精品解析：河南省开封市杞县高中2026-2027学年高二10月月考数学试卷

高二数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 已知向量 ，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 3. 在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 4. 在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知空间向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 与方向相同的单位向量为 10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点.下列选项中正确的有( ) A. B. C. 直线与所成的角的余弦值 D. 平面与平面不垂直 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时，上存在点M，使得，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13. 如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 14. 边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积是_________ 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知直线过点，. （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 16. 已知空间三点，设． （1）设，求； （2）若与互相垂直，求k． 17. 如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，． （1）求直线BF与平面ABCD所成的角； （2）求点A到平面FBD的距离． 18. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 已知向量 ，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】 ，故选项A正确． 3. 在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三点共线得出，应用平行坐标关系计算即可求解. 【详解】由题意知，， 因为三点共线，所以， 即，解得. 故选：A. 4. 在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点位于平面内,可得,依次检验选项即可. 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 5. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体  中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 6. 在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四点，，，共面可得存在实数，使，用同一组基底向量表示出，根据系数对应相等列方程组求解. 【详解】由平行六面体的特征可得， 则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 7. 直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式得到斜率，从而可以求出的取值范围，进而得到倾斜角的范围. 【详解】将直线方程化为斜截式：， 故直线的斜率， ，， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 8. 三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由△ABC面积为定值，得体积最大时点P到平面ABC的距离最大，即PC⊥平面ABC，再通过空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【详解】由，，得的面积，为定值 ， 三棱锥体积，其中为点到平面的距离， 已知，故，当且仅当平面时，取最大值1，此时三棱锥体积最大， 以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，由平面且，得, 则，, 设异面直线与所成角为，，，，，  所以 ，所以直线与所成角的余弦值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知空间向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 与方向相同的单位向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示和模的计算，结合向量的数量级公式和单位向量的概念，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，，，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，，解得：，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 10. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点.下列选项中正确的有( ) A. B. C. 直线与所成的角的余弦值 D. 平面与平面不垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】A：根据依次改写即可； B：根据计算即可； C：根据计算即可； D：取的中点，连接，证AE⊥BC，即可. 【详解】A：，故A正确； B：∵， ∴ ， ∴，故B错误； C：， ，，故C正确； D：取的中点，连接，，，且， 又＝0，， ∵，平面，平面， 又平面，平面与平面，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时，上存在点M，使得，则 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示线段上动点的坐标，将立体几何问题转化为向量坐标运算；对垂直关系选项A、C，通过计算对应向量的点积是否为 0，判断线线垂直是否成立；对选项B向量数量积最值问题，将点积表示为参数的二次函数，利用二次函数对称轴求最小值；对选项D，设出点坐标，代入向量夹角余弦公式列方程，求解并验证选项结论. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为 1， 则，，，，， 设（），则的坐标为. 选项 A ， ， ， 故，令， 解得，即存在点使得，因此A错误； 选项 B ，， ， 这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，取得最小值为，因此B正确； 选项 C，当时，， ， 即，故，因此 C正确； 选项 D，设在上，（）， 则，，， 所以， 令，平方化简得，即，因此D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 13. 如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 14. 边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，证明平面，通过向量点积运算求出夹角的正弦值，再计算的面积后利用分割法求三棱锥体积． 【详解】如图，取的中点，连接， 则， 又，平面， 故平面． 由题意知，，，，， 在边长为1的正方形中，对角线，． 则，解得， 则， 因为，则， 所以， 则三棱锥的体积是． 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知直线过点，. （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【小问1详解】 由题意得，得. 【小问2详解】 由题意得，得， 故实数的取值范围为 16. 已知空间三点，设． （1）设，求； （2）若与互相垂直，求k． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出向量的坐标，再利用向量共线定理，结合即可得出； （2）由向量垂直与数量积的关系可得，再利用向量的运算即可解出． 【小问1详解】 因为，而，所以设，由， 则，即有，则或． 【小问2详解】 因为，所以，， 由与互相垂直，则， 则，即有， 解得或． 17. 如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，． （1）求直线BF与平面ABCD所成的角； （2）求点A到平面FBD的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 以O为原点，OD，OA，ON所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. （1）求出平面ABCD的法向量，通过空间向量的数量积求解直线BF与平面ABCD的夹角，(2)求出平面FBD的法向量，利用空间向量的数量积求解点A到平面FBD的距离. 【详解】 解：设，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得平面ABCD：作.以O为原点，OD，OA，ON所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系. （1）由已知得，，，，， 因为z轴垂直于平面ABCD，因此可令平面ABCD的一个法向量为， 设直线BF与平面ABCD所成的角为， 又， 则有， 即， 所以直线BF与平面ABCD所成的角为． （2）因为，， 设平面FBD的法向量为， ， 令，得， 又， 所以点A到平面FBD的距离． 18. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积. 【答案】（1）取 的中点为，连接，因为 是 的中点， 所以. 因为四边形 为菱形，所以， 又 是的中点，所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面 ，而 不在平面 内， 所以平面 . （2）①；② 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行进而得到线面平行，即证明. （2）①先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果；②延长 交的延长线于点，连接交 于点 ，然后根据三棱锥体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为 平面 ， 平面 ，所以 . 因为，所以以 为原点，以 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量为，则有， 即，令，则 ，所以. 所以直线 与平面所成角的正弦值为. 延长 交的延长线于点，连接交 于点 ， 易知， . 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $