5.4用一次函数解决问题 课后练习题 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

《5.4 用一次函数解决问题》课后练习题 苏科版（2024年审定）八年级数学上册·第5章《一次函数》 （满分：100分　建议用时：60分钟） 班级：________　姓名：________　得分：________ 注意事项：1. 本卷考查范围：苏科版2024年审定八年级上册第5章《一次函数》5.4 用一次函数解决问题； 2. 请独立完成，解答过程书写工整、步骤完整；3. 请将解答写在相应题目后的作答区域内。 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．如图1，l₁、l₂ 分别表示甲、乙两家网约车公司收取的费用 y（元）与行驶里程 x（km）的函数图象，两图象交于点 P(6, 30)。下列判断正确的是（　　） 图1 A. 行驶 6 km 时，两家收费相同，均为 30 元 B. 行驶里程不足 6 km 时，甲公司收费较少 C. 两家公司的起步价相同 D. 行驶里程超过 6 km 时，乙公司收费较少 2．一支蜡烛燃烧时，剩余长度 y（cm）与燃烧时间 x（min）满足一次函数关系。点燃时（x＝0）蜡烛长 20 cm，燃烧 25 min 后剩余 5 cm，则 y 与 x 的函数表达式为（　　） A. y＝0.6x＋20 B. y＝−0.6x＋20 C. y＝0.6x−20 D. y＝−5x＋20 3．某超市销售一种商品，进价 60 元/件，售价 90 元/件，每天还需支付房租、水电等固定费用 200 元。设每天售出 x 件，则每天的利润 y（元）与 x 之间的函数表达式为（　　） A. y＝30x−200 B. y＝30x＋200 C. y＝90x−200 D. y＝60x−200 4．某水箱注水，注水时间 x（min）与水位高度 y（cm）的部分对应值如下表，则 y 与 x 之间的函数表达式为（　　） x/min 1 2 3 4 y/cm 14 18 22 26 A. y＝4x＋10 B. y＝10x＋4 C. y＝4x−10 D. y＝14x 5．某市居民用水实行阶梯水价，某户每月用水量 x（m³）与应缴水费 y（元）的函数关系如图2（第一段经过 (0, 0)、(20, 60)，第二段经过 (20, 60)、(30, 105)）。下列说法错误的是（　　） 图2 A. 每月用水不超过 20 m³ 时，水价为 3 元/m³ B. 每月用水超过 20 m³ 的部分，水价为 4.5 元/m³ C. 用水 30 m³ 时，应缴水费 105 元 D. 用水 25 m³ 时，应缴水费 75 元 6．某商店计划购进 A、B 两种商品共 120 件。A 种进价 10 元、售价 14 元，B 种进价 11 元、售价 16 元。要求 A 种商品的件数不少于 B 种商品件数的 2 倍。设购进 A 种商品 a 件，全部售出后总利润为 W 元。下列说法正确的是（　　） A. W 与 a 的函数表达式为 W＝600−a B. a 的取值范围是 0≤a≤80 C. 当 a＝100 时，W＝700 D. B 种商品每件利润为 3 元 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．某市出租车收费标准：起步价 8 元，可乘 3 km；超过 3 km 后每 km 加收 2.2 元。设乘车路程为 x km（x＞3），应付车费 y 元，则 y 与 x 之间的函数表达式为 y＝____。 8．一根弹簧的原长为 10 cm，在弹性限度内，弹簧长度 y（cm）与所挂物体质量 x（kg）满足 y＝10＋2x。当所挂物体质量从 5 kg 增加到 8 kg 时，弹簧长度增加____cm。 9．如图3，l₁、l₂ 分别表示小华、小丽两人从家出发骑自行车去图书馆的路程 y（km）与时间 x（h）的函数图象，l₁ 经过 (0, 0)、(0.8, 12)，l₂ 经过 (0.2, 0)、(0.8, 12)。则小丽骑车的速度为____km/h，她比小华晚出发____h。 图3 10．某文具店以每支 5 元购进一批笔，售价每支 8 元，每天固定支出 30 元。设每天售出 x 支，则每天的利润 y（元）与 x 的函数表达式为 y＝____；当 x＝20 时，当天利润为____元。 11．某市两家供水公司收费如下：甲公司每月收基本费 40 元，另每吨水费 3 元；乙公司不收基本费，每吨水费 5 元。设某户月用水 x 吨，则甲公司费用 y₁＝3x＋40、乙公司费用 y₂＝5x。当 x＝____吨时，两家公司收费相同。 12．某工厂生产某种产品，其成本 y（元）与产量 x（件）满足一次函数关系。产量 100 件时成本为 2600 元，产量 200 件时成本为 4600 元，则产量每增加 1 件，成本增加____元。 三、解答题（第13～18题，共64分） 13．（本题满分8分）某水库水位为 12 m，开闸放水后，水位每小时下降 0.5 m。设放水 x h 后水库水位为 y m。 （1）写出 y 与 x 之间的函数表达式，并求自变量 x 的取值范围；（4分） （2）放水 10 h 后，水库水位是多少？（2分） （3）当水库水位降到 4 m 时，已放水多长时间？（2分） 14．（本题满分10分）某工厂生产一种零件：每天固定成本（厂房、设备折旧）8000 元，每个零件的原料及加工成本 15 元，售价 25 元/个。 （1）写出每天利润 y（元）与产量 x（个）之间的函数表达式；（3分） （2）要使当天不亏损，每天至少生产多少个零件？（3分） （3）若某天生产 1200 个零件并全部售出，当天利润是多少？（2分） （4）若要使当天利润为 5000 元，需生产多少个零件？（2分） 15．（本题满分12分）A、B 两地相距 120 km，甲车从 A 地出发开往 B 地，乙车从 B 地出发开往 A 地，两车同时出发，匀速行驶。图4 是两车距 A 地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）的函数图象（甲车图象经过 (0, 0)、(2, 120)，乙车图象经过 (0, 120)、(3, 120)）。 图4 （1）求甲、乙两车行驶的速度；（4分） （2）求两车相遇时距 A 地的距离；（4分） （3）出发后多少小时，两车相距 20 km？（4分） 16．（本题满分10分）某市居民用电实行阶梯电价：每月用电量 x（度）与电费 y（元）的函数关系如图5（第一段经过 (0, 0)、(180, 90)，第二段经过 (180, 90)、(300, 198)）。 图5 （1）求每月用电不超过 180 度时，y 与 x 的函数表达式；（3分） （2）求每月用电超过 180 度时，y 与 x 的函数表达式；（4分） （3）小明家 7 月用电 260 度，应缴电费多少元？（3分） 17．（本题满分12分）某商店购进 A、B 两种笔记本共 200 本。A 种进价 8 元、售价 12 元，B 种进价 10 元、售价 15 元。要求 A 种笔记本的进货量不少于 B 种的 2 倍。设购进 A 种笔记本 a 本。 （1）写出全部售出后总利润 W（元）与 a 之间的函数表达式，并求 a 的取值范围；（5分） （2）应怎样进货才能使总利润最大？最大利润是多少？（4分） （3）若要使总利润不低于 850 元，a 应满足什么条件？（3分） 18．（本题满分12分）A、B 两港相距 240 km，货轮甲从 A 港出发驶向 B 港，货轮乙从 B 港出发驶向 A 港，两船同时出发、匀速航行。图6 是两船距 A 港的距离 y（km）与航行时间 x（h）的函数图象（甲船去程图象经过 (0, 0)、(6, 240)，乙船图象经过 (0, 240)、(4, 0)）。 图6 （1）A、B 两港相距多少 km？甲船去程的速度是多少？（4分） （2）求两船第一次相遇时距 A 港的距离；（4分） （3）甲船到达 B 港后立即以 60 km/h 的速度返回 A 港，求甲船返程过程中 y 与 x 的函数表达式及自变量取值范围，并求甲船返程途中距 A 港 120 km 的时刻。（4分） 参考答案与解析 说明：以下答案与解析由命题教师独立编制，供阅卷与讲评使用；解答题按步骤给分，评分建议可根据实际学情适当调整。 一、选择题 1．答案：A 解析：图象交点 P(6, 30) 表示行驶 6 km 时两家收费相同，均为 30 元，A 正确。由图象：里程不足 6 km 时乙公司的图象在下方，乙收费较少，B 错；两图象与 y 轴交点分别为 (0, 18) 与 (0, 6)，起步价分别为 18 元和 6 元，C 错；超过 6 km 时甲公司的图象在下方，甲收费较少，D 错。故选 A。 考点：一次函数图象交点与大小比较。 2．答案：B 解析：设 y＝kx＋b。图象经过 (0, 20)、(25, 5)，得 b＝20，k＝(5−20)÷25＝−0.6，故 y＝−0.6x＋20。故选 B。 考点：待定系数法求一次函数表达式。 3．答案：A 解析：每天的利润＝总收入−总成本＝90x−(60x＋200)＝30x−200。故选 A。 考点：建立一次函数模型（利润问题）。 4．答案：A 解析：观察表格：x 每增加 1 min，y 增加 4 cm，设 y＝4x＋b；将 (1, 14) 代入得 14＝4＋b，b＝10，故 y＝4x＋10。检验其余各点均满足。