江苏省苏州中学校伟长班2026-2027学年九年级上学期数学10月学情测

2026—2027学年苏州中学伟长班初三数学10月月考数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．在下列关系式中，是的二次函数的关系式是（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，若点，是图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 3．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 4．已知为锐角，且，则（ ） A． B． C． D． 5．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的正切值是（ ） A． B． C． D． 6．已知为锐角，下列等式一定不成立的是（ ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，则代数式有（ ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，没有最小值 C．没有最大值，最小值为 D．以上说法都不对 8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9．抛物线的顶点坐标为________． 10．已知是锐角，且，则角的大小为________． 11．在中，，，，则________． 12．已知二次函数的最小值为，图象的顶点在直线上，并且图象经过点，则此二次函数的解析式是________． 13．如图，长的楼梯的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后楼梯长为________米． 14．如图，在等腰中，，，垂足为，且．点、是的三等分点，则________． 15．如图，在中，，分别为斜边上的高和中线，，，若，则________． 16．已知两点、均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是________． 17．先将抛物线所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得到的抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，则原抛物线为________． 18．下列关于的四个说法： （1）若是等腰三角形，则； （2）若是锐角三角形，则； （3）若，则是直角三角形； （4）若是直角三角形，，则，其中说法正确的是序号是________（选填序号）． 三．解答题：本大题共7小题，共54分． 19．计算题： （1）计算：； （2）已知、是锐角，请化简：． 20．在中，，，． （1）求边的长； （2）求的值． 21．已知抛物线与轴交于，，与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）当，判断的形状，并说明理由； （3）若为等腰三角形，求实数的值． 22．已知关于的方程的两根为和，为锐角．求 （1）的值； （2）的值； （3）方程的两根及此时的的值； 23．已知：抛物线与轴交于、两点，是抛物线的顶点． （1）点的坐标_________（用含的代数式表示）； （2），求该抛物线的解析式； （3）若为等边三角形，则的值为_________． 24．如图，在中，是上的高，． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若，求的值． 25．和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． （1）若，，，求的面积； （2）设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； （3）如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年苏州中学伟长班初三数学10月月考数学试卷 一.选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 8.D 二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9.（-3,4) 10.30° 11.2 2-旷2 13.2V6 √2 14.2 -1+V5 15.2 16.6s、1 2 12」 1 =4+2 y 17. 18.(2),(3),(4) 三.解答题：本大题共7小题，共54分 、飘尊兽P矿- (2)原式=sin2a(1-sin2P)+sin2B+cos'acos2B sin2a cos2B+sin2B+cos2a cos2B =cos2B(sin2a+cos2a)+sin2B =cos2Bx1+sin2B cos2 B+sin2 B =1 20.解：(1)如图所示，过点C作CH上AB,垂足为H G C A H B 'tanB=CH1 BH 3.BC=10 ∴CH=1,BH=3 tan<CAB=CH、1 AH 3 :.AH=3 .AB=AH+BH=3+3 (2)如图所示，过点B作BG⊥AC,垂足为G sin∠A= BGBG 1 AB3+3 2 BG=3+3 2 :∠GCB=180°-∠C, 3+3 sin(1&0°-∠C)=sin∠GcB=GB_ 2 V30+310 20 21.解：(1)当x=0时， =0-0-日-3，数点C的0-， a= (2)当3，抛物线 -j(*+)-9) 则点A、B、C的坐标为-L,0),(9,0).(0,-3) 此时AB=10,AC=V10,CB=3V10 AC2+BC2=AB2, .△ABC为直角三角形， 3由ga41o0,.8&.ca- -1+3=0 ①AB=BC,此时a, 解得a=3 2+l=P+3=o ②AC=AB,此时a 2= ，解得 3, 3 13 +1=/32+ 3 3 ③AB=BC,此时aT 解得 3 V10+1-10+1 则a的值为3,4， 3 3 tan0.sin0 cos tan0.sin -cos 22.解：(1) tan-1 1-tan0 tan0-1 tan0-1 sinθ .sin0-cos0 cos0 sin20-cos20 (sin0+cose)(sine-cos0) sin0-cosθ sin0-cosθ sin0-cos0 cosθ =sin0+cos0=_b -(5+3+1 2 sin0.cose=cm (2) a 2 22-5小x+9-=0 =0 1 ，解得 2 sin=1 ① cos0= 2 2时，0=30° sino= ② 2,c0s01 时，0=60° 23.解：y=-(（2m+4)x+m2-10=[x-(m+2]-4m-14 ·顶点C的坐标为(m+2,-4m-14) (2)由(1)知，对称轴与x轴交于点D(m+2,0)】 :抛物线的对称性及AB=2V2, AD=DB=-xp=2 ?点4(，0)在抛物线'=(c-h+k上， .0=(x4-h)2+k :h==0,将c,-al=V2代入上式， 得到关手m的方程0=(+(4m-1④，解得m=-3, 当m=-3时，抛物线y=x+2x-1与x轴有交点，且AB=2V2,符合题意. 所求抛物线的解析式为y=r+2x-1 (3)△ABC是等边三角形， 由a)知CD=4m-l4=4m+14(-4m-14<0) 40=085D-54m+14n-14<0) :点A(x,0)在抛物线上， 0=(x4-h)+k :h=xc=xn,将 1（4m+14) 4-l= 入L式府0-(n14-m-14 .-4m-14<0, 号4m+140-1=0 m=-11 ，解得4， 4时，抛物线 y=x2+339 当 2-16与x轴有交点，且符合题意. 11 =- 故 4 24.(1)证明：AD是BC上的高， A B D .AD⊥BC, ∴.∠ADB=90°，∠ADC=90° 在△ABD和△ADC中， tan B=AD BD cos∠DAC=AD AC, 又'tanB=cos∠DAC ADAD BD AC, ∴.AC=BD」 (2)解：在△ADC中， sinC=12 13,故可设AD=12k,AC=13k, ∴.CD=VAC2-AD2=5k :BC=BD+CD,又AC=BD ∴.BC=13k+5k=18k 由已知BC=12, .18k=12, 2 ∴.k=2 3， :4AD=12k=12x2=8 3 (3)BD=AC=a,CD=b,AB=c .AB2-BD2=AC2-CD2, .c2-a2=a2-b2 AB⊥AC :.AB2+AC2=BC2, 则c2+a=(a+b, .2a2=2b2+2ab→a2=b2+ab→1= -e b-5-1 解得a2, ∴cosC=CD=b5-1 ACa2」 Sc-absin Cxx 424 25.解：(1) 2 55 (2)如图所示，过点A作AD1BC,垂足为D,不妨设∠BAD=a,∠DAC=B A D C (备用图) S△ABc=S△MBD+S△MCD 4B.AC.sin∠BAC=AB.ADxsin∠BAD+AC.AD-sin∠DAC 1 1 →21 2 号84Csn(e+)-方48A0x通a+兮4CA0snB 两边同时除以2 得 Ac·sina+AD 4B-AC sin(a+B)= sin B AB :AD⊥BC, AD .'.cos a= AB. COsB=AD C, .'.sin(a+B)=cos B.sin a+sin B.cosa (3)过点A作AH⊥CD A B D (图②) ·∠ABC=∠BAH=45°， tan∠BAD= 3 tan DAH DH 1 AH2, AD2=4HDU2DH==22 5√5 ,AH=4V2, 5am-方4h-CD-x45x45=16 2