四川省遂宁市船山区高一数学上学期课时作业（人教A版必修第一册第三章3.1函数的概念及其表示）

人教A版必修第一册　第三章　3.1 函数的概念及其表示　｜　课时作业（参赛稿） 从“变量说”到“集合对应”——函数的概念及其表示（3.1）课时作业 （人教A版必修第一册　第三章 函数的概念与性质　3.1函数的概念及其表示） 【应用场景】新授课配套课后作业　|　适用年级：高一上学期　|　建议完成时长：约35分钟（必做约25分钟＋选做约10分钟） 一、作品基础信息 项目 内容 作品名称 从“变量说”到“集合对应”——函数的概念及其表示（3.1）课时作业 作者 张秋龙（个人投稿） 所在地区 四川省遂宁市船山区 学科·学段 数学·高中 适用年级与学期 高一上学期 教材版本 人民教育出版社A版（2019） 对应内容 第三章 函数的概念与性质　3.1函数的概念及其表示（3.1.1函数的概念、3.1.2函数的表示法） 作业类型 课后分层课时作业 题量与题型 共16题：选择题4（第1—4题）、填空题4（第6—8题）、解答题8（第9—16题），其中第2、5题为图象判断题 建议完成时长 必做约25分钟（A层15分钟＋B层10分钟），选做约10分钟（C层） 分值结构 A层50分（必做）＋B层30分（必做）＋C层20分（选做），满分100分；只完成必做得80分 难度结构 基础约50%＋中档约30%＋拓展约20% 选题来源 依据《专题3-1函数的概念及其表示【13类题型】》题型1—13命制或改编，覆盖全部13类题型；改编题已在题干前标注，改编思路见第七部分（四） 二、设计背景与意图 （一）课标要求 本作业对应数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等核心素养。 课标原文（《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“主题二 函数”内容要求）：“在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域；了解函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法）。” （二）教材地位 本课时是高中函数学习的起点，上承初中“变量说”，下启单调性、奇偶性与各类具体初等函数。函数概念由“变量说”上升为“集合对应说”，是学生数学抽象能力的一次重要飞跃。 （三）教学重难点 重点：函数概念的集合语言刻画、定义域与值域的求解、函数的三种表示法。 难点：抽象函数（如 ）的定义域、同一函数的判断、分段函数求值求参、待定系数法与换元／方程组法求解析式。 （四）学情分析 学生已学过一次、二次、反比例函数，会用描点法画图；但符号含义理解不透，“定义域优先”意识薄弱，判断同一函数常忽略定义域，对抽象函数与分段函数容易出错。故按 A、B、C 三层差异化设计，A层保底、B层提能、C层拔高。 易错预判（据往届作业统计）：① 把 误读为 与 相乘，不知 是“对应法则”的记号；② 竖直线检验只会操作、说不清依据——本质是“一个 只能对应唯一的 ”；③ 换元法只换解析式，漏写新元的取值范围，导致定义域出错；④ 实际建模只写解析式，忽略现实约束（如边长必须为正）。 （五）减负与作业总量 本作业严格控制总时长35分钟（必做仅25分钟），无机械重复刷题；C层20分为弹性选做，不作全员统一要求；计算量控制在两步以内，把时间留给概念理解与图象直观，切实落实“双减”要求。 三、作业目标（素养导向·可观测） 素养维度 目标描述 数学抽象 能用集合与对应语言刻画函数，指出函数的三要素。【可观测：第1、4题正确，并能说出“两个函数相同须定义域与对应关系都相同”】 逻辑推理 会判断图象能否作为函数图象，会判断两个函数是否相同。【可观测：第2题用竖直线检验选出正确项，第4题指出其余三项错在哪一处】 数学运算 会求定义域、函数值与解析式；会用分离常数、换元法求值域。【可观测：第3、6—13题结果正确且区间端点开闭无误，定义域写成区间形式】 数学建模与直观想象 能把“容器注水”“围菜园”等实际情境转化为函数关系，能由图线的陡缓读出变化率。【可观测：第5题选对图象并说明理由，第16题写出解析式与定义域并求最值】 四、作业整体架构 （一）分层结构与时间分配 层级 题号 分值 建议用时 完成要求 A层 基础达标 1—10 50分 约15分钟 全员必做，对应概念辨识、定义域、函数值、同一函数、待定系数 B层 能力进阶 11—13 30分 约10分钟 全员必做，对应分段函数、抽象函数定义域、换元配凑 C层 拓展探究 14—16 20分 约10分钟 弹性选做，对应求值域、方程组法、实际建模 合计 16题 100分 约35分钟 必做80分＋选做20分 （二）作业内容与专题题型对应 题号 考查内容 对应专题题型 层次 难度 分值 1 函数关系的实际辨识 题型1函数的概念 A 易 4 2 用竖直线检验图象是否为函数图象 题型1／题型3 A 易 4 3 分式与根式组合的定义域（选择） 题型2求定义域 A 易 4 4 同一函数的判断 题型4相同函数 A 易 4 5 容器注水的高度—时间图象 题型3图象判断 A 中 4 6 由解析式求函数值 题型5求函数值 A 易 4 7 区间与不等式互化 题型2求定义域 A 易 4 8 分段函数求函数值 题型12分段函数 A 易 4 9 组合式定义域（解答） 题型2求定义域 A 中 10 10 待定系数法求一次函数解析式 题型6待定系数 A 中 8 11 分段函数求值求参 题型12分段函数 B 中 10 12 抽象函数 的定义域 题型7抽象函数定义域 B 中 10 13 换元／配凑法求解析式 题型9换元配凑 B 中 10 14 分离常数法、换元法求值域 题型10／题型11求值域 C 难 8 15 方程组法求解析式 题型8方程思想 C 难 6 16 矩形菜园的实际建模 题型13实际应用 C 中 6 合计 —— 覆盖题型1—13 —— —— 100 五、具体作业内容 （一）A层 基础达标（全员必做·约15分钟·50分） 1.（4分）下列说法中的两个变量，具有函数关系的是（　　） A．等边三角形的边长与周长　　B．电脑的销售额与利润 C．玉米的产量与施肥量　　D．日光灯的产量与单位生产成本 2.（4分）（改编）下列四个图象中，可以作为函数 的图象的是（　　） 图1　第2题　四个图象 （提示：用一条垂直于 轴的直线去截图象，若某个 对应两个 ，就不是函数图象。） 3.（4分）函数 的定义域是（　　） A．[−2,+∞)　　B．[−2,1)∪(1,+∞)　　C．(−2,1)∪(1,+∞)　　D．(−∞,1) 4.（4分）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 　　B． 与 C． 与 　　D． 与 5.（4分）（改编）如图2，某容器的下部为半球形，上部为与半球等底面的圆柱形。现以恒定流量向容器内注水，直至注满。下列图象中，能大致反映水面高度 与注水时间 关系的是（　　） 图2　第5题　四个 - 图象 （提示：设注水流量恒为 ，高度 处的横截面积为 ，则水面上升速度 ——横截面积越大，水位上升越慢。半球段横截面由小变大，圆柱段横截面不变。） 6.（4分）已知 ，则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 7.（4分）用区间表示不等式 的解集为＿＿＿＿；集合 用区间表示为＿＿＿＿。 8.（4分）设 ，则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 9.（10分）求函数 的定义域。 10.（8分）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式。 （提示：设 （），把 展开后比较系数； 有两解，注意不要漏解。） （二）B层 能力进阶（全员必做·约10分钟·30分） 11.（10分）已知 ，且 。 （1）求 与 （用含 的式子表示）； （2）求 的值，并求 。 12.（10分）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。 13.（10分）已知 ，求 的解析式及其定义域。 （三）C层 拓展探究（弹性选做·约10分钟·20分） 【选做★】14.（8分）用指定方法求下列函数的值域： （1）分离常数法：（）； （2）换元法：。 【选做★】15.（6分）已知函数 满足 （），求 的解析式。 【选做★】16.（6分）（改编）用长为20 m 的篱笆围成一个矩形菜园，设其中一边长为 m，面积为 m²。 （1）写出 关于 的解析式； （2）求这个函数的定义域； （3）当 取何值时 最大，最大值是多少？ 【课后元认知反思】（请在符合你情况的方框内打“√”） 本次作业你主要错在哪一类问题？　□ 定义域求解　□ 分段函数求值　□ 抽象函数　□ 求解析式　□ 实际建模 六、作业实施建议 （一）前置准备（完成作业前） 学生需已掌握：一次函数、二次函数、反比例函数的解析式与图象；用描点法作图；集合的区间表示；一元一次不等式（组）的解法。作业前3分钟可回顾“区间端点开闭”与“函数三要素”两个要点，避免因前置知识遗漏造成非知识性失分。 （二）使用场景与操作方式 1. A层10题建议在当堂最后15分钟限时独立完成，收齐后同桌互批；B层3题课后完成，约10分钟；C层3题为弹性选做，学有余力者完成，不作全班统一要求。 2. 第2、5题是图象判断题，要求学生在图上做记号（第2题画出竖直线，第5题在曲线上标出“陡—缓—直线”两段），不要求写长文字。 3. 第9—16题为解答题，须写出关键步骤；只写答案不写过程，按评分细则扣分。 （三）讲评节点与重点 1. 第一讲评点（下一课时开头5分钟，第4题）：同一函数的判断是本课最高频的错误点。板书写三行对照——定义域、对应关系、自变量字母（字母无关），让学生看清 A、B、C 三项各错在“定义域不同”这一处。 2. 第二讲评点（约4分钟，第5题）：先请学生说“哪一段水位上升最快”，再回到“横截面积决定上升快慢”，把半球段“横截面先小后大”与“曲线由陡变缓”对应起来，最后说明圆柱段横截面不变、图象是一条直线。 3. 第三讲评点（约5分钟，第12题）：抽象函数定义域的关键是“ 的作用对象必须落在 内”，板书 的由来，再让学生比较“已知 定义域求 ”与“已知 定义域求 ”两类的区别。 4. 第四讲评点（机动，第14题）：分离常数法与换元法各示范一题，强调换元后必须写出新元的取值范围。 （四）批改与反馈 1. A层当堂互批、教师抽查；B层全批；C层只批思路，不逐题算。 2. 建立“错因标签”：定义域遗忘、区间端点开闭错、分段函数代入错段、抽象函数作用对象错位、换元后未写新元范围。每份作业只标最主要的一类，便于二次辅导。 3. 连续两次出现同一标签的学生，安排一次5分钟面批。 4. 学生操作：先独立限时完成，再用红笔自评（对照附录二“学生自评表”打勾），最后同桌互批选择填空。 5. 打印建议：“五、具体作业内容”一节即为学生作答卷（含横线答题区），单独打印即可；其余为教师用说明与答案，无需印发。 （五）课后拓展（选做，1—2句） 用手机拍一张生活中的“变化过程”（如水位上升、气球充气），画出它的大致图象，并用一句话说明“哪一段变化最快、为什么”——下次课前1分钟分享。 七、参考答案与规范评分细则 （一）A层 1—10题参考答案与评分 1. 答案：A（4分）。等边三角形的周长等于边长的3倍，边长确定则周长唯一确定，符合函数定义；B、C、D 中两个量之间没有确定的对应关系。 2. 答案：C（4分）。用竖直线检验：A（圆）、B（椭圆）、D（向右开口的抛物线）都存在某个 对应两个 ，故不是函数图象；C 中每个 只对应一个 ，可以作为函数图象。 3. 答案：B（4分）。须 且 ，即 且 ，定义域为 [−2,1)∪(1,+∞)。 4. 答案：D（4分）。判断同一函数须定义域与对应关系都相同：A 中 的定义域为 [0,+∞)，与原函数不同；B 中 ，对应关系不同；C 中 的定义域为 ，不同；D 中定义域同为 R、对应关系相同，自变量字母不影响。 5. 答案：A（4分）。设注水流量恒定，则水面上升速度与该高度处的横截面积成反比。 半球段：从底部到球心所在的平面，横截面积由小逐渐增大到最大值，故水位上升“先很陡、越来越缓”，图象是一段斜率逐渐减小的曲线。 圆柱段：横截面积恒等于半球底面圆的面积，水位匀速上升，图象是一条倾斜直线。 交界处：半球顶面与圆柱底面等底，横截面积恰好连续（都等于 ），所以曲线与直线在交界处斜率也连续，图象光滑相接。 B 是先缓后陡（对应倒圆锥），C 全程匀速（对应圆柱），D 前面是直线、后面变陡，均不符合，故选 A。 【命题意图】以物理注水情境承载“变化率—图象斜率”的直观理解：横截面积越大、水位上升越慢。学生须把“几何形状”翻译成“面积随高度变化”，再由面积变化读出斜率变化，落实直观想象与数学建模素养；本题同时避开“整球下接圆柱”斜率突变的物理硬伤。 6. （2分）；（2分）。 7. [−1,3)（2分）；(2,+∞)（2分）。 8. 因为 ，用第一段：（2分）；因为 ，用第二段：（2分）。 9. 须 且 （4分），得 且 （4分），定义域为 [1,3)∪(3,+∞)（2分）。 10. 设 （）（2分），则 （2分）。由 得 或 （2分）。当 时 ，；当 时 ，（1分）。故 或 （1分）。 （二）B层 11—13题参考答案与评分 11. （1）因为 ，用第一段，（2分）；因为 ，用第二段，（3分）。 （2）由 得 （3分）；此时 时为 ，故 （2分）。 12. 的作用对象必须落在 [0,4] 内，故 （5分），解得 （4分），定义域为 [−1/2,3/2]（1分）。 13. 令 ，则 （3分），，（3分），故 （3分），即 ，定义域为 [1,+∞)（1分）。 【得分点】写出 与 的对应关系3分；化简得 3分；换回 3分；写出定义域1分。 【易错警示】换元后必须写清新元 的取值范围。只写 而未注明定义域 [1,+∞)，扣2分；把新元范围写成 的，扣1分。 （三）C层 14—16题参考答案与评分 14. （1）（2分），因 ，故 ，值域为 (−∞,2)∪(2,+∞)（2分）。 （2）令 （1分），则 ，（2分）。因 ，顶点 可取，故 ；又 时 ，值域为 (−∞,5/4]（1分）。 15. 由 ①（1分），以 代 得 ②（2分）。用 ① 减去2×②（即 ①②）得 （2分），故 （）（1分）。 16. （1）周长20 m，两邻边之和为10 m，故 （2分）。 （2）由 且 得定义域 （2分）。 （3），故 时 取最大值25 m²（2分）。 （四）本题组改编说明 1. 第2题：沿用《专题3-1》题型1“图象是否为函数图象”的考查点，原题为多个曲线项的文字描述，本题改为四幅自绘图象（圆、椭圆、折线、向右开口的抛物线），并把“竖直线检验法”写进提示，使判断依据可视化。 2. 第5题：情境取自《专题3-1》题型3“容器注水”图象判断题。原稿把容器说成“下球上柱”，但整球底部是尖点、球顶横截面积又为0，与圆柱底面突变，斜率不连续，物理上难以自洽；本题改为“下半球＋等底面圆柱”，横截面积在交界处连续（都等于 ），图象为“曲线渐缓接直线”，既符合 的定量关系，也避免了斜率突变的硬伤。四幅选项图按此规则重绘。 3. 第16题：取材于《专题3-1》题型13“实际应用”的围菜园模型，原题只要求写出解析式，本题增加“求定义域”与“求最值”两问，形成“建模—约束—优化”的完整链条。 （五）原创性声明与逐题来源 本作业个人原创与改编题目占比100%，不含任何整题照搬，无版权争议；全部图象为矢量自绘，不使用网络图片或教辅扫描件。 题号 类型 来源 改编要点 1 原创 自编 四个生活情境辨析函数关系，突出“确定性对应” 2 原创（图自绘） 自编 四幅自绘图考竖直线检验，替代原题的纯文字描述 3 原创 自编 分式与根式复合，强化“同时满足” 4 原创 自编 同一函数判断，选项分别错在定义域或对应关系 5 改编 《专题3-1》题型3 情境重构：整球改为半球＋等底面圆柱，消除斜率突变；四图重绘 6 原创 自编 由解析式求函数值，含分数与负数代入 7 原创 自编 区间与不等式互化 8 改编 人教A版教材例习题 参数改为具体数值，突出“代入哪一段” 9 原创 自编 组合式定义域解答题，端点开闭单独赋分 10 改编 人教A版教材习题 增设 复合与两组解，考查待定系数 11 改编 人教A版教材习题 分段函数求参数，两段均需检验 12 改编 《专题3-1》题型7 抽象函数定义域，定义域改为 [0,4) 半开区间 13 改编 《专题3-1》题型9 换元配凑，强调新元取值范围 14 改编 人教A版教材习题 分离常数法与换元法并列，形成方法对照 15 改编 《专题3-1》题型8 方程组法，增设 的隐含约束 16 改编 《专题3-1》题型13 围菜园增设“定义域”与“最值”两问，形成建模闭环 八、作业评价标准（分层评价量规） 本量规不仅回答“对与错”，更关注“想与做”：赋分回答“对没对”，量规回答“好没好”，并通过“错因标签”实现精准反馈，落实新课标“教、学、评一致性”的要求。 评价对象 评价维度 等级标准（达标／良好／优秀） 评价主体 反馈方式 改进建议 A层1—10题 概念判断、定义域与区间书写、运算规范 达标：选择填空答对不少于6题，第9、10题思路基本正确；良好：答对不少于8题，定义域写成区间且端点开闭无误；优秀：全对，并能指出第4题其余三项各错在哪一处 教师批改＋同桌互批 当堂面批，错题当日订正 端点开闭错者，重画数轴标出“实心点／空心圈”再写区间 B层11—13题 分段代入、抽象函数作用对象、换元 达标：第11题能分段代入求出 ；良好：三题方法正确、步骤完整；优秀：能说清“ 的作用对象必须落在定义域内”，并能处理换元后新元的范围 教师批改 下一课时投影典型答案对比讲评 抽象函数错位者，加练一题“已知 的定义域求 的定义域” C层14—16题 方法选择、逻辑表达、建模 达标：能完成一题并写出主要步骤；良好：三题方法得当，换元后写出新元范围；优秀：能用两种方法求同一值域，或指出建模中定义域的实际含义 学生自评＋教师点评 课堂口述思路，不要求书面重做 只会算不会说者，追问“为什么 不能等于0” 使用说明：A层以“良好”为目标区间，未达“达标”者当日订正面批；B层以“达标”为过关线；C层只作定性认定。学生自评表见附录二，错因标签表见附录三，评价结果记入《作业记录表》，作为讲评选材与个别辅导的依据。 九、作业设计亮点 1. 题型覆盖完整且可追溯。16题覆盖《专题3-1》全部13类题型，表4逐题标注对应题型，“考点—题目—分值”一目了然。 2. 图象题“画”出来而不是“说”出来。第2、5题都配自绘的四选项图，第2题把“竖直线检验法”写进提示，第5题要求学生在曲线上标出“陡—缓—直线”，把抽象的函数概念落到可视操作上。 3. 分层入口弹性。A、B两层必做共80分保底，C层20分选做拔高，选择权交给学生，避免把难题前置打击初学者信心。 4. 评分细则可操作。解答题均给分步赋分，区间端点开闭、换元后新元范围单列采分点，批改时不必再猜“这一步给几分”。 5. 评价量规成体系。含等级标准、评价主体、反馈方式与改进建议四要素，错因标签可直接用于二次辅导。 本作业的题型源自《专题3-1》的13类高频题型，但并非原题照搬：图象重绘、情境重设、设问重排，使其适配新授课当日的学情。设计的落点不在“多做题”，而在让每一位学生都能在自己那一层上走完一遍方法——基础层会算、提升层会想、拓展层会说。 十、育人价值 ① 实现认知跃迁：帮助学生从“变量说”跨越到“集合对应说”，体会函数概念从“变化过程”到“对应关系”的抽象升级。 ② 感受数学应用：第5、16题通过真实情境（容器注水、围菜园）体会数学建模，感受“用数学的眼光看世界”。 ③ 保护学习信心：分层设计让不同水平学生均能获得成就感——A层保底、B层进阶、C层拔高，每一层都有“跳一跳够得着”的目标。 附录一　试题插图绘制规范 供平台排版或教师自行重绘时对照，黑白矢量、无多余装饰，与当前文档插图一致。 图1（第2题）：四幅子图横向排布，标注 A、B、C、D；均画 、 轴（正方向箭头）与原点 。A 为圆，B 为竖直椭圆，C 为折线（先升后降的“人”字形），D 为开口向右的抛物线。判读口径：用竖直线去截，交点不超过一个才是函数图象。 图2（第5题）：四幅 - 图象横向排布，标注 A、B、C、D；横轴为时间 ，纵轴为水面高度 ，均过原点并带正方向箭头。A：先斜率逐渐减小的曲线，后接斜率不变的直线（参考答案）；B：先缓后陡的曲线，后接直线（对应倒圆锥）；C：全程倾斜直线（对应圆柱）；D：先直线后变陡。 附录二　学生自评表（可课后自填，不占作业分值） 自评项目 能做到 基本做到 还需努力 我能说出函数的三要素，并用集合语言描述函数 □ □ □ 我会用竖直线检验判断图象是否为函数图象 □ □ □ 求定义域时，我会把端点开闭写清楚 □ □ □ 换元后我会写出新元的取值范围 □ □ □ 我能在实际情境中写出解析式并求出定义域 □ □ □ 附录三　错因标签表（教师勾选用） 错因标签 对应题号 本次是否出现 定义域遗忘或漏写 3、9、12、16 □ 区间端点开闭错 3、7、9、14 □ 分段函数代入错段 8、11 □ 抽象函数作用对象错位 12 □ 换元后未写新元范围 13、14 □ 建模忽略现实约束 16 □ 图象与变化率对应不上 2、5 □ — — 学科网（北京）股份有限公司 $