精品解析：江苏南通市海门区中南中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

通市海门区中南中学2026-2027学年度十月份独立作业 九年级数学 考试时间： 150分钟 试卷分值：150分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于的方程即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程：， 化简得：， 解得：， 因此，的值为1， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线平移，可以得到抛物线，下列平移的叙述正确的是（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】将转化为顶点式，再根据抛物线的平移规则，进行判断即可． 【详解】解：，它的图象是由的图象向左平移一个单位得到的； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，是解题的关键． 4. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 6. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 7. 如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，如图，设四边形的内切圆切点分别为，根据切线长定理得到，求出，进而得到，求出，从而求出，再根据，设，则，由，求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，设四边形的内切圆切点分别为， ∴， ∴， ∵四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，理解方程的根以及根与系数的关系是解答的关键．首先根据解的概念得到，变形得到，利用根与系数的关系得到，，然后代入整体求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ∴ ． 故选：B． 10. 已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 二、填空题（11~15每题4分，16每空3分，共26分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数通过配方转化为，从而得到顶点坐标． 【详解】解： ， ∴二次函数的顶点坐标为． 12. 如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接，若，则=____°． 【答案】 【解析】 【分析】如详解图，连接，利用圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两锐角互余解答即可． 【详解】 解：连接， 与相切于点， ， 圆心角、圆周角同对， ， ． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出扇形半径，再利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长求出，最后根据勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为， 由题意得， 解得， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， ∴． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负，据此解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得，即， ∴且． 故答案为：且． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠问题等知识点，作轴，垂足为,利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果，熟练掌握图象上点的坐标特征是解决此题的关键． 【详解】解:设点坐标为,则, , , 由对称可知：, , 如图，作轴，垂足为,则， , 由勾股定理得，， ,, 点在反比例函数图象上， , 在中， , 由勾股定理得,即, 由解得， 故答案为：． 16. 在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连接，则的最小值是__________；（2）当最小时，的长为__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）由余角的性质可得，则点E在以为直径的圆上运动，则当点E在上时，有最小值，由勾股定理可求解； （2）当与相切时，最小，由可证，，，则，，由三角形的面积可求，即，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 点E在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接，交圆O于点E，此时有最小值， 点O是的中点， ， ， ； （2）当与相切时，最小， 连接，连接交于H， 由（1）可知：，，， 是的切线， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ． 三、解答题（共94分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） ，. （2） ，. 【解析】 【分析】（1）配方法解一元二次方程． （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：移项，得 ． 配方，得 ，即 ． ． ，． 【小问2详解】 解：原方程化为 ． 移项，得 ． 提取公因式，得 ． 或 ． ，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求，点． （2） 如图，即为所求，点． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，． （1）求作的外接圆，要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）在（1）的条件下，连接并延长，交于点D．连接．若，求的半径长． 【答案】（1） 解：如图，即为所作； （2）的半径长是 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，直径定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据三角形外接圆的作法：作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可； （2）作直径，连接，利用直径定理得出直角，利用圆内接四边形的性质求出相关角的度数，最后利用锐角三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作直径，连接， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径长是． 20. 如图，是的直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】（1） 证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并灵活运用． （1）连接，由是直径，可得，再证，从而有，即可得证； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积 ． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与y轴，x轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）当时，请直接写出x的取值范围； （3）若，根据图象请求出的取值范围． 【答案】（1）一次函数关系式为，反比例函数关系式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入，求得n，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）根据图象即可求得； （3）分别求出、时的值，进而结合函数图象判断即可． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数得，，解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可知：时的取值范围是或； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 根据函数图象可知，若，则． 22. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 【答案】（1）， （2）3米 （3）m 【解析】 【分析】（1）根据列得函数关系式，利用求出x值的取值范围； （2）利用（1）得到，求解即可； （3）将函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴； ∵， 即， 解得：， ∴x值的取值范围为：； 【小问2详解】 当时， 即， 解得：， ∵， ∴， 即的长是3米； 【小问3详解】 ， ∵，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，S取的最大值， ∴当的长是m时，围成的花圃面积最大． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求二次函数的解析式，最值问题，一元二次方程的应用，正确掌握各知识点是解题的关键． 23. 如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． （1）当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设与的函数关系式为，根据图2将和代入求出，可知当时的值，结合题干公式即可求出此时总电阻的值； （2）设，由（1）可知，当时，，此时，代入求解即可； （3）求出R关于V的函数解析式，分别将、代入R关于V的函数解析式求出R的值，可知当时，R的取值范围，根据反比例函数的性质得到随的增大而减小，分别将、代入求出I的值，可知电流表显示电流的取值范围． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图象经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． 【小问2详解】 解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． 【小问3详解】 解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 24. 如图，内接于，于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的直径，连接，若，求证：为等腰三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，，，求线段的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：作直径交于点，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵是直径 ∴由垂径定理可得垂直平分线段， ∴， ∴为等腰三角形． （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，由“等边对等角”证明，利用三角形内角和表示出，利用垂直条件得到互余，利用圆周角定理得到角度间的关系，通过角度转化证明结论． （2）构造直径，利用“直径所对圆周角是直角”及“两直线平行，同位角相等”可得，由“垂径定理”易证，即可证结论． （3）设半径为，，结合已知条件利用勾股定理可得，又由可得，化简后得到①，利用角等证明，得到，即②，联立①②可得方程，解方程得(舍去)，从而得到结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：设半径为，， 则， 由勾股定理可得， 又由（2）知， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 化简后得到①， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①②可得， 化简得， 解方程得(舍去)， ∴． 25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标． （2）当时，y的取值范围是 ． （3）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，求出m的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； ∵， ∴在中，当时，， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； 【小问3详解】 解：当直线恰好经过点C时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点），此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点），此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通市海门区中南中学2026-2027学年度十月份独立作业 九年级数学 考试时间： 150分钟 试卷分值：150分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线平移，可以得到抛物线，下列平移的叙述正确的是（　　） A. 向上平移1个单位长度 B. 向下平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度 4. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是四边形的内切圆．四边形的周长为48，且，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 8. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（11~15每题4分，16每空3分，共26分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 12. 如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接，若，则=____°． 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为______． 16. 在矩形中，，，动点P在上运动（点P不与B，C点重合），点E在线段上，且． （1）连接，则的最小值是__________；（2）当最小时，的长为__________． 三、解答题（共94分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 19. 如图，在中，． （1）求作的外接圆，要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）在（1）的条件下，连接并延长，交于点D．连接．若，求的半径长． 20. 如图，是的直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与y轴，x轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）当时，请直接写出x的取值范围； （3）若，根据图象请求出的取值范围． 22. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 23. 如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． （1）当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 24. 如图，内接于，于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的直径，连接，若，求证：为等腰三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，，，求线段的长． 25. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标． （2）当时，y的取值范围是 ． （3）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，求出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $