5.3 实际问题与一元一次方程（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第5章　一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程（第1课时） 配套问题与工程问题 数学新教材人教版　七年级上册 新知讲授 配套与合作中的相等关系 配套问题 一套产品常由不同数量的零件组成。要让所有零件恰好用完，各种零件的数量必须满足套装中的比例。 合作问题 几个人或几个小组共同做一项工作时，各自完成的工作量相加，等于计划完成的总工作量。 例题讲解 示例 一套模型需要1个底座和3根支柱。有8个底座，要恰好配套需要多少根支柱？ 答：24根。 支柱数量应是底座数量的3倍。 计算。 新知讲授 设元与剩余人数 人数总量固定 总人数22人，设生产螺栓的有人，则生产螺母的有人。这同时使用了总人数条件。 产量的表达 每人产量乘人数才是总产量。生产效率不同，不能直接用两组人数之比代替零件数量之比。 例题讲解 例1：分析 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 答：设生产螺栓的有人，生产螺母的有人。 螺栓日产量为，螺母日产量为。 螺母数应为螺栓数的2倍。 例题讲解 例1：解答 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 答：螺栓安排10人，螺母安排12人。 列。 解得，所以。 日产螺栓12000个、螺母24000个，恰好配套。 例题讲解 示例 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？若设生产螺母的工人为人，如何列方程？ 答：，得。 生产螺栓的有人。 仍然使用“螺母数量是螺栓数量的2倍”。 新知讲授 配套对象是产量 人数与产量 两种零件由不同人数生产，但每人的生产效率也不同。人数相等并不意味着产量相等。 配套的标准 若一套需要1个A和3个B，则B的总产量必须等于A总产量的3倍。求出人数后还要计算能装成的套数。 例题讲解 示例 2人每天各生产30个A零件，3人每天各生产40个B零件。一套需1个A和2个B，能恰好配套吗？ 答：能，均可配成60套。 A共个。 B共个，恰好是A的2倍。 新知讲授 把总工作量看作1 效率的含义 一个人40小时完成全部工作，1小时完成总量的。将总量看作1，可以直接用分数表示每小时完成的份额。 工作量公式 工作量等于人均效率乘人数再乘时间。人数或时间发生变化时，应该分段计算各阶段的工作量。 例题讲解 例2：分析 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 答：先完成，后完成。 设先安排人，第二阶段有人。 人均效率为，两个时段的工作量之和为1。 例题讲解 例2：解答 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 答：先安排2人。 列。 去分母得。 解得，第二阶段有4人。 例题讲解 示例 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成。现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？检验先安排2人的结果。 答：两阶段共完成全部工作。 先完成。 后完成，两部分之和是1。 方法归纳 两类应用的相等关系 配套问题 ① 先表示各类零件的总产量。 ② 按每套用量建立数量倍数关系。 工程问题 ① 将总量看作1，写出各自效率。 ② 分段工作量之和等于完成的总量。 新知讲授 用方程解决实际问题 基本步骤 这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案。 关键环节 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。检验不仅检查计算，还要检查人数、时间等是否符合实际。 课堂练习 练习1：分析 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ 答：甲队每天完成，乙队每天完成。 设合作天。 工作量分别为与，和为1。 课堂练习 练习1：解答 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？ 答：需要8天。 列。 两边乘24得，解得。 8天内甲完成，乙完成。 课堂练习 练习2：分析 在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动。现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 答：设调往甲处人，调往乙处人。 支援后甲处为人。 乙处为人，甲处人数是乙处的2倍。 课堂练习 练习2：解答 在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动。现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 答：调往甲处17人，乙处3人。 列。 化简得，解得。 两处分别44人与22人，符合2倍关系。 课堂练习 练习3：分析 一台仪器由1个A部件和3个B部件构成。用钢材可以做40个A部件或240个B部件。现要用钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 答：设做A部件用立方米，做B部件用立方米。 A部件数量为，B部件数量为。 B数量应是A数量的3倍。 课堂练习 练习3：解答 一台仪器由1个A部件和3个B部件构成。用钢材可以做40个A部件或240个B部件。现要用钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 答：A用4立方米，B用2立方米，最多制成160台。 列。 解得，A部件160个，B部件480个。 每台需1个A、3个B，恰好组成160台。 新知讲授 尽可能多与恰好配套 短缺的一类决定套数 若A多而B少，多出的A不能单独组成仪器。材料总量固定时，应按配套关系分配，减少剩余。 结果完整 题目既问两类材料用量，又问仪器台数，答案必须逐项给出。求出材料用量后再乘各自效率。 课堂练习 习题5.3第2题 制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿。现有木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 答：桌面用10立方米，桌腿用2立方米，可制200张桌子。 设桌面用立方米，列。 解得，得到200个桌面、800条桌腿。 课堂练习 习题5.3第3题 某车间每天能制作500个甲种零件，或250个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各1个配成1套产品。现要用30天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？ 答：甲制作10天，乙制作20天。 设甲制作天，乙为天。 列，得。 课堂练习 习题5.3第4题 某项工作由甲、乙两人单独做分别需要7.5 h和5 h。如果让甲、乙两人一起工作1 h，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？ 答：一共需要小时。 设一共小时，甲做1小时，乙做小时。列。 解得，包含合作的1小时。 例题讲解 示例 甲单独6小时完成，乙单独3小时完成。先合作1小时，再由乙独做。设乙独做时间为小时，求总时间。 答：乙独做1.5小时，总时间2.5小时。 列。 解得，再加合作的1小时。 新知讲授 工程题中的两种单位 具体工作量 若总量为120件，效率可写成每小时多少件，方程两边以“件”为单位。 单位工作量 若总量看作1，效率写成每小时完成的份额，方程右边通常为1。两种表示方法不能在同一方程中混用。 例题讲解 示例 一批120本图书，甲每小时整理15本，乙每小时整理25本。两人合作完成需几小时？ 答：3小时。 设时间小时，列。 解得。也可写。 例题讲解 示例 一套产品需1个A、2个B。两组人数分别为与，每人生产A 30个或B 40个。有人列，错在哪里？ 答：右边应乘2，正确为。 原方程只保证两类零件数量相等。 一套需两倍的B，必须体现套装比例。 新知讲授 木杆挂重物实验 准备与平衡 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体。在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点。 两端悬挂 在木杆两端各悬挂一重物，观察左右是否保持平衡。两物体等重，到支点距离也相等，可以作为后续比较的起点。 新知讲授 重物数量与悬挂位置 两件与三件 在木杆左端小物体下加挂一重物，把两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录支点与两边挂重物处的距离。左边再加一重物，重复移动并记录。 继续探究 在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录。比较左侧重物个数与离支点距离的关系，注意保持各小物体等重。 例题讲解 数学活动2：列方程 如图，在木杆右端挂1个重物，支点左边挂个重物，使左右平衡。设木杆长 cm，支点在中点，左边重物距支点 cm。把作为已知数，列出关于的一元一次方程。 答：，所以。 在理想平衡模型中，两边“重物个数乘到支点距离”相等。 右边个数为1、距离为，左边为与。 方法归纳 本阶段归纳 完整解答应用题 ① 设元时写明数量与单位。 ② 计算后回答所有问题并检查实际意义。 常用模型 ① 产量等于效率乘人数或时间。 ② 工作量等于效率乘时间，分段后相加。 课堂总结 配套问题与工程问题 设元 明确人数、时间或材料数量。 配套 各部件产量按每套用量配比。 工程 效率乘时间等于工作量。 步骤 设、列、解、检、答。 检验 检查数量、单位与整数条件。 针对训练 训练 一套需要2个A与3个B。A有个，B有个，正确关系是：A. ；B. 。 答：B。 A的套数为，B的套数为。 两套数相等，交叉相乘得到B。 先比较套数，再改写成整系数等式。 针对训练 训练 甲单独完成一项工作需15天，乙需10天。两人每天分别完成总量的多少？ 答：甲，乙。 把总工作量看作1。 效率等于总量除以完成时间。 总量设为1后，效率为单独完成时间的倒数。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 合作效率等于各自效率之和。 正确 同一时间的工作量相加。 （2） 合作时间等于两人单独时间的和。 错误 应先把效率相加，再求时间。 （3） 原有人，增加2人后为人。 正确 在原有人数基础上增加。 （4） 求出一组人数后，另一组可以不回答。 错误 题目要求两组时应完整作答。 先把总量看作1，再比较效率与工作时间，二者不能混淆。 针对训练 训练 甲独做12天，乙独做6天。合作完成需要多少天？ 答：4天。 设两人合作完成需要天。 列。 乘12得，解得。 每队工作量相加等于1。 针对训练 训练 16人生产A、B两种零件，每人每天分别生产30个A或50个B，一套各需1个。如何分工？ 答：10人做A，6人做B。 设安排人生产A，则生产B的有人。 列。 解得，两类各生产300个。 效率较低的一类需要更多生产人数。 针对训练 训练 先有人工作3小时，再增加4人工作2小时。人均效率为。某同学把第二阶段工作量写为，怎样改正？ 答：改为。 原来的人继续工作。 第二阶段总人数是，不能只算新增人数。 “增加”后要计入原有人员。 针对训练 训练 1人完成任务需60小时，先安排人做4小时，再增加2人做6小时，共完成总量的。先安排多少人？ 答：，不为整数，题设不能对应整人数安排。 列。 去分母得，所以。 人数解要是整数，不能把不合理结果强行取整。 针对训练 训练 某机器每天能生产80个A或120个B，1个A配2个B，计划用7天生产最多成套产品。各生产几天？ 答：A生产3天，B生产4天。 设A用天，列。 解得，可配240套。 把总天数分配给两种生产任务。 针对训练 训练 一人整理全部资料需36小时，先由若干人整理3小时，再增加3人整理6小时完成任务。最初安排多少人？ 答：2人。 设最初安排人，后来共有人。 列。 得，解得。 两个时段的工作量分别计算再相加。 针对训练 训练 一套课桌需1个桌面和4条腿。每立方米木材可做30个桌面或240条腿，共有9立方米木材。怎样用料，最多制作多少套？ 答：桌面用6立方米，桌腿用3立方米，制作180套。 设桌面用，列。 解得，桌面180个、桌腿720条。 最终用两类零件各自折算出的套数相互检验。 方法归纳 配套与工程的方法 配套看每套需要量 ① 先列产量，再比较套数或倍数。 ② 计算剩余材料与另一组数量。 工程看各阶段工作量 ① 统一总量为1或统一具体单位。 ② 分段计算，区分独做时间与总时间。 $