江苏省苏州市苏州中学校2024-2025学年九年级上学期10月能力测评数学试卷

2024秋季初三数学 10月能力测评卷 一. 择题 (共 8小题) 1.下 y关于 x的函数中, 于二次函数的 ( ) A. y= 2x2- x B. y= 2x+ 1 C. y= 1x D. y= 3 4 x 2.对于二次函数 y=-2(x+ 3)2的图 ,下 说法不正 的 ( ) A. 口 下 B. 对称轴 直线 x=-3 C. 顶点 为 (-3,0) D. x<-3 时,y x的 大 减 3.已知抛物线 y= ax2- 2ax+ b(a> 0)的图 上三个点的 为A(3,y1),B(2,y2),C(-2,y3), y1, y2,y3的大 关系为 ( ) A. y3< y1< y2 B. y2< y1< y3 C. y1< y3< y2 D. y1< y2< y3 4.杭州亚运 祥物深受大家喜爱.某商户 3月份销售 祥物“宸宸”摆件为 10万个,5月份销售 11.5万 个.设该摆件销售 的月 长率为 x(x> 0), 可 方 为 ( ) A. 10(1+ x)2= 11.5 B. 10(1+ 2x) = 11.5 C. 10x2= 11.5 D. 11.5(1- x)2= 10 5.已知一次函数 y= ax+ b(a≠ 0)的图 经过 一、二、四 , 二次函数 y= ax2- bx(a≠ 0)的图 大 致为 ( ) A. B. C. D. 6.如图所示的 二次函数 y= ax2+ bx+ c的部 图 ,由图 可知不 ax2+ bx+ c< 0的解 ( ) A. - 1< x< 5 B. x> 5 C. x<-1且 x> 5 D. x<-1或 x> 5 7.已知二次函数 y= ax2+ bx+ c的变 x,y的部 对 如表: x ⋯ -3 -2 -1 0 1 ⋯ y ⋯ -11 -5 -1 1 1 ⋯ 表中信息,可 一元二次方 ax2+ bx+ c= 0的一个近 解 x1的 围 ( ) A. - 3< x1<-2 B. - 2< x1<-1 C. - 1< x1< 0 D. 0< x1< 1 1 8.若一个点的 满足 (k,2k),我们 这 的点定义为“ 点”.若关于 x的二次函数 y= (t+ 1)x2+ (t + 2)x+ s(s,t为 数,t≠-1)总有两个不 的 点, s的取 围 ( ) A. s<-1 B. s< 0 C. 0< s< 1 D. - 1< s< 0 二. 空题 (共 8小题) 9.关于 x的方 x2+mx+ 6= 0的一个 为-2, 另一个 . 10.若抛物线 y= x2- 2x+ ax+ 2的对称轴 y轴, a的 . 11.二次函数 y= ax2+ c的图 与 y= 3x2的图 状相 , 口方 相反,且经过点 (1,1), 该二次函数的 解析 为 . 12. 抛物线C1:y= x2- 2x+ 3 右 移 1个单 长 , 抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对 称, 抛物线C3的解析 为 . 13.要建一个 喷 , 中 竖直安装一 , 的顶端安一个喷 头, 喷出的抛物线 柱 与 中 的 距离为 1m处达 最高,高 为 3米, 柱落 处离 中 3米, 长 为 米. 14.抛物线 y= 49 (x- 3) 2与 x轴的交点为A,与 y轴的交点为B, AOB的面积为 . 15.若实数 a,b满足 a+ b2= 2b+ 1, 代数 a2- 4a+ 2b2- 4b- 4的最 为 . 16.已知抛物线 y= x2- 2mx(-1≤m≤ 2)经过点A(p,t) 点B(p+ 2,t), t的最 . 三.解答题 (共 11小题) 17.解方 : (1)x2- 3x- 4= 0; (2)3x(x- 1) = x- 1. 18.关于 x的方 x2- (m+ 4)x+ 3m+ 3= 0. (1) 证:不论m取 ,方 总有两个实数 ; (2)若该方 有两个实数 x1,x2,且 (x1+ 1) (x2+ 1) = 3, m的 . 2 19.某超 于今 以每件 25元的进价购进一批商 . 商 售价为 40元时,一月份销售 256件.二、 三月该商 十 畅销.销售 续走高. 售价不变的基 上,三月 的销售 达 400件.设二、三 这两个月的月 长率不变. (1) 二、三这两个月的月 长率; (2)从四月份起,商 决定 用 价 销的方 回馈顾客,经 查发现,该商 每 价 1元,销售 5件, 商 价多 元时,商 4250元? 20.已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的 y与 x的部 对 如表: x ⋯ -3 -1 1 3 ⋯ y ⋯ -3 0 1 0 ⋯ (1) 这个二次函数表达 ; (2) 面直角 系中画出这个函数图 ; (3) x的取 围为 时,y>-3. 21.如图,已知抛物线 y= x2+ bx+ c经过A(-1,0),B(3,0)两点,与 y轴交于点C. (1) 抛物线解析 顶点 ; (2)观察图 : ① 0≤ x< 3时,直 写出 y的取 围; ②点P为抛物线上一点,若S ABP= 24, 出此时P点的 . 3 22.如图, 二次函数 y= x2- 4 于 x轴下方的图 x轴翻折,再 一个新函数的图 (图中的实线). (1) x=-3时,新函数 为 , x= 1时,新函数 为 ; (2) x= 时,新函数有最 ; (3) 新函数中函数 y x的 大 大时,自变 x的 围 ; (4)若关于 x的方 x2-4 = a有且只有两个解, a的取 围 . 23.已知二次函数 y= ax2+ (3- a)x- 3(a≠ 0). (1)若其图 经过点 (-3,0), 此二次函数的表达 ; (2) x< 1时,y x的 大 大, a的取 围 ; (3)点P(x1,y1),Q(x2,y2) 函数图 上两个点,满足 x1+ x2= 2且 x1< x2,试比较 y1 y2的大 关系. 24.一个农 想要 围 的一 围出一 矩 的 , 构成另外三边.农 把 75段 4米长的直 拼 一起来建 ,每段 不可 ,且所有 全部用完.设这个矩 的BC长为 x米,矩 面积为 y 方米. (1) y关于 x的函数表达 ; (2) 虑 围出矩 的每段 不可 , x取 时,所围矩 的面积最大. 4 25. 以下信息, 完成任 . 如 设计种植方案? 材 1 小 以“种植农 物”为主题 自己家 100 方米的 上进行课外实践,现有A、B两种 物的相关信息如下表所示: A 物 B 物 每 方米种植 ( ) 2 10 单 产 (千克) 1.2 0.5 材 2 由于A 物植株间距较大,可 加A 物每 方米的种植株树.经过 研发现,每 方米 种植A 物每 加 1株,A 物的单株产 减少 0.1千克. 材 3 若 时种植A、B两种 物,实行分区域种植. 问题解决 单一种植 (全部种植A 物) 任务 1: 确数 关系 设每 方米 加 x株A 物 (x为正整数), 则每 方米有 株, 单株产 为 千克. (用 x的代数 表示) 任务 2:计算产 要 A 物每 方米产 为 4.8千克,则每 方米 种植多少 株? 分区种植 (种植A、B 两种 物) 任务 3:规划种植方案 设这 100 方米的 中有 a 方米用于种植A 物,且每 方 米产 最大,其 区域 照每 方米 10株种植 B 物,当这 100 方米总产 不 于 496千克时,则 a的取 围 . 5 26. 面直角 系中,设函数 y= ax2+ bx+ 1(a,b 数,a≠ 0). (1)若点 (1,0) (2,1) 该函数的图 上, 函数图 的顶点 ; (2)若点 (2,1) 该函数的图 上,且该函数图 与 x轴有两个不 的交点 A、B(A B的左边),OB= 3OA, a= ; (3)已知 a= b= 1, x=m,n(m,n 实数,m≠ n)时,该函数对 的函数 为M,N.若m+ n= 1, 证:M+N> 72. 6 27.如图, 面直角 系 xOy中,抛物线 y= x2+ bx+ c与 x轴交于A、B两点,与 y轴交于点C,对称轴 为直线 x= 2,点A的 为 (1,0). (1)该抛物线的表达 为 ; (2)点P为抛物线上一点 (不与点A ),连 PC. ∠PCB=∠ACB时, 点P的 ; (3) (2)的条件下, 对称轴上 存 一点Q,连 PQ, 线段PQ绕点Q顺时针旋转 90 , 点P恰好 落 抛物线上?若存 ,请 出点Q的 ;若不存 ,请说 理由. A B C x y O A B C x y O A B C x y O 备用图1 备用图2 7 2024秋季 三数学 10月能 评卷参 与试题解析 一. 择题 (共 8小题) 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B A A D C D 3.已知抛物线 y= ax2- 2ax+ b(a> 0)的图 上三个点的 为A(3,y1),B(2,y2),C(-2,y3), y1, y2,y3的大 关系为 ( B ) A. y3< y1< y2 B. y2< y1< y3 C. y1< y3< y2 D. y1< y2< y3 【解析】解:∵ y= ax2- 2ax+ b(a> 0),∴二次函数的开口向上,对称轴是直线 x=-2a2a = 1, ∴ x> 1时,y随 x的增大而增大, ∵C点关于直线 x= 1的对称点是D(4,y3),∵ 2< 3< 4,∴ y3> y1> y2. 4.杭州亚运 祥物深受大家喜爱.某商户 3月份销售 祥物“宸宸”摆件为 10万个,5月份销售 11.5万 个.设该摆件销售 的月 长率为 x(x> 0), 可 方 为 ( A ) A. 10(1+ x)2= 11.5 B. 10(1+ 2x) = 11.5 C. 10x2= 11.5 D. 11.5(1- x)2= 10 【解析】解:根据题意得:10(1+ x)2= 11.5.故选:A. 5.已知一次函数 y= ax+ b(a≠ 0)的图 经过 一、二、四 , 二次函数 y= ax2- bx(a≠ 0)的图 大 致为 ( A ) A. B. C. D. 【解析】解:∵一次函数 y= ax+ b的图象经过第一、二、四象限,∴ a< 0,b> 0. ∴二次函数 y= ax2- bx的图象,开口向下,与 x轴交于点 (0,0)和 ba,0 . 符合函数性质的图象是A. 6.如图所示的 二次函数 y= ax2+ bx+ c的部 图 ,由图 可知不 ax2+ bx+ c< 0的解 ( D ) A. - 1< x< 5 B. x> 5 C. x<-1且 x> 5 D. x<-1或 x> 5 【解析】解:∵抛物线对称轴为直线 x= 2,且抛物线与 x轴交于 (5,0), ∴抛物线与 x轴另一交点坐标为 (-1,0), ∴不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集是 x<-1或 x> 5. 8 7.已知二次函数 y= ax2+ bx+ c的变 x,y的部 对 如表: x ⋯ -3 -2 -1 0 1 ⋯ y ⋯ -11 -5 -1 1 1 ⋯ 表中信息,可 一元二次方 ax2+ bx+ c= 0的一个近 解 x1的 围 ( C ) A. - 3< x1<-2 B. - 2< x1<-1 C. - 1< x1< 0 D. 0< x1< 1 【解析】解:当 x=-1时,y=-1;当 x= 0时,y= 1, ∴方程的一个近似根 x的范围是-1< x< 0. 8.若一个点的 满足 (k,2k),我们 这 的点定义为“ 点”.若关于 x的二次函数 y= (t+ 1)x2+ (t + 2)x+ s(s,t为 数,t≠-1)总有两个不 的 点, s的取 围 ( D ) A. s<-1 B. s< 0 C. 0< s< 1 D. - 1< s< 0 【解析】解:将 (k,2k)代入二次函数,得 2k= (t+ 1)k2+ (t+ 2)k+ s,整理得 (t+ 1)k2+ tk+ s= 0. ∵ (t+ 1)k2+ tk+ s= 0是关于 k的一元二次方程,总有两个不同的实根, ∴ = t2- 4s(t+ 1)> 0恒成立. (此题的关键并不完全在于 > 0,而是在于这个恒成立.)新的代数式 t2- 4s(t+ 1)的值一定大于 0. 令 y= t2- 4s(t+ 1) = t2- 4st- 4s(设一个新的函数,不再与前面函数有关系) ∵ y> 0,(故联想到函数图像一定在 x轴上方,即与 x轴无交点.) ∴ = (4s)2+ 16s= 16s2+ 16s< 0, (不明所以的同学,可能会晕乎,为什么前面 > 0,这边又 < 0了,注意这是两个问题.) 即 = s(s+ 1)< 0,解得-1< s< 0. 二. 空题 (共 8小题) 9.关于 x的方 x2+mx+ 6= 0的一个 为-2, 另一个 -3 . 【解析】解:∵设方程 x2+ x+m= 0的根为 x1,x2,∴ x1x2= 6, ∵-2是方程 x2+mx+ 6= 0的一个根,∴-2x2= 6,∴ x2=-3, 10.若抛物线 y= x2- 2x+ ax+ 2的对称轴 y轴, a的 2 . 【解析】解:∵抛物线 y= x2- 2x+ ax+ 2的对称轴是 y轴, ∴-2+a2 = 0.∴ a= 2. 11.二次函数 y= ax2+ c的图 与 y= 3x2的图 状相 , 口方 相反,且经过点 (1,1), 该二次函数的 解析 为 y=-3x2+ 4 . 【解析】解:∵二次函数 y= ax2+ c的图象与 y= 3x2的图象形状相同,开口方向相反, ∴ a=-3,∴二次函数是 y=-3x2+ c, ∵二次函数 y= ax2+ c经过点 (1,1),∴ 1=-3+ c,∴ c= 4, ∴抛该二次函数的解析式为 y=-3x2+ 4. 12. 抛物线C1:y= x2- 2x+ 3 右 移 1个单 长 , 抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对 称, 抛物线C3的解析 为 y=- (x- 2)2- 2 .一 :y=-x2+ 4x- 6 【解析】解:依题意,C1:y= x2- 2x+ 3= (x- 1)2+ 2, ∵抛物线C1:y= x2- 2x+ 3向右平移 1个单位长度,得到抛物线C2, ∴C2:y= (x- 1- 1)2+ 2= (x- 2)2+ 2, 此时抛物线C2的顶点坐标为 (2,2),a= 1, 9 ∵抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对称,∴抛物线C3的顶点坐标 (2, -2), ∴开口方向向下,开口大小不变,则抛物线C3的解析式为 y=- (x- 2)2- 2, 13.要建一个 喷 , 中 竖直安装一 , 的顶端安一个喷 头, 喷出的抛物线 柱 与 中 的 距离为 1m处达 最高,高 为 3米, 柱落 处离 中 3米, 长 为 94 米. x y (2,-3)x=-1时 A B C 【解析】解:建立合适的平面直角坐标系,并设抛物线的解析式为 y= ax2, 由题意可知抛物线与地面的一个交点C为 (2, -3), ∴-3= 4a,解得:a=- 34, ∴抛物线的解析式为:y=- 34 x 2, 当 x=-1时,y=- 34. (代表A到 x轴的距离) ∴水管的长度AB是 94m.故答案为: 9 4. 14.抛物线 y= 49 (x- 3) 2与 x轴的交点为A,与 y轴的交点为B, AOB的面积为 6 . 【解析】解:∵抛物线 y= 49 (x- 3) 2与 x轴的交点为A,与 y轴的交点为B, ∴ 0= 49 (x- 3) 2,解得:x= 3, 当 x= 0,y= 4,∴A(3,0),B(0,4),∴ AOB的面积为:12 3 4= 6. 15.若实数 a,b满足 a+ b2= 2b+ 1, 代数 a2- 4a+ 2b2- 4b- 4的最 为 -10 . 【解析】解:∵ a+ b2= 2b+ 1, ∴ (b- 1)2= 2- a, ∴ 2- a≥ 0,即 a≤ 2,(等价变形的重要性) ∴ b2- 2b= 1- a, ∴ a2- 4a+ 2b2- 4b- 4 = a2- 4a+ 2(1- a) - 4 = a2- 4a+ 2- 2a- 4 = a2- 6a- 2 = (a- 3)2- 11,(别激动,最小值可以取到嘛?) ∵ a的最大值为 2, ∴代数式 a2- 4a+ 2b2- 4b- 4的最小值等于-10. 10 16.已知抛物线 y= x2- 2mx(-1≤m≤ 2)经过点A(p,t) 点B(p+ 2,t), t的最 -3 . 【解析】解:∵抛物线 y= x2- 2mx, ∴抛物线的对称轴为直线 x=-2m2 1 =m, ∵抛物线 y= x2- 2mx(-1≤m≤ 2)经过点A(p,t)和点B(p+ 2,t), ∴点A(p,t)和点B(p+ 2,t)关于对称轴对称, ∴ p+p+22 =m,即 p+ 1=m,∴ p=m- 1, ∴ t= (m- 1)2- 2m(m- 1) =-m2+ 1, ∵-1≤m≤ 2,∴m= 2时,t有最小值为:-4+ 1=-3. 三.解答题 (共 11小题) 17.解方 : 解:(1)x2- 3x- 4= 0, (x- 4) (x+ 1) = 0, x- 4= 0或 x+ 1= 0, 解得:x= 4或 x=-1, ∴原方程的根为:x1= 4,x2=-1; (2)3x(x- 1) = x- 1, 3x(x- 1) - (x- 1) = 0, (3x- 1) (x- 1) = 0, 3x- 1= 0或 x- 1= 0, 解得:x= 13 或 x= 1, ∴原方程的根为:x1= 13,x2= 1. 【解析】 18.关于 x的方 x2- (m+ 4)x+ 3m+ 3= 0. (1) 证:不论m取 ,方 总有两个实数 ; (2)若该方 有两个实数 x1,x2,且 (x1+ 1) (x2+ 1) = 3, m的 . 【解析】(1)证明:a= 1,b=- (m+ 4),c= 3m+ 3, ∴ = (m+ 4)2- 4 1 (3m+ 3) = (m- 2)2≥ 0, ∴不论m取何值,方程总有两个实数根; (2)解:(x1+ 1) (x2+ 1) = 3, x1x2+ x1+ x2+ 1= 3, 对于方程 x2- (m+ 4)x+ 3m+ 3= 0, 可得 x1+ x2=m+ 4,x1x2= 3m+ 3, ∴m+ 4+ 3m+ 3+ 1= 3, 解得:m=- 54. 19.某超 于今 以每件 25元的进价购进一批商 . 商 售价为 40元时,一月份销售 256件.二、 三月该商 十 畅销.销售 续走高. 售价不变的基 上,三月 的销售 达 400件.设二、三 这两个月的月 长率不变. (1) 二、三这两个月的月 长率; (2)从四月份起,商 决定 用 价 销的方 回馈顾客,经 查发现,该商 每 价 1元,销售 5件, 商 价多 元时,商 4250元? 【解析】解:(1)设二、三这两个月的月平均增长率为 x,根据题意可得: 256(1+ x)2= 400, 解得:x1= 14,x2=- 9 4 (不合题意舍去). 答:二、三这两个月的月平均增长率为 25%; 11 (2)设当商品降价m元时,商品获利 4250元,根据题意可得: (40- 25-m) (400+ 5m) = 4250, 解得:m1= 5,m2=-70(不合题意舍去). 答:当商品降价 5元时,商场获利 4250元. 20.已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的 y与 x的部 对 如表: x ⋯ -3 -1 1 3 ⋯ y ⋯ -3 0 1 0 ⋯ (1) 这个二次函数表达 ; (2) 面直角 系中画出这个函数图 ; (3) x的取 围为 -3< x< 5 时,y>-3. 【解析】解:(1)设二次函数的表达式为 y= a(x+ 1) (x- 3), 把 (1,1)代入得 1= a 2 (-2), 解得 a=- 14, ∴二次函数的表达式为 y=- 14 (x+ 1) (x- 3), 即 y=- 14 x 2+ 12 x+ 3 4; (2)如图,抛物线的顶点坐标为 (1,1), (3) ∵ y=-3时,x=-3或 x= 5, ∴当-3< x< 5时,y>-3. 故答案为:-3< x< 5. 21.如图,已知抛物线 y= x2+ bx+ c经过A(-1,0),B(3,0)两点,与 y轴交于点C. (1) 抛物线解析 顶点 ; 【解析】解:(1) ∵抛物线 y= x2+ bx+ c经过A(-1,0),B(3,0)两点, ∴ 1-b+c=0 9+3b+c=0 ,解得: b=-2 c=-3 ,∴抛物线的解析式为 y= x 2- 2x- 3, ∵ y= x2- 2x- 3= (x- 1)2- 4,∴顶点坐标为 (1, -4); (2)观察图 : ① 0< x< 3时,直 写出 y的取 围; 【解析】(2)①∵ y= x2- 2x- 3= (x- 1)2- 4, ∴抛物线开口向上,对称轴为直线 x= 1, ∴当 x< 1时,y随着 x的增大而减小,当 x> 1时,y随着 x的增大而增大, ∴当 0< x< 3时,当 x= 1时,y有最小值为-4, 当 x= 3时,y= (3- 1)2- 4= 0,∴当 0< x< 3时,y的取值范围为-4≤ y< 0; ②点P为抛物线上一点,若S ABP= 24, 出此时P点的 . 【解析】②∵A(-1,0),B(3,0),∴AB= 4, ∵S ABP= 24,∴ 1 2 AB ⋅ |yP| = 24,∴ |yP| = 12, ∵抛物线顶点坐标为 (1, -4),∴ yP= 12, 当 yP= 12时,x2- 2x- 3= 12, 解得:x1=-3,x2= 5, ∴P(-3,12)或 (5,12). 12 22.如图, 二次函数 y= x2- 4 于 x轴下方的图 x轴翻折,再 一个新函数的图 (图中的实线). (1) x=-3时,新函数 为 5 , x= 1时,新函数 为 3 ; 【解析】解:(1)把 x=-3代入 y= x2- 4得 y= 9- 4= 5; 把 x= 1代入 y= x2- 4=-3, ∴当 x=-3时,新函数值为 5,当 x= 1时,新函数值为 3, (2) x= -2或 2 时,新函数有最 ; (3) 新函数中函数 y x的 大 大时,自变 x的 围 -2< x< 0或 x> 2; (4)若关于 x的方 x2-4 = a有且只有两个解, a的取 围 a> 4或 a= 0 . 23.已知二次函数 y= ax2+ (3- a)x- 3(a≠ 0). (1)若其图 经过点 (-3,0), 此二次函数的表达 ; (2) x< 1时,y x的 大 大, a的取 围 -3≤ a< 0 ; (3)点P(x1,y1),Q(x2,y2) 函数图 上两个点,满足 x1+ x2= 2且 x1< x2,试比较 y1 y2的大 关系. 【解析】解:(1)将 (-3,0)代入函数解析式得, 9a- 3(3- a) - 3= 0,解得 a= 1, 所以二次函数的表达式为 y= x2+ 2x- 3. (2) ∵当 x< 1时,y随 x的增大而增大, ∴ a< 0, - 3-a2a ≥ 1,解得:-3≤ a< 0. (3)用作差法比较即可. 将点P和点Q坐标代入函数解析式得, y1= ax21+ x1(3- a) - 3,y2= ax22+ x2(3- a) - 3, 两式相减得, y1- y2= a(x21- x22) + (3- a) (x1- x2) = a(x1+ x2) (x1- x2) + (3- a) (x1- x2), 又∵ x1+ x2= 2,所以 y1- y2= (a+ 3) (x1- x2). 又∵ x1< x2, ∴当 a+ 3> 0,即 a>-3时,y1< y2; 当 a+ 3= 0,即 a=-3时,y1= y2; 当 a+ 3< 0,即 a<-3时,y1> y2. 24.一个农 想要 围 的一 围出一 矩 的 , 构成另外三边.农 把 75段 4米长的直 拼 一起来建 ,每段 不可 ,且所有 全部用完.设这个矩 的BC长为 x米,矩 面积为 y 方米. (1) y关于 x的函数表达 ; (2) 虑 围出矩 的每段 不可 , x取 时,所围矩 的面积最大. 13 【解析】解:(1)这个矩形地块的BC长为 x米,则AB长为 75 4-x2 米, 根据题意得:y= x ⋅ 75 4-x2 =- 1 2 x 2+ 150x, ∴ y关于 x的函数表达式为 y=- 12 x 2+ 150x; (2) ∵ y=- 12 x 2+ 150x=- 12 (x- 150) 2+ 11250, ∵- 12 < 0,每段栅栏不可分割,(围栏不可分割是此题的易失分点) ∴当 x= 148或 152时,y有最大值,最大值为 11248, 答:当 x= 148或 152时,所围矩形土地的面积最大为 11248平方米. 25. 以下信息, 完成任 . 如 设计种植方 ? 问题解决 单一种植 (全部种植A 物) 任 1: 数 关系 设每 方米 x A 物 (x为正整数), 每 方米有 (2+ x) , 单 产 为 (1.2- 0.1x) 千克. (用 x的代数 表示) 任 2:计 产 要 A 物每 方米产 为 4.8千克, 每 方米 种植多 ? 任务二:根据题意得:(2+ x) (1.2- 0.1x) = 4.8, 整理得:x2- 10x+ 24= 0, 解得:x1= 4,x2= 6, ∴ x+ 2= 6或 x+ 2= 8, 答:每平方米应种植 6株或 8株; 区种植 (种植A、B 两种 物) 任 3:规 种植 方 设这 100 方米的 中有 a 方米用于种植A 物,且每 方米 产 最大,其 区域 照每 方米 10 种植 B 物, 这 100 方 米总产 不 于 496千克时, a的取 围 a≤ 40 . 根据函数的性质求出种植A作物每平米的最高产量 任务三: 设种植A作物每平方米的产量为 y千克, 根据题意得: y= (2+ x) (1.2- 0.1x) =-0.1x2+ x+ 2.4=-0.1(x- 5)2+ 4.9, ∵-0.1< 0, ∴当 x= 5时,y有最大值,最大值为 4.9, ∴种植A作物每平方米最大产量为 4.9千克, 根据题意得:4.9a+ (100- a) 10 0.5≥ 496, 解得 a≤ 40, 则 a的取值范围是 a≤ 40, 14 26. 面直角 系中,设函数 y= ax2+ bx+ 1(a,b 数,a≠ 0). (1)若点 (1,0) (2,1) 该函数的图 上, 函数图 的顶点 (1,0) ; (2)若点 (2,1) 该函数的图 上,且该函数图 与 x轴有两个不 的交点 A、B(A B的左边),OB= 30A, a= - 13 或 4 3 ; 【解析】(2)解:将 (2,1)代入抛物线表达式得:y= 4a+ 2b+ 1= 1,则 b=-2a, 则抛物线的表达式为:y= ax2- 2ax+ 1,则抛物线的对称轴为直线 x= 1, ①当点A在 y轴左侧时, 设点A(m,0),则点B(-3m,0), 则抛物线的表达式为:y= a(x-m) (x+ 3m) = a(x2+ 2mx- 3m2) = ax2- 2ax+ 1, 则 x= 1=-m且-3am2= 1, 解得:a=- 13, 简化:点A(m,0),则点B(-3m,0),则对称轴为-m= 1,m=-1, ∴A(-1,0),代入 y= ax2- 2ax+ 1求得 a=- 13 ;(右侧不再展示,思路一致) ②当点A在 y轴右侧时, 设点A(m,0),则点B(3m,0), 则抛物线的表达式为:y= a(x-m) (x- 3m) = a(x2- 4mx+ 3m2) = ax2- 2ax+ 1, 则 x= 1= 2m且 3am2= 1, 解得:a= 43, 故答案为:- 13 或 4 3; (3)已知 a= b= 1, x=m,n(m,n 实数,m≠ n)时,该函数对 的函数 为M,N.若m+ n= 1, 证:M+N> 72. 【解析】(3)证明:a= b= c= 1时,y= x2+ x+ 1, ∵m+n= 1,m≠n, ∴n= 1-m,m≠ 1, ∴M=m2+m+ 1,N=n2+n+ 1= (1-m)2+ (1-m) + 1, ∴M+N=m2+m+ 1+ (1-m)2+ (1-m) + 1= 2m2- 2m+ 4= 2 m- 12 2+ 72, ∵m≠ 12, ∴ 2 m- 12 2+ 72 > 7 2, ∴M+N> 72. 27.如图, 面直角 系 xOy中,抛物线 y= x2+ bx+ c与 x轴交于A、B两点,与 y轴交于点C,对称轴 为直线 x= 2,点A的 为 (1,0). (1)该抛物线的表达 为 y= x2- 4x+ 3 ; (2)点P为抛物线上一点 (不与点A ),连 PC. ∠PCB=∠ACB时, 点P的 ; 相邻等角问题 15 (2)法一:作AD⊥BC于D,交CP于E,如图: A B C D PE x y O 在 y= x2- 4x+ 3中,令 x= 0得 y= 3,∴C(0,3), ∵B(3,0),∴OB=OC, ∴∠OBC= 45 ,∴ ABD是等腰直角三角形, ∵A(1,0),B(3,0),∴D(2,1), ∵∠PCB=∠ACB,∴AD=DE,∴E(3,2), ∴直线CE的关系式为:y=- 13 x+ 3, 由- 13 x+ 3= x 2- 4x+ 3 得:x1= 0(舍去),x2= 113 , ∴P 113 , 16 9 , 法二:过点B作BD垂直于 x轴,交CP于D,如图: A B C D P x y O ∵OC=OB,∴ OCB为等腰直角三角形, ∴∠DBC=∠ABC= 45 , ∵∠PCB=∠ACB,BC=BC, ∴ ABC≅ DBC(ASA),∴BD=AB= 2, ∴D(3,2), ∴直线CP的解析式为 y=- 13 x+ 3, 由- 13 x+ 3-= x 2- 4x+ 3 得:x1= 0(舍去),x2= 113 , ∴P 113 , 16 9 ; (3) (2)的条件下, 对称轴上 存 一点Q,连 PQ, 线段PQ绕点Q顺时针旋转 90 , 点P恰好 落 抛物线上?若存 ,请 出点Q的 ;若不存 ,请说 理由. 【解析】(3)在对称轴上存在一点Q,将线段PQ绕点Q顺时针旋转 90 ,使点P恰好落在抛物线上, 理由如下: 点P旋转后的对应点为P ,设Q(2,m),则 作PK⊥对称轴于K,P T⊥对称轴于T, ∵P 113 , 16 9 ,对称轴为直线 x= 2,∴PK= 5 3,KQ= 16 9 -m, (从此处开始的线段表述,可能你看到会觉得漏解了,但!实践发现,不论Q在P的上方,还是Q 在P的下方,最终表示出来的P 的坐标是一致的,故此处相当于将两种情况合并) ∵将线段PQ绕点Q顺时针旋转 90 得线段QP , ∴∠PQP = 90 ,PQ=P Q, ∴∠PQK= 90 -∠TQP =∠QP T,∠PKQ= 90 =∠P TQ, ∴ PKQ≅ QTP (AAS), ∴P T=KQ= 169 -m,QT=PK= 5 3,∴P 34 9 -m,m- 5 3 , ∵P 恰好落在抛物线上, ∴ ( 349 -m) 2- 4( 349 -m) + 3=m- 5 3, (解这个方程,耐人寻味.此处就展现巧算的奥妙) 解得m1= 109 ,m2= 31 9 , ∴Q 2, 109 或Q 2, 31 9 . 综上所述:Q 2, 109 或Q 2, 31 9 . P x y O Q P K T 16