1.5全称量词与存在量词同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章　1.5　全称量词与存在量词 1.下列命题不是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 2．下列命题中为真命题的是(　　) A．∃x∈R，使得x2＋1<0 B．∃x∈N*，使得4x<3 C．∀x∈R，|x|≥0 D．∀x∈R，x2∈Q 3．若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是________. 4．已知集合A＝{x|－3≤x≤10}，B＝{x|2m＋1≤x≤3m－2}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围． 5.以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 6．若命题“对于任意1≤x≤2，ax＋1＞0”是真命题，则a的取值范围是　　. 7．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为______________________． 13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2， 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2， …… 8． (挑战创新题)已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m.若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围． 9.命题“∃x>0，x2－2x－1<0”的否定是(　　) A．∀x≤0，x2－2x－1≥0 B．∀x>0，x2－2x－1≥0 C．∃x≤0，x2－2x－1<0 D．∃x>0，x2－2x－1≥0 10．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B．p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，p的否定是假命题 D．p是假命题，p的否定是真命题 11．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为______________. 12．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0. (1)命题p的否定为____________________； (2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________. (1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0　(2){a|a≤1} 13.(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 14．17世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”．经历300多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为(　　) A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解 B．对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 D．存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 15．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，若命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，则实数a的取值范围为________. 16．(挑战创新题)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x；命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x.若命题p为真命题，q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 1. C　解析：A，B，D中都有存在量词，是存在量词命题，C中含有量词“任意”，为全称量词命题． 2． C　解析：对于A，因为∀x∈R，x2＋1>0，故选项A错误； 对于B，当x∈N*时，4x≥4，故选项B错误； 对于C，∀x∈R，|x|≥0，故选项C正确； 对于D，因为有的无理数的平方仍是无理数，如：π2，故选项D错误．故选C. 3．{m|m＞1}　解析：命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＝4－4m＜0，即m＞1. 4． 解：(1)由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A. 又B≠∅，所以 解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4} . (2)因为B≠∅，所以2m＋1≤3m－2，得m≥3. 因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅， 所以－3≤2m＋1≤10，或－3≤3m－2≤10，得－2≤m≤. 综上，实数m的取值范围是 . 5. B　解析：A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中，x＝0时，x2＝0，所以选项B中既是存在量词命题又是真命题；C中，因为＋(－)＝0，所以选项C是假命题；D中，对于任一个负数x，都有<0，所以选项D是假命题． 6． 7． ∀n∈N*且n≥2,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2　解析：根据已知等式可得，对于任意n∈N*且n≥2，总有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 所以得到如下全称量词命题：∀n∈N*且n≥2， 13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2. 8．． 解：因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}， 所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}． 又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2， 即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，所以m≥－4，即实数m的取值范围是{m|m≥－4}． 9. B　解析：根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x>0，x2－2x－1<0”的否定是“∀x>0，x2－2x－1≥0”．故选B. 10． AC　解析：因为命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．且p为真命题，则p的否定是假命题． 11．∀n∈N，n2≤2n　解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”． 12． (1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0　(2){a|a≤1} 解析：(1)命题“∃x∈R，x2＋2x＋a＝0”是存在量词命题，其否定为“∀x∈R，x2＋2x＋a≠0”． (2)因为∃x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，所以Δ＝4－4a≥0.所以a≤1. 13. B　解析：对于命题p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B. 14． D　解析：命题为全称量词命题，则命题的否定为：存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解． 15．{a|a<3} 　解析：若命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，则其否定“∀m∈R，A∩B＝∅”为真命题． 当a<0时，集合A＝{x|0≤x≤a}＝∅，符合A∩B＝∅； 当a≥0时，因为m2＋3>0，所以由∀m∈R，A∩B＝∅，得a<m2＋3对于∀m∈R恒成立， 所以a<(m2＋3)min＝3，所以0≤a<3. 综上，实数a的取值范围为{a|a<3}． 16．解：由题意知命题p，q都是真命题． 由∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x成立， 只需m≥xmax，即m≥3. 由∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立， 只需m≥xmin，即m≥1. 因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $