5.2 解一元一次方程（第4课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第5章　一元一次方程 5.2 解一元一次方程（第4课时） 去分母与解方程的一般步骤 数学新教材人教版　七年级上册 新知讲授 分数系数带来的计算 已有方法 含分数的方程仍可直接移项、合并，但多次通分容易出错。等式性质允许两边同时乘同一个数。 新的化简 选择各分母的最小公倍数，让方程中的分母同时消去，转化为熟悉的整系数方程。 例题讲解 示例 2、3、6的最小公倍数是多少？方程各项都乘这个数有什么好处？ 答：最小公倍数是6。 6分别除以2、3、6得到整数3、2、1。 乘6后各分数项的分母可以消去。 例题讲解 问题4：分析 翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km。某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如下表。王家庄距翠湖的路程有多远？ 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 答：设王家庄距翠湖 km，则到青山为 km，到绿水为 km。 从王家庄到青山用3小时，到绿水用5小时。 两段行驶的平均速度相等。 例题讲解 问题4：列式 翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km。某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如下表。王家庄距翠湖的路程有多远？ 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 答：。 路程除以时间得到速度。 两边分别表示汽车在两个路段的速度。 新知讲授 去分母的依据 等式性质2 等式两边同时乘一个非零数，结果仍相等。各分母的最小公倍数可作为共同乘数。 每项都要乘 把两边乘15，可得。分子是多项式时保留括号。 例题讲解 问题4：求解 翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km。某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如下表。王家庄距翠湖的路程有多远？ 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 答：王家庄距翠湖230 km。 两边乘15，得。 去括号、移项合并，得。 所以，两段速度分别为和。 新知讲授 整数项也参加乘法 完整乘等式 方程两边乘2后是。常数1和3也必须乘2。 常见错误 去分母并不只是“划掉分母”。操作对象是整个等式的每一项，漏乘整数项会改变方程的解。 例题讲解 示例 将方程去分母，暂不求解。 答：。 最小公倍数为6，方程两边同时乘6。 分子和作为整体分别乘2与3。 新知讲授 保留分子的括号 分子是整体 。分母消去后，分子中的减法仍属于一个整体。 负分数项 。先保留前面的负号与括号，再去括号，符号更清楚。 例题讲解 示例 解方程。 答：去分母得。 各分母2、10、5的最小公倍数是10。 方程每一项乘10，特别注意左边的变成。 例题讲解 示例 解方程。 答：。 去括号得。 移项并合并得。 系数化为1，得。 新知讲授 解一元一次方程的一般步骤 归纳 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。 根据 通过这些步骤，可以使以为未知数的一元一次方程逐步转化为的形式。这个过程主要依据等式的性质和运算律等。 例题讲解 例7 解下列方程。 （1） （2） （1） 答：。 两边乘4，得。 整理得。 系数化为1，得。 （2） 答：。 两边乘6，得。 整理得。 系数化为1，得。 两边每项都乘分母的最小公倍数，分子先保留括号。 方法归纳 去分母的三项检查 共同乘数 ① 找各分母最小公倍数。 ② 方程两边的每一项都乘它。 分子和符号 ① 多项式分子先保留括号。 ② 负分数项把负号保留在括号前。 新知辨析 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 可化成。 正确 两边同时乘2。 （2） 可化成。 错误 整数项1也应乘2。 （3） 可化成。 正确 两边同时乘3。 （4） 乘6得。 错误 应为。 逐项检查共同乘数，整数项也要乘，多项式分子保留括号。 例题讲解 示例 解下列方程。 （1） （2） （1） 答：。 两边乘15，得。 整理得。 系数化为1，得。 （2） 答：。 两边乘4，得。 整理得。 系数化为1，得。 两边每项都乘分母的最小公倍数，分子先保留括号。 课堂练习 练习1 完成下列各题。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：。 两边乘100，得。 去括号、移项合并，得；所以。 （2） 答：。 两边乘4，得。 去括号、移项合并，得。 课堂练习 练习1 完成下列各题。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：。 两边乘12，得。 去括号、移项合并，得；所以。 （4） 答：。 两边乘20并去括号，得。 移项合并，得；所以。 课堂练习 练习2 伦敦的不列颠博物馆保存着古埃及的莱茵德纸草书，其中有一道问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33。这个数是多少？请用方程解决。 答：这个数为。 设这个数为，列。 两边乘42，得。 合并得，所以。 课堂练习 练习3 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地。求A，B两地相距的路程。 答：A、B两地相距420 km。 设路程为 km，列。 两边乘420，得。 所以，卡车用7小时、客车用6小时。 新知讲授 行程时间的表示 同路程不同速度 路程相同时，速度大的用时少。用路程除以速度，分别表示两车的行驶时间。 相差关系 “客车早1小时经过”说明卡车用时比客车多1小时，所以用卡车时间减客车时间等于1，顺序不能颠倒。 课堂练习 习题5.2第3题选（1） 解方程。 答：。 两边乘6，得。 去括号移项得。 课堂练习 习题5.2第3题选（2） 解方程。 答：。 两边乘15，得。 去括号移项得，系数化为1。 例题讲解 示例 把无限循环小数化为分数。 答：。 设，则。 两式相减，循环小数部分消去，得。 例题讲解 示例 把无限循环小数化为分数。 答：。 设，则。 两式相减得。 新知讲授 步骤可以灵活选择 有分母时 分母复杂时通常先去分母，减少分数运算。若只需一步等式性质即可求解，也可以直接求解。 选择依据 选择让每一步清楚、计算可靠的路线。无论采取哪条路线，都必须保持等式成立，最终得到同一个解。 例题讲解 示例 解时写成。请纠正并求解。 答：。 两边乘3应得。 化简得，所以。 例题讲解 示例 解下列方程。 （1） （2） （1） 答：。 两边乘6，得。 整理得。 系数化为1，得。 （2） 答：。 两边乘4，得。 整理得。 系数化为1，得。 把含未知数的项移到同一边，再合并各自同类项。 方法归纳 本阶段归纳 方程的化简路线 ① 分母先变为整数系数，括号再展开。 ② 移项、合并后将非零系数化为1。 每一步的依据 ① 去分母用等式性质2，移项用性质1。 ② 去括号、合并用运算律，检验用原方程。 课堂总结 去分母与解方程的一般步骤 去分母 两边每项乘分母的最小公倍数。 去括号 分子是多项式时保留括号再展开。 移项合并 未知项、常数项分别集中。 求解 非零系数化为1。 依据 等式性质和运算律。 针对训练 训练 方程去分母宜两边乘：A. 2；B. 10；C. 12。 答：C。 4与6的最小公倍数为12。 两边乘12后分别得到与。 最小公倍数同时是各分母的倍数。 针对训练 训练 两边乘3，得到什么方程？解是多少？ 答：，。 乘3得到。 右边1乘3得到3。 列出每一项对应的乘法，避免漏项。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 可化为。 正确 每一项都乘6。 （2） 乘6为。 错误 应为。 （3） 去分母依据等式性质2。 正确 两边同乘一个非零数。 （4） 去分母以后仍须检查去括号的符号。 正确 负号和多项式分子依然影响计算。 逐项检查共同乘数，整数项也要乘，多项式分子保留括号。 针对训练 训练 解下列方程。 （1） （2） （1） 答：。 两边乘6，得。 整理得。 系数化为1，得。 （2） 答：。 两边乘6，得。 整理得。 系数化为1，得。 两边每项都乘分母的最小公倍数，分子先保留括号。 针对训练 训练 解下列方程。 （1） （2） （1） 答：。 两边乘6，得。 整理得。 系数化为1，得。 （2） 答：。 两边乘4，得。 整理得。 系数化为1，得。 两边每项都乘分母的最小公倍数，分子先保留括号。 针对训练 训练 把化成正确吗？请解原方程。 答：不正确，。 应先写。 去括号得，求得。 分母消去后分子仍应整体相乘。 针对训练 训练 当为何值时，与相等？ 答：。 列等式，两边乘6得。 整理得。 “等值”先转为等式，再统一处理分母。 针对训练 训练 把化为分数。 答：。 设，有。 。 两位循环节乘100，使循环部分对齐。 针对训练 训练 骑车与步行同走一段路，速度分别为15 km/h和5 km/h，骑车比步行少用2小时。路程是多少？ 答：15 km。 设路程，列。 两边乘15得，解得。 用慢者时间减快者时间。 针对训练 训练 一批书的借给甲班，借给乙班，还剩25本。这批书共有多少本？ 答：60本。 设共有本，列。 两边乘12得，解得。 全部减去借出的两部分等于剩余数量。 方法归纳 含分母方程的两种检查 运算检查 ① 整数项不能漏乘。 ② 负分数的分子要整体相乘。 结果检查 ① 把解代入原方程核对。 ② 应用题还要检查时间、路程等实际意义。 $