如图， ∵当时，对于x的每一个值，一次函数大于反比例函数的值， 当时， ∴， 将代入，即，解得：， ∴一次函数 ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值， 又∵当时，一次函数的值小于一次函数的值， ∴ 综上所述，． 24. 如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图：连接OC， OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAB=∠DAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∵∠OCN=∠ADC， ∵AD⊥MN， ∵∠ADC=∠OCN=90°， ∴OC⊥MN， ∵OC为半径， ∴MN是⊙O切线． （2）半径长 【解析】 【分析】（1）如图：连接，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可得，即，再结合和切线的定义即可解答； （2）先证明可得，然后代入相关数据可求得，最后根据圆的相关定义即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 半径是． 【点睛】本题主要考查了圆的基本概念、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 25. 爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系． 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 （1）①请在如图的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由． （2）小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度的取值范围． 【答案】（1） ①如图所示： ②； ③能， 理由如下： 小宛这次发球是站在点， 发球点到球网水平距离为， 当时，， 这次发球能过网； （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线解实际应用题，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的图象与性质、抛物线的平移等知识是解题的关键． （1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案；③将代入抛物线解析式，求得值与比较即可得到答案； （2）设击球高度，则平移距离为，可得平移后的抛物线的解析式为，再根据，则，，当时解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①略 ②根据题意，设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得，即， 将下表中数据： 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为； ③略 【小问2详解】 解：由（1）②可知，当时，抛物线的解析式为， 设击球高度，则平移距离为， 平移后的抛物线的解析式为， ，当时，， ， ， 当时，， ， ， 答：击球高度的取值范围是． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，若抛物线恒过，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性可知，抛物线顶点的横坐标为，根据抛物线的对称轴公式求出，所以抛物线的解析式为，把抛物线顶点横坐标代入解析式求出顶点纵坐标，即可得到抛物线顶点坐标； （2）根据平移的性质可知点在抛物线上，把点的坐标代入解析式可得，即，结合根的判别式计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， 经过点且， 对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到， 过点，而上的点由上的点平移得到， 点在上， 代入得：， 整理得：， ， 要使该方程有实数解，则判别式， 整理得， ∵， ∴． 27. 已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接． （1）设，用含的代数式表示的大小，并求的度数； （2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）， （2） 线段，，之间的数量关系． 过C作于C交的延长线于点M． A、E关于对称 ． ． ． ． 又 ． ． ． ， ． ． 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质得，，再由直角三角形的性质得，进而可证，则，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过C作于C交的延长线于点M，证明，得CM=CF，再证明，得，则MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 A、E关于直线对称， ，． ， ． ， ． ． ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”． （1）如图1，的半径为2． ①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________； ②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标； （2）如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2）， 【解析】 【分析】（1）①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，当为的切线时，可求得，可知时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，然后分别算出，，，判断即可；②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，那么可知道是等腰直角三角形，可算出点的坐标，由题意可知，当点落在点时符合题意，延长，使得，同理可算得，满足条件； （2）由题意可知，在内部，、、三点都在外部，将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和，当圆心在点时，根据定义舍去，当圆心在点时， ，先求得点的坐标，分别以为圆心，以、为半径画圆，那么当，满足题意． 【小问1详解】 解：①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示： 当为的切线时，，，， ， ， 那么当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦； 在点，，，中， ，，，， ， 在点，，，中，的“-旋称点”可以是，； 故答案为：，； ②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，如图所示： 弦的长为2，轴， ， ， ， ； 若是关于点的“-旋称弦”，那么点与点点重合时，满足条件； 延长，使得，同理可算得，满足条件； 综上，点坐标为：或； 【小问2详解】 解：对于半径为的外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示， 同（1）①，可求得当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦； ，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”， 在内部，、、三点都在外部； 将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和， 由题意可知，当圆心在点时， ，点的横坐标在大于0，小于2， ， 在的垂直平分线上， 过点作于， ，， ，，， ，， ， ， ； 不妨设，那么，， ， ， ， 或， 点的横坐标大于0且小于2， ， ， ； 分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示： ， 边上不存在关于点，，的“-旋称弦”， 故不符合题意； 当圆心在点时， ， ， 点在的垂直平分线上， ，， 的纵坐标为， 过点作于， ， ，， ， ， ，， ，， ，， 分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示： 那么当，即，满足题意； 此时，满足； 综上，，． 【点睛】本题考查了“-旋称点”，“-旋称弦”，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，等腰三角形的性质，读懂“-旋称点”，“-旋称弦”的定义，作出合适的辅助线利用数形结合的思想是解题的关键．问题也可转化为轴对称进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $