4.1 整式（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第4章　整式的加减 4.1 整式（第2课时） 多项式及整式的分类 数学新教材人教版　七年级上册 新知讲授 把多个数量放在一起 熟悉的式子 、、、都能表示实际数量。 共同结构 每个式子都能看成几个单项式的和。减法可以改写成加上一个负的单项式。 例题讲解 示例 将看作两个单项式的和，它们分别是什么？ 答：和。 把减去10写成加上。 负号要与后面的数合在一起。 把减去10写成加上。 新知讲授 多项式与项 概念 像这样，几个单项式的和叫作多项式。其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。 理解 例如的项是与，常数项是。 新知讲授 怎样把各项分开 分项依据 把减法看成加法后，每一个被相加的单项式就是一项。例如有3项。 符号规则 在中，各项是、、5。写项时一定带上前面的正负号。 例题讲解 示例 指出多项式的项和常数项。 答：项为；常数项为6。 按加减关系分项，保留各项符号。 不含字母的项为常数项。 按加减关系分项，保留各项符号。 新知讲授 多项式的次数 概念 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 理解 先分别求各项次数，再取最高次数；不能把不同项的次数相加。 例题讲解 示例 多项式是几次几项式？ 答：四次三项式。 三项次数依次是4、3、0。 最高次数是4，共3项。 三项次数依次是4、3、0。 新知讲授 项数与次数是两个问题 项数 数一数由几个单项式相加组成。例如共有3项。 次数 比较各项的次数，取最高值。的最高次项是，所以它是五次三项式。 新知讲授 整式 概念 单项式与多项式统称整式。 理解 、是单项式；是多项式，它们都属于整式。 新知讲授 整式的分类 单项式 数或字母的积，包括单独的数和字母。例如、、。 多项式 几个单项式的和。例如、。判断时先看式子的结构，再判断项数和次数。 方法归纳 从项研究多项式 分项 ① 将减法看成加上负项，项前符号必须保留。 ② 找出不含字母的常数项。 定次数 ① 分别计算各项的字母指数和。 ② 取最高次数，不能把各项次数相加。 例题讲解 例 2 用多项式填空，并指出它们的项和次数。 （1） 长方形相邻两条边的长分别为，则它的周长为____。 （2） 是一个有理数，的立方与2的差为____。 （3） 某公司投放共享单车，前两年每年投放辆。第三年起不再投放，每月回收辆。第三年底，该地区共有该公司的共享单车____辆。 （4） 独孤信印章由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成，两种面的边长都是，等边三角形高为。表面积为____。 （1） 答：；项为，次数1。 周长为两条长与两条宽的和，两项都为一次项。 先列数量关系，每一项保留符号，次数取最高值。 例题讲解 例 2 用多项式填空，并指出它们的项和次数。 （1） 长方形相邻两条边的长分别为，则它的周长为____。 （2） 是一个有理数，的立方与2的差为____。 （3） 某公司投放共享单车，前两年每年投放辆。第三年起不再投放，每月回收辆。第三年底，该地区共有该公司的共享单车____辆。 （4） 独孤信印章由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成，两种面的边长都是，等边三角形高为。表面积为____。 （2） 答：；项为，次数3。 “立方与2的差”是，最高次项为。 先列数量关系，每一项保留符号，次数取最高值。 例题讲解 例 2 用多项式填空，并指出它们的项和次数。 （1） 长方形相邻两条边的长分别为，则它的周长为____。 （2） 是一个有理数，的立方与2的差为____。 （3） 某公司投放共享单车，前两年每年投放辆。第三年起不再投放，每月回收辆。第三年底，该地区共有该公司的共享单车____辆。 （4） 独孤信印章由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成，两种面的边长都是，等边三角形高为。表面积为____。 （3） 答：；项为，次数1。 前两年共辆，第三年回收辆；用投入量减回收量。 先列数量关系，每一项保留符号，次数取最高值。 例题讲解 例 2 用多项式填空，并指出它们的项和次数。 （1） 长方形相邻两条边的长分别为，则它的周长为____。 （2） 是一个有理数，的立方与2的差为____。 （3） 某公司投放共享单车，前两年每年投放辆。第三年起不再投放，每月回收辆。第三年底，该地区共有该公司的共享单车____辆。 （4） 独孤信印章由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成，两种面的边长都是，等边三角形高为。表面积为____。 （4） 答：；项为，次数2。 面积和为。 先列数量关系，每一项保留符号，次数取最高值。 例题讲解 例 2（4）图形分析 独孤信印章由18个边长为的正方形和8个边长为、高为的等边三角形围成。怎样分别计算两种面的总面积，进而求表面积？ 答：。 先按两种面的形状分类计算。 。 先按两种面的形状分类计算。 例题讲解 示例 共享单车数量中的和分别表示什么？ 答：投放总量与回收导致的减少量。 表示前两年增加的车辆。 表示第三年回收使数量减少。 表示前两年增加的车辆。 课堂练习 练习 下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属圈中：，，，3，。 （1） 单项式 （2） 多项式 （1） 答： ，3。 它们为单个数或数与字母的积。 单独的3也是单项式。 （2） 答：，，。 它们都是几个单项式的和。 减号包含在对应项中。 它们为单个数或数与字母的积。 课堂练习 练习 填写下列各多项式的项及次数。 （1） （2） （3） （4） （5） （1） 答：项为；次数4。 各项次数为3、2、4。 取最高次数4。 （2） 答：项为；次数1。 常数项为1。 最高次数为1。 各项次数为3、2、4。 课堂练习 练习 填写下列各多项式的项及次数。 （1） （2） （3） （4） （5） （3） 答：项为；次数2。 两项的次数都是2。 多项式次数仍为2。 （4） 答：项为；次数2。 各项次数为2、1、0。 最高次数为2。 两项的次数都是2。 课堂练习 练习 填写下列各多项式的项及次数。 （1） （2） （3） （4） （5） （5） 答：项为；次数3。 项的先后顺序不影响次数。 最高次项为。 项的先后顺序不影响次数。 课堂练习 练习 3 鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是益智玩具。六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示，这个面的面积为____。 答：。 用完整长方形面积减去缺口面积。 整体为，缺口为。 用完整长方形面积减去缺口面积。 课堂练习 习题选讲 指出的各项及多项式的次数。 答：项为；次数4。 各项次数分别为4、3、2。 多项式次数取最大的4。 各项次数分别为4、3、2。 课堂练习 习题选讲 一所住宅的建筑平面图分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，尺寸如图（单位m）。用多项式表示建筑面积，并指出次数。 答： m²；次数2。 四块面积依次为。 相加得。 四块面积依次为。 课堂练习 习题选讲 排球比赛中，以3—0或3—1取胜得3分，以3—2取胜得2分，以2—3负得1分。某队以3—1胜场，以3—2胜场，以2—3负场，用多项式表示总积分。 答：。 按三种比赛结果分别计分。 总积分为，是一次三项式。 按三种比赛结果分别计分。 课堂练习 习题选讲 冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种依次相邻。相邻节气的日影长约减少尺。立春日影长10.5尺，用式子表示立夏的日影长。 答：尺。 从立春到立夏有6个相邻间隔。 共减少尺。 从立春到立夏有6个相邻间隔。 新知讲授 换顺序不改变次数 同一个多项式 也可写成。项的顺序改变，但项数、常数项和次数都不变。 有序表达 写答案时可把高次项写在前面，常数项写在最后。这样便于检查是否遗漏某一项。 例题讲解 示例 写一个三次三项式，常数项为。 答：例如。 安排最高次项为三次项。 再写一次项及常数项，保证共3项。 安排最高次项为三次项。 例题讲解 示例 判断“含三个字母的多项式一定是三次多项式”是否正确。 答：不正确，例如是一次三项式。 次数由单项式中指数和决定。 项数或不同字母总数都不能替代次数。 次数由单项式中指数和决定。 课堂练习 习题选讲 新旧鞋号的部分对应关系如表。求表中的值；若新鞋号为、旧鞋号为，写出把旧鞋号转换为新鞋号的公式。 （1） 求 （2） 写转换公式 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 … a （1） 答：。 新鞋号每增加5，旧鞋号增加1。 270比220多50，旧鞋号比34多10。 （2） 答：。 变化比例为5。 用确定固定增加量。 先找相邻数据的变化，再用一组对应值确定固定数。 方法归纳 处理多项式中的符号与次数 保留完整的项 ① 将式子看作带符号单项式的和。 ② 负项和负的常数项必须连同符号写出。 从分项到整体 ① 先求每一项的次数，再确定最高次数。 ② 实际面积可用分割相加或补全相减列式。 课堂总结 多项式与整式 概念 几个单项式的和是多项式。 项 每个单项式是一项；不含字母的项是常数项。 次数 所有项中最高的次数。 整式 单项式与多项式统称整式。 方法 带符号分项→逐项判次数→取最大值。 针对训练 训练 多项式的常数项是：A.7；B.；C.；D.2。 答：B，。 找出不含字母的一项。 常数项必须包含它前面的负号。 找出不含字母的一项。 针对训练 训练 是____次____项式。 答：四次三项式。 各项次数为4、2、0。 取最高次数4，并数出3项。 各项次数为4、2、0。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确。 （1） 的次数为4。 错误 次数为2。 各项次数取最大值，不求和。 （2） 的项是和。 正确 分项时保留符号。 （3） 3是整式。 正确 单独的数是单项式。 （4） 是三次多项式。 错误 是一次三项式。 最高项次为1。 各项次数取最大值，不求和。 针对训练 训练 指出的各项、常数项和次数。 答：项：；常数项；次数3。 先按带符号的单项式分项。 前两项次数均为3，常数项次数为0。 先按带符号的单项式分项。 针对训练 训练 将、、8、分成单项式与多项式。 答：单项式：、；多项式：、。 先区分“一个积”和“几个单项式的和”。 单独的常数8属于单项式。 先区分“一个积”和“几个单项式的和”。 针对训练 训练 写一个只含的二次三项式，二次项系数为3，常数项为。 答：例如。 固定二次项与常数项。 加一个一次项得到三项。 固定二次项与常数项。 针对训练 训练 若为五次多项式，为正整数，最大是多少？ 答：4。 第二项次数为，不能超过5。 当时第二项为五次项，符合条件。 第二项次数为，不能超过5。 针对训练 训练 长方形长、宽，挖去一个边长为的正方形。用多项式表示剩余面积，并指出次数。 答：，次数2。 整体面积是，缺口面积是。 两项都为二次项。 整体面积是，缺口面积是。 针对训练 训练 读书活动每读一本书得5分，每分享一次得3分，迟交一次扣2分。小明读书本、分享次、迟交次，用多项式表示积分，并指出项数和次数。 答：；一次三项式。 分别写出三类积分的变化量。 扣分要写负项，三项次数都是1。 分别写出三类积分的变化量。 针对训练 训练 一块边长为 m的正方形花坛，旁边紧接一块长为 m、宽为2 m的长方形花坛。用多项式表示总面积，并求时的面积。 x 2 x 答： m²；15 m²。 两块无重叠，面积相加。 代入得。 两块无重叠，面积相加。 方法归纳 多项式问题的两种方法 结构分析法 ① 每一项都带上自己的正负号。 ② 逐项求次数后取最大值。 ③ 把项数、次数、常数项分开判断。 数量分解法 ① 把总量拆成几类，分别列单项式。 ② 增加用正项，减少用负项。 ③ 几部分相加后，结合情境检查单位和符号。 $