6.3 角（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第6章　几何图形初步 6.3 角（第1课时） 角的概念、度量与方位 数学新教材人教版　七年级上册 新知讲授 生活中的角 观察 钟面上的时针与分针、三角尺的两条边线，都给我们以角的形象。 研究思路 像研究线段那样，先认识角的组成与表示，再研究角的度量和位置。 新知讲授 角及其组成 概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 理解 “公共端点”和“两条射线”是关键条件。角的边可以无限延伸，画出的边只是它的一部分。 新知讲授 角的顶点和边 图形对应 在角AOB中，O是顶点，射线OA和射线OB是两条边。 命名要求 用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间。边上的点名放在两侧。 O A B 例题讲解 示例 图中角AOB的顶点是什么？两边是什么？ O A B 答：顶点O，两边是射线OA、OB。 先找两条射线的公共端点。 从公共端点分别指向A、B表示两边。 先找两条射线的公共端点。 新知讲授 用三个字母表示角 规范写法 角AOB记作，也可以写作。两种写法的中间字母都是O。 容易混淆 写成时，顶点变成A，所表示的角就改变了。 O A B 新知讲授 用一个字母表示角 适用条件 当以某点为顶点的角只有一个，不会引起混淆时，可以只用顶点字母表示。 限制 同一顶点有多个角时，单写不能确定具体角，要用三个字母或数字、希腊字母。 O A B C 新知讲授 数字与希腊字母表示 标记方法 在角的内部靠近顶点画小弧，并标记1、2或α、β，可以写成、。 注意 必须根据图中的标记确定角，数字或字母的写法不能脱离图形随意对应。 例题讲解 思考 图中OA、OB、OC依次组成三个角，标为α的是OA与OB之间的角。能把它记作∠O吗？还能怎样表示？ O A B C α 答：不能唯一地记作∠O。可记作∠AOB或∠BOA。 以O为顶点有多个角，会产生歧义。 用顶点及两边上的点唯一确定角。 以O为顶点有多个角，会产生歧义。 方法归纳 角的表示归纳 三个字母 ① 顶点写在中间，两侧写边上的点。 ② 两侧字母交换，仍表示同一个角。 简写条件 ① 一个顶点只有一个角时可用顶点字母。 ② 有多个角时用三字母或已标明的数字、希腊字母。 新知讲授 角也可以由旋转形成 旋转过程 一条射线绕端点旋转，起始位置和终止位置决定一个角。 不变部分 端点始终固定，是角的顶点。射线转动的幅度决定角的大小，边画得长短不影响大小。 O A B 新知讲授 平角和周角 平角 射线旋转半周，终边与始边成一条直线，形成平角，大小为。 周角 射线旋转一周，终边与始边重合，形成周角，大小为。 例题讲解 示例 平角的两边成一直线，就能说平角是一条直线吗？ 答：不能。平角有顶点和两条边，直线没有端点。 平角强调两条射线的组成或半周旋转。 图形形象相似，但概念不同。 平角强调两条射线的组成或半周旋转。 新知讲授 角的度量单位 度 把一个周角360等分，每份是1度，记作。 分与秒 把1度60等分，每份是1分；把1分60等分，每份是1秒。角度单位采用六十进制。 新知讲授 度、分、秒的定义 定义 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作；把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作。 关系 ，，所以。 新知讲授 角度的读写 读法 读作48度56分37秒。三个单位按从大到小的顺序书写。 区别 表示48点56度，小数部分不能直接当作56分，要按60进制换算。 例题讲解 示例 把换算成分，再换算成秒。 答：。 大单位换成小单位，逐级乘60。 ，。 大单位换成小单位，逐级乘60。 例题讲解 示例 等于多少度？ 答：，也可写成。 小单位换成大单位，除以60。 ；或60分为1度，余30分。 小单位换成大单位，除以60。 新知讲授 量角器量角 对齐 中心与顶点重合，零刻度线与一条边重合。读另一条边通过的刻度。 读数 先确认从哪边的零刻度开始，沿相应刻度增加的方向读数。可用锐角、钝角的大小感检查。 新知讲授 按度数画角 作图步骤 先画一条射线，以其端点为顶点，量角器中心和零刻度线对齐，找给定度数标点。 完成图形 连接顶点与标记点，画出第二条射线。量出的夹角应与给定角度一致。 新知讲授 方向角的基准 方向十字线 通常按上北下南、左西右东画图。描述方向时常从正北或正南开始。 读词顺序 “北偏东40°”表示从北方向向东偏转40°，因此射线落在东北方向区域。 O B 北 南 东 西 例题讲解 例1 货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示B、C、D方向的射线。 O A B 北 南 东 西 答：OB从正北向东偏40°。 先画南北、东西十字线。 从正北向东量40°，画射线OB。 先画南北、东西十字线。 例题讲解 例1 货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示B、C、D方向的射线。 O A B C D 北 南 东 西 答：OC为南偏西10°，OD为北偏西45°。 从正南向西转10°画OC。 从正北向西转45°画OD，保留灯塔与客轮方向。 从正南向西转10°画OC。 课堂练习 练习 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？ （1） 6时、8时 （2） 8时30分 O 时针 分针 （1） 答：180°、120°。 每个大格为360°÷12=30°，分别相隔6格和4格。 （2） 答：75°。 分针指6，时针位于8与9中间，相隔2.5个大格。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来。 （1） 前三列 （2） 后三列 表示方法 1 2 3 4 5 6 方法1 ∠1 ____ ∠3 ____ ____ ∠D 方法2 ∠CAD ∠ACB ____ ∠ABC ∠ACD ____ （1） 答：∠1=∠CAD；∠2=∠ACB；∠3=∠BAC。 看顶点与对应的两条边。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来。 （1） 前三列 （2） 后三列 表示方法 1 2 3 4 5 6 方法1 ∠1 ____ ∠3 ____ ____ ∠D 方法2 ∠CAD ∠ACB ____ ∠ABC ∠ACD ____ （2） 答：∠B=∠ABC；∠4=∠ACD；∠D=∠ADC。 B、D处仅有一个角，可用顶点字母。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 （1）35°等于多少分？等于多少秒？（2）38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？ （1） 答：；。 35×60=2100，2100×60=126000。 （2） 答：不相等，。 ，所以。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 课堂练习 练习 从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形（六条边相等，六个角也相等）构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形。 A B C D E F O 答：画圆，在圆心处依次作6个60°角，连接相邻交点。 先画圆并确定圆心，借助三角尺作60°角。 六个相邻圆心角共360°，相邻交点连成正六边形。 依据题目条件，逐项给出判断和理由。 方法归纳 角的度量与方位归纳 单位换算 ① 度分秒逐级按60进率换算。 ② 小数度的小数部分要乘60才能转成分。 方向角作图 ① 先画东西南北十字线。 ② 先找南北基准，再按偏转方向量角。 例题讲解 示例 8时30分时，时针为什么不能仍画在8的位置？ O 时针 分针 答：30分钟内时针继续转过15°，到8与9的中间。 时针1小时转30°，半小时转15°。 计算夹角时要同时确定两根针的位置。 时针1小时转30°，半小时转15°。 例题讲解 示例 同一个角，两条边画得更长，角会变大吗？ O A B 答：不会。 角的大小取决于两边的张开程度。 延长画出的边不改变两条射线的方向。 角的大小取决于两边的张开程度。 阅读与思考 阅读 古代“矩”可校验直角。“一矩有半”表示多少度？为什么不同测量任务会使用不同精度的工具？ （1） 一矩有半 （2） 测量精度 （1） 答：135°。 一矩表示90°，加上其一半45°，共135°。 （2） 答：普通作图用量角器；精密测量用更精确的仪器。 工具精度应匹配测量允许的误差。 把直角作为单位，再理解度量单位和工具精度。 课堂总结 角的概念 组成 公共端点的两条射线 表示 顶点字母在中间 单位 度、分、秒，60进制 方位 南北基准与偏转方向 针对训练 训练 任意两条射线都能组成角吗？需满足什么条件？ 答：需有公共端点。 回到角的定义。 两条射线端点不同，不组成所定义的角。 回到角的定义。 针对训练 训练 ∠PQR的顶点和两边分别是什么？ 答：顶点Q，两边是射线QP和QR。 三字母表示法中间字母是顶点。 两边从顶点出发。 三字母表示法中间字母是顶点。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） ∠ABC的顶点是A。 错误 顶点是中间字母B。 （2） 角的边画得长，角就变大。 错误 大小由张开程度决定。 （3） 1°等于60′。 正确 单位进率为60。 （4） 38.5°等于38°5′。 错误 0.5°=30′。 分别检查定义、字母位置与单位换算。 针对训练 训练 将化为分和秒。 答：；。 先乘60化成分，再乘60化成秒。 ，。 先乘60化成分，再乘60化成秒。 针对训练 训练 把化为度、分形式。 答：。 保留整数度，把小数部分乘60。 。 保留整数度，把小数部分乘60。 针对训练 训练 比较与。 答：。 把18分换成0.3度。 42.3大于42.2。 把18分换成0.3度。 针对训练 训练 用射线OP表示P在O的北偏西30°方向。 O P 北 南 东 西 答：从北向西转30°，得到射线OP。 以正北为基准，射线落在西北区域。 图中OP与北方向夹角30°。 以正北为基准，射线落在西北区域。 针对训练 训练 求4时30分时钟表两针所成的较小角。 O 时针 分针 答：45°。 时针到4与5中间，分针指6。 相差1.5个大格，1.5×30°=45°。 时针到4与5中间，分针指6。 针对训练 训练 图书馆在校门北偏东35°方向，体育馆在校门正东方向。两条方向射线夹角是多少？ O A B 北 南 东 西 答：55°。 北与东夹角为90°。 从90°中去掉北到图书馆的35°，得55°。 北与东夹角为90°。 针对训练 训练 圆形花坛准备等分成6个相同扇形，每个扇形圆心角多少度？怎样用三角尺画出示意？ 答：60°，利用三角尺60°角连续作6个角。 周角为360°，360°÷6=60°。 各角同顶点，相邻共边，围满一周。 周角为360°，360°÷6=60°。 方法归纳 本课方法总结 表示与辨认 ① 先找公共端点和两条射线。 ② 用三字母时始终把顶点放在中间。 度量与应用 ① 度分秒逐级乘除60。 ② 钟表、方位与等分问题先确定基准和总角度。 $