故选 A。 考点：由表格数据确定一次函数表达式。 5．答案：D 解析：第一段斜率 60÷20＝3，即不超过 20 m³ 时水价为 3 元/m³，A 对；第二段斜率 (105−60)÷(30−20)＝4.5，B 对；当 x＝30 时，y＝4.5×30−30＝105，C 对；当 x＝25 时，y＝4.5×25−30＝82.5（元），不是 75 元，D 错。故选 D。 考点：分段函数图象的读取与应用。 6．答案：A 解析：A 种每件利润 14−10＝4 元，B 种每件利润 16−11＝5 元，故 W＝4a＋5(120−a)＝600−a，A 对。由 a≥2(120−a) 得 a≥80，B 错；当 a＝100 时 W＝600−100＝500，C 错；B 种每件利润为 5 元，D 错。故选 A。 考点：一次函数模型与自变量取值范围。 二、填空题 7．答案：2.2x＋1.4 解析：超过 3 km 的路程为 x−3（km），超出部分收费 2.2(x−3) 元，故 y＝8＋2.2(x−3)＝2.2x＋1.4。 考点：分段计费模型的建立。 8．答案：6 解析：质量每增加 1 kg，弹簧长度增加 2 cm；质量从 5 kg 增加到 8 kg，增加了 3 kg，弹簧长度增加 2×3＝6（cm）。 考点：一次函数斜率（变化率）的实际意义。 9．答案：20；0.2 解析：小丽（l₂）从 x＝0.2 出发，到 x＝0.8 时走了 12 km，用时 0.8−0.2＝0.6 h，速度为 12÷0.6＝20（km/h）；由图象，l₂ 起点横坐标为 0.2，即小丽比小华晚出发0.2 h。 考点：从函数图象读取速度与出发时间。 10．答案：3x−30；30 解析：每支笔利润 8−5＝3 元，故 y＝3x−30；当 x＝20 时，y＝3×20−30＝30（元）。 考点：利润模型的建立与求值。 11．答案：20 解析：令 y₁＝y₂，即 3x＋40＝5x，解得 x＝20。即月用水 20 吨时两家收费相同。 考点：两个一次函数模型的交点意义。 12．答案：20 解析：设 y＝kx＋b，将 (100, 2600)、(200, 4600) 代入，得 k＝(4600−2600)÷(200−100)＝20。故产量每增加 1 件，成本增加 20 元。 考点：由两点确定一次函数的变化率。 三、解答题 13．答案：（1）y＝12−0.5x，0≤x≤24；（2）7 m；（3）16 h 解析：（1）放水 x h 水位下降 0.5x m，故 y＝12−0.5x。水位不低于 0，即 12−0.5x≥0，解得 x≤24，故 0≤x≤24。（2）当 x＝10 时，y＝12−0.5×10＝7（m）。（3）令 12−0.5x＝4，解得 x＝16（h）。 考点：建立一次函数模型解决水位问题。 评分建议：（1）4 分：表达式 2 分、取值范围 2 分；（2）2 分；（3）2 分。 14．答案：（1）y＝10x−8000；（2）至少 800 个；（3）4000 元；（4）1300 个 解析：（1）总收入 25x 元，总成本 15x＋8000 元，故 y＝25x−(15x＋8000)＝10x−8000。（2）不亏损即 y≥0，10x−8000≥0，x≥800，故每天至少生产 800 个零件。（3）当 x＝1200 时，y＝10×1200−8000＝4000（元）。（4）令 10x−8000＝5000，解得 x＝1300，需生产 1300 个零件。 考点：利润模型的建立、最值与求值。 评分建议：（1）3 分；（2）3 分：列式 1 分、解 1 分、结论 1 分；（3）2 分；（4）2 分。 15．答案：（1）甲 60 km/h、乙 40 km/h；（2）72 km；（3）1 h 或 1.4 h 解析：（1）甲车 2 h 行 120 km，速度 120÷2＝60（km/h）；乙车从 (0, 120) 到 (3, 0)，3 h 行 120 km，速度 120÷3＝40（km/h）。（2）甲车距 A 地距离 y＝60x，乙车距 A 地距离 y＝120−40x。相遇时 60x＝120−40x，解得 x＝1.2（h），此时距 A 地 60×1.2＝72（km）。（3）两车相距 20 km，即 |60x−(120−40x)|＝20，|100x−120|＝20，得 100x−120＝20 或 100x−120＝−20，解得 x＝1.4 或 x＝1（h）。 考点：行程问题中的一次函数图象与方程。 评分建议：（1）4 分：甲 2 分、乙 2 分；（2）4 分：列方程 2 分、结果 2 分；（3）4 分：列绝对值式 2 分、两解各 1 分。 16．答案：（1）y＝0.5x；（2）y＝0.9x−72；（3）162 元 解析：（1）不超过 180 度时图象过原点，斜率 90÷180＝0.5，故 y＝0.5x。（2）设 y＝kx＋b，图象经过 (180, 90)、(300, 198)，得 k＝(198−90)÷(300−180)＝0.9，b＝90−0.9×180＝−72，故 y＝0.9x−72。（3）当 x＝260 时，y＝0.9×260−72＝162（元）。 考点：分段函数的表达式与求值。 评分建议：（1）3 分；（2）4 分：设式 1 分、代点 1 分、解 1 分、结果 1 分；（3）3 分。 17．答案：（1）W＝1000−a，134≤a≤200 且 a 为整数；（2）购进 A 种 134 本、B 种 66 本，最大利润 866 元；（3）134≤a≤150 解析：（1）A 种每本利润 12−8＝4 元，B 种每本利润 15−10＝5 元，故 W＝4a＋5(200−a)＝1000−a。由 a≥2(200−a) 得 3a≥400，a≥133.3，又 a 为整数且不超过 200，故 134≤a≤200。（2）W＝1000−a 中，−1＜0，W 随 a 的增大而减小，故 a 取最小值 134 时 W 最大，W＝1000−134＝866（元），此时 B 种购进 200−134＝66（本）。（3）令 1000−a≥850，得 a≤150；结合（1），a 应满足 134≤a≤150。 考点：利润最值与方案选择（一次函数增减性）。 评分建议：（1）5 分：表达式 2 分、取值范围 3 分；（2）4 分：增减性 1 分、取 a 值 1 分、结果 2 分；（3）3 分。 18．答案：（1）240 km，40 km/h；（2）96 km；（3）y＝600−60x（6≤x≤10），8 h 解析：（1）由图象，乙船出发时距 A 港 240 km，即 A、B 两港相距 240 km。甲船去程 6 h行 240 km，速度 240÷6＝40（km/h）。（2）甲船距 A 港 y＝40x，乙船距 A 港 y＝240−60x（乙船速度 240÷4＝60 km/h）。第一次相遇时 40x＝240−60x，解得 x＝2.4（h），距 A 港 40×2.4＝96（km）。（3）甲船返程从 x＝6 开始，速度 60 km/h，返程 4 h 后于 x＝10 时回到 A 港，故 y＝240−60(x−6)＝600−60x（6≤x≤10）。令 600−60x＝120，解得 x＝8（h），即甲船返程途中距 A 港 120 km 的时刻为出发后 8 h。 考点：图象综合：往返行程、相遇与表达式。 评分建议：（1）4 分：距离 2 分、速度 2 分；（2）4 分：列方程 2 分、结果 2 分；（3）4 分：表达式及取值范围 2 分、求时刻 2 分。 附：命题细目表 题号 题型 分值 考查内容 能力要求 难度 对应知识 1 选择题 3 图象交点与费用比较 理解 基础 5.4图象应用 2 选择题 3 待定系数求表达式 运用 基础 5.4建模 3 选择题 3 利润模型（收入−成本） 运用 基础 5.4建模 4 选择题 3 表格数据求表达式 运用 基础 5.4建模 5 选择题 3 分段图象读取与计算 运用 中档 5.4图象应用 6 选择题 3 利润模型与取值范围 运用 中档 5.4建模 7 填空题 3 分段计费模型的建立 运用 基础 5.4建模 8 填空题 3 斜率（变化率）的实际意义 理解 基础 5.4图象应用 9 填空题 3 从图象读取速度与出发时间 运用 中档 5.4图象应用 10 填空题 3 利润模型的建立与求值 运用 基础 5.4建模 11 填空题 3 两个模型交点意义 运用 基础 5.4建模 12 填空题 3 由两点确定变化率 运用 中档 5.4建模 13 解答题 8 水位模型：表达式、取值与求值 综合 基础 5.4综合 14 解答题 10 利润模型：最值与求值 综合 基础 5.4综合 15 解答题 12 行程图象：速度、相遇、相距 综合 中档 5.4图象应用 16 解答题 10 分段函数表达式与求值 综合 中档 5.4图象应用 17 解答题 12 利润最值与进货方案 综合 中档 5.4综合 18 解答题 12 往返行程综合（图象＋建模） 综合 提高 5.4综合 难度配比说明（按分值计）：基础题10题共42分，中档题7题共46分，提高题1题共12分，合计100分。知识覆盖说明：本卷紧扣苏科版（2024年审定）八年级上册第5章《一次函数》5.4用一次函数解决问题，覆盖建立一次函数模型解决实际问题的完整步骤（设变量、建表达式、定自变量取值范围、解答、作答），以及根据一次函数图象解决实际问题（交点意义、关键点坐标的实际意义、速度与变化率、分段图象、方案比较）；5.5节一次函数与二元一次方程不纳入本卷。 学科网（北京）股份有限公司 $