精品解析：陕西汉中市龙岗中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

汉中市龙岗中学2028届高二上学期第一学月数学知识回顾 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3.考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由得,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选. 2. 有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是（ ） A. 中位数是5 B. 上四分位数为6 C. 极差为6 D. 60%分位数为3 【答案】B 【解析】 【详解】将样本数据重新排列得到，，，，，，，， 样本共有七个数据，中位数为第位数，故中位数为， ，因此上四分位数为第六个数，为， 极差， 因为，因此第分位数应为第五个数，为5. 3. 空间四点共面，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由于四点A，B，C，D共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可． 【详解】， ∵四点A，B，C，D共面， 存在实数λ，μ使得， 解得 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题． 4. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 5. 如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：C 6. 甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.52 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知“甲获奖”与“乙获奖”两事件相互独立，由概率乘法公式和加法公式计算可得结果. 【详解】记“甲获奖”为事件，“乙获奖”为事件， 易知，且， 显然，即可得事件与事件相互独立， 因此甲、乙两人恰有一人获奖的概率为： . 故选：D 7. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，从而得为直角三角形，进而求得的面积；接着求出平面的法向量结合距离公式即可得点到平面的距离，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】，则，，， 因为，所以，即为直角三角形， 又，， 所以的面积； 设平面的法向量为，则， 取得， 所以点到平面的距离， 则三棱锥的体积是. 故选：B 8. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，① 点到平面距离为，② 由①②可得， 所以到平面的距离为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 10. 已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 和的夹角的余弦值 C. 若与互相垂直，则的值为2 D. 若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 由，解得，C错误； 对于D，， 由与轴垂直，得，即，D正确． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，时，与重合，故只需验证面是否成立即可，对于B，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此即可推翻B，对于C，考虑两种极端情况的线面角，由于是连续变化的，故与平面所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积. 【详解】如图所示建系，， 所以， 从而， 所以， 又面， 所以面， 时，与重合，平面为平面， 因为面，平面，A对. 不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，B错. 设面的法向量为， 则，令，解得， 即可取， 而， 所以与平面所成角的正弦值为， 又， 所以， 所以， 又面， 所以面， 当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于， 当在时，与平面所成角为， 所以存在使与平面所成角为，C正确. ， 设平面的法向量为， 不妨设，则. ，则，平面的法向量，显然球心， 到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面的距离，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，向量，，，且，，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示以及空间向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】，向量，，， ，解得，又， ，解得， 则. 故答案为：. 13. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率公式求，数形结合确定直线斜率的范围. 【详解】已知，，， ， ， 过点的直线与线段相交，观察图形： 故斜率的取值范围是. 14. 设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解决二次函数型复合函数零点个数问题，可以通过换元将其转化为一元二次方程，结合实根分布的知识来解决． 【详解】令，则，作出函数的图象如答图13-7，函数有8个不同的零点， 等价于与的图象有8个交点，等价于函数在上有两个零点， 则，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出，即可得到周长． 【小问1详解】 由辅助角公式化简得 ，即 ， 因为 ，所以 ，因此 ，得 ． 【小问2详解】 由正弦定理， 可化为 ， 因为 ，，，因此 ，得 ， 由正弦定理 ，得： ， ， ， 因此周长为 ． 16. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 17. 已知函数部分图像如图所示. （1）求和值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）设，已知函数在上存在零点，求实数最小值和最大值. 【答案】（1）， （2）单调递增区间为，， （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由图像观察周期，计算；由最大值求出； （2）利用整体代换求出单增区间； （3）先求出，转化为，在上有解.令，求出的值域，即可求出a. 【小问1详解】 由图像可知：，所以，则， 又，，得， 又，所以. 【小问2详解】 . 要求的增区间，只需，， 解得：，. 令，得， 因，则， 令，得， 令，得， 因，则， 所以在上的单调递增区间为，，. 【小问3详解】 ， 则. 由函数在上存在零点， 则，在上有解， 令，由，则，即， 则， 所以，即， 故a最小值为，最大值为. 18. 甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得1分，对方得0分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得0分，对方得1分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方2分时，领先者获胜，比赛结束．已知甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，且每轮投篮相互独立．第一轮甲先进行投篮． （1）求第二轮投篮后乙获胜的概率； （2）求第四轮投篮后甲获胜的概率； （3）求第六轮投篮后甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设甲投中为事件，乙投中为事件，第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，得到或，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； （3）要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，得到或或或，结合独立事件的概率计算公式，即可求解； 【小问1详解】 解：设甲投中为事件，乙投中为事件， 要使得第二轮投篮后乙获胜，则第一轮甲未中，第二轮乙投中， 所以第二轮投篮后乙获胜的概率. 【小问2详解】 解：要使得第四轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为，则或， 所以第四轮投篮后甲获胜的概率为. 【小问3详解】 解：要使得第六轮投篮后甲获胜，则甲乙的比分为， 则满足或或或， 所以第六轮投篮后甲获胜的概率： 19. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市龙岗中学2028届高二上学期第一学月数学知识回顾 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3.考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 有一组样本数据：，，，，，，，则下列说法中，正确的是（ ） A. 中位数是5 B. 上四分位数为6 C. 极差为6 D. 60%分位数为3 3. 空间四点共面，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.52 7. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，则顶点到平面的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 10. 已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 和的夹角的余弦值 C. 若与互相垂直，则的值为2 D. 若与轴垂直，则，应满足 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 当时，平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，向量，，，且，，则的值为______________. 13. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________． 14. 设定义在上的函数若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或解答步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 16. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数部分图像如图所示. （1）求和值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）设，已知函数在上存在零点，求实数最小值和最大值. 18. 甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：每轮由其中一人进行投篮，若投中，则投篮者得1分，对方得0分，且下一轮继续投篮；若未投中，则投篮者得0分，对方得1分，且下一轮由对方投篮；当一方领先对方2分时，领先者获胜，比赛结束．已知甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，且每轮投篮相互独立．第一轮甲先进行投篮． （1）求第二轮投篮后乙获胜的概率； （2）求第四轮投篮后甲获胜的概率； （3）求第六轮投篮后甲获胜的概率． 19. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $