2.3.3 点到直线的距离公式课后同步作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式课后同步作业 （限时：45分钟） 1．点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接利用点到直线的距离公式，将点和直线的系数代入计算即可． 【详解】点到直线的距离为 2．若点到直线的距离是，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】点到直线的距离， 解得或. 3．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程. 【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等， 所以， 解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 4．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 5．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用反射的性质，找到对称的点，将周长进行转化，求解即可。 【详解】设，，，则重心即， 设， 光线反射路径可展开为直线：关于：的对称点；关于：的对称点， 展开后，，，共线，且光线经过重心，因此，，三点共线， 即，，由共线得，解得或. 因为异于端点，所以，即. 则周长. 6．光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 7．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 8．（多选）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后根据充分不必要定义判断A，根据直线垂直列方程求解，然后根据充要条件判断B，将直线变形即可求得定点判断C，由到所过定点距离为最大距离，即可判断D. 【详解】因为直线，所以，解得或，经检验都成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误. 因为直线，所以，解得， 所以“”的充要条件是“”，故B正确. 因为，即，所以过定点，故C正确. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 故选：BCD 9．（多选）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析题意设直线为，再利用两点到直线的距离相等列式计算求得参数，即得结果. 【详解】设所求直线的方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 即所求直线方程为或， 故选：AC． 10．（多选）已知底面半径为的圆锥的顶点为．底面圆心为，．点为（不含端点）上的动点，若光线从点出发，依次经过圆锥的侧面与底面反射后重新回到点，则光线经过路径长度的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出圆锥的轴截面并适当建立平面直角坐标系，根据点关于直线对称，求解即可. 【详解】    如图作出圆锥的轴截面并建立如图所示平面直角坐标系， 设关于直线的对称点为，关于的对称点为， 连接交于点，交于点，连接，， 则， 由已知得，， 设，则， 所以直线的方程为，即， 设，则， 解得，， 即， 所以， 又，则， 故选：AC. 11．若直线l过点且到点和点的距离相等，则直线l的方程为________. 【答案】或 【分析】根据直线的点斜式方程的概念，以及点到直线的距离公式，根据点到直线距离相等，列出方程，求出结果，再讨论斜率不存在时的情况是否符合条件，求出结果即可. 【详解】当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即. 由题意知，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离都为3，也符合题意. 故答案为：或. 12．已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，，的等量关系，由两点间距离公式可知为原点到距离的平方.结合题意，点在直线上，即可由点到直线距离公式求得的最小值. 【详解】，，为某一直角三角形的三边长，为斜边 则 点在直线：上， 表示原点到的距离平方， 当取最小值时，即为原点到直线：的距离平方最小 则由点到直线距离公式可得 所以的最小值为9 故答案为：. 【点睛】本题考查了两点间距离公式的意义及应用，点到直线距离公式的应用，属于中档题. 13．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 【答案】5 【分析】根号内配方，转化为两点距离公式，利用对称求最短距离. 【详解】，， 则 表示为x轴上动点到点，点的距离之和， 不等式对任意实数恒成立，即， 最大值就是这个距离和的最小值， 作关于轴的对称点， ，所以， 根据两点之间线段最短，最小值就是线段的长度， ， 则最小值为，要使不等式恒成立， 则，所以的最大值是. 14．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程． (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定点坐标，然后通过两点，的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程； （3）求解直线的方程，由点到直线的距离求解点到直线的距离，求解的长度，再由即可求解. 【详解】（1）因为为边的中点，所以，所以直线的方程为，即. （2）直线的斜率，且不在直线上， 故求经过点且与直线平行的直线方程为，即. （3）由（2）可得知，，则直线的方程为， 即：，则点到直线的距离为， 的长度为，则. 15．已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 【答案】(1) (2)① 斜率为或；② 光线路程：； 【分析】（1）先整理直线方程，分离参数，分成含参数和不含参数两部分；再根据直线恒过定点的特点，令两部分同时等于零，联立得到二元一次方程组；最后解方程组，求出定点的坐标； （2）①先利用定点写出直线的点斜式并化为一般式，再将原点到直线的距离代入点到直线距离公式建立方程，接着平方化简得到关于斜率的一元二次方程，解方程得到两个斜率，留待下一问根据倾斜角条件筛选；②求光线路程，先根据倾斜角条件筛选符合要求的斜率，再利用反射性质，将路程转化为两个对称点之间的距离，用两点间距离公式计算即可. 【详解】（1）整理直线方程得：， 则：， ∵直线恒过定点，与无关，∴， ∴两式相加得，即，代入得：，. （2）① ∵直线过，设 ，则：， ∴原点到直线距离公式：，化简得， ∴， ∴，即：，解得或 . ②当时，倾斜角，符合条件； 当时，倾斜角，舍去，故直线的方程为， 设关于直线的对称点为， 则：， 解得 ，即， 点关于轴的对称点为， 设直线分别交直线、轴于点、，由对称性可得，， 所以该光线经过的路程长度为. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 点到直线的距离公式课后同步作业 （限时：45分钟） 1．点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若点到直线的距离是，则实数的值为（     ） A． B．或 C． D．或 3．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 6．光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 7．一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 8．（多选）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 9．（多选）已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知底面半径为的圆锥的顶点为．底面圆心为，．点为（不含端点）上的动点，若光线从点出发，依次经过圆锥的侧面与底面反射后重新回到点，则光线经过路径长度的可能取值为（    ） A． B． C． D． 11．若直线l过点且到点和点的距离相等，则直线l的方程为________. 12．已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 13．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．对于任意，不等式恒成立，则最大值为__________． 14．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点． (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程． (3)求的面积． 15．已知直线恒过点． (1)求点的坐标． (2)已知坐标原点到的距离为． ①求的斜率； ②若的倾斜角小于，一条光线从点射出，经反射后，射到轴上，再经轴反射后，最后回到点，求该光线经过的路程长度． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $