江西上饶市鄱阳县第二中学2026-2027学年九年级上学期第一次质量数学试题

2026-2027学年第一学期第一次质量检测 九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 8. 若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 10. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 12. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为， 第一步 所以，即， 第二步 所以方程没有实数根． 第三步 琪琪的解法是：原方程可化为， 第一步 两边都除以，得． 第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 17. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． （1）判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； （2）已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． （1）求平移后抛物线的解析式； （2）求的面积． 22. 定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 给出几张学习卡片： 【卡片】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数． 【卡片】根与系数的关系（韦达定理）：设关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则，． 【卡片】“消元”与“降次”是解决方程（组）问题的基本思想方法． 完成下列任务： （1）任意写出一组勾股数：________； （2）已知，都是方程的根，则的值是________；的值是________； （3）在关于的一元二次方程中，，，均为正整数． 有理数满足：是该方程的两根之和，是该方程的两根之积． 求证：，，一定是一组勾股数． 2026-2027学年第一学期第一次质量检测 九年级数学 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 【13题答案】 【答案】（1） （2） 【14题答案】 【答案】（1）嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． （2）解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【15题答案】 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【16题答案】 【答案】（1） 顶点坐标为 （2） 【17题答案】 【答案】（1）的长为米 （2） 不能围成面积为平方米的花圃． 理由如下： 根据题意，得，整理，得． ∵， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 【18题答案】 【答案】（1）《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）单价应降低4元． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）是 （2）m的值为0或2 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1）方程是有爱方程，理由如下： ，，， ， 方程是“有爱方程”； （2） 证明：方程是“有爱方程”， ， 原方程为， ， ， ， 是原方程的解； （3），． 六、解答题（本大题共12分） 【23题答案】 【答案】（1），，（答案不唯一） （2）， （3）证明：根据韦达定理，方程的两根之和为，两根之积为， 则，， 即①，②， ①②，得③，②①，得④， ③×④，得， 化简，整理，得， ∵，，均为正整数， ∴，，是一组勾股数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $