青海西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2026-2027学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷

大通二中2026～2027学年第一学期高二年级第一次教学质量检测 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．化简： A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为 A． B． C． D． 3．已知，，且，则 A． B． C． D． 4．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，则 A． B． C． D． 5．已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 A． B． C． D．或 6．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，得，则 A． B． C． D． 7．已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 A． B． C．7 D． 8．如图，在平行六面体中，，，，，则与所成角的大小为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图，正方体的棱长为，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，则下列点的坐标正确的是 A． B． C． D． 10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 11．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则 A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点是轴上一点，且到点与点的距离相等，则点的坐标为__________． 13．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________． 14．如图，在正三棱台中，，，，分别是， 的中点，若，，，四点在球的球面上，则球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知，，．求： （1）； （2）． 16．（本小题满分15分） 如图，在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点． （1）求证：; （2）求与所成角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为． （1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，，，的坐标； （2）求与侧面所成的角． 18．（本小题满分17分） 如图，在正三棱台中，，记，，，，分别为棱，的中点． （1）用，，表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，，为的中点，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，，平面与，分别交于点，，求线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $大通二中20262027学年第一学期高二年级第一次教学质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.A 7.D 8.A 9.AC 10.ABD 11.BCD 12.(0,0,-3) 13.-4 14.24π 15.解：1)因为i=(20,3),e=(0,02),所以5+c=(20,5) …3分 因为a=(2,-3,）,所以4-(6+©=2x2+(-3)x0+1x5=9 …7分 (2)因为a=(2,-3,1,i=(2,0,3),=(0,0,2),所以 a+66-8c=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,-3,3) 13分 16. D B E D y 品a少原t地s系，ea0.F员c00.u写引 (1)证明：因为 -}2r- 所以 .r-0-0 所以EF⊥CF …7分 (2)解：设EF与CG所成角为B, 因为 F=方》-) 1 EF.CG cos0=cos(EF,CG) _V15 EFCG x515 所以 21 2 √5 即EF与CG所成角的余弦值为15 …15分 17. C A C y 解：(1)已知三棱柱4BC-4B,G为正三棱柱，取BC的中点为O,取BC的中点为O,连接O0, 则OO⊥平面ABC连接OA,则OA⊥BC …1分 以0为原点，OA,0B,00为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，…3分 由底面边长为a,侧棱长为√2a, aa停ap9到停aaaj Go-g.a) 所以点A,B,A,C的坐标为 别】4 cla-号 7分 (2)由(1)知： aA=(0,02a),设 n-AM=0+0+2a-z=0, n.AA=0, n=(化八2)为平面BB,4的一个法向量，则n:B=0,即 小* y*0=0 不妨 设x=1,则n-(v3,0) …10分 设4C与侧面4BB,4所成的角为 550 sin0=cos(C) -or+(-+iarx2 则 …13分 0=T 元 所以”6，即AC与侧面ABBA所成的角为6 …15分 18.解：(1)连接4E,则AE=+AE, …1分 因为E为B,C的中点，所以 4E=4低+4G) …3分 R,8-28,4-号西-克 an4C-4c-8 …5分 4E=6+E=a+6+无 所以 404,所以 44…7分 (2)由三棱台ABC-ABC为正三棱台，AB=2AB=2A4,得 ∠48=∠C1B=44C-骨. a.=瓜0=a0- …9分 BB.=BA+A4+AB=a- …11分 记问-t.测则月-月-2 所以 正朋=a++---+e-66= …13分 16 B8=t.15分 2 AE·BB 2 cos(AE,BB) 4 11 AEBB 22 -t…t 所以 而 即异面直线AE与BB所成角的余弦值为22 …17分 19.(1)证明：因为PA=PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD 又PE⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD,2分 又PEC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD …4分 (2)解：如图，在平面ABCD内，作EH⊥AD,交CB于点H,则EH,ED,EP两两垂直，以E 为原点，EH,ED,EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， G 由题意.存P(00.6),40,6,0）,B35,-6,0.C35,30 所=(35.0,0），P西=(65-6,6.CB=(0,9,0) ABm=33x=0, 设m=(,y2)是平面PAB的法向量，则PBm=3V5x-6y-62=0, 令y=L,则x=0,2=-1,所以m=(0,1-)是平面PAB的一个法向量，…6分 CB.n=-9b=0, 设”=(a,bc)是平面PBC的法向量，则PB:n=3N3a-6h-6c=0, 令=2，则6=0，c=5,所u-(2.0v)是平面PBC的一个法向量，8分 设平面PAB与平面PBC的夹角为B, m-n Icos=cos(m,n) 3√42 则 园 V2×√714 sing=v1-cos0=154 14 V154 即平面PAB与平面PBC夹角的正弦值为14 -10分 3)解：由2)：有D@,60),由 -cDnF-D35,3.0）所uF25.40 3 ,得 ,由 G=号P4G=号P-Q66 ,得 ,所G0-4,2) EF=(23,4,0)EG=(0,-4,2) EF.u=23x+46=0, 设“=(，%，2)是平面EFG的法向量，则EG·u=-4,+2。=0, 令x=2,则%=5，二=-25，所“=(2，-23)是子面EFG的个法向量， …12分 由平面EFG与PB交于点M,设PM=元PB=A35,-66),测M(351,-62,6-61),B丽 =(33元，61,6-61) 因为4是平百FG约法向，所4-B丽=2-5-25)35A,-62,6-61)-0, …14分 由平面ErG与PC交于点N,设PN=uP=a(5,36）.则V35u346-6. EN=(354,34,6-64」 因为“是平面EFG的法向量，所以-页=(2-V5,25)3、54.3u6-64）0。 N12W5126 …l6分 w学9：- …17分