专题四 空间距离与综合压轴《真题淬炼·题型通关》期中讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二上期中专项复习 · 专题四 空间距离与综合压轴 全国各地市期中真题精选 · 5 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 点面距与空间距离 点面距 · 空间距离（坐标法） 2027揭阳岐山中学月考 5 题 空间距离（坐标法） 点面距 · 空间距离（坐标法） 2027柳林鑫飞中学月考 5 题 等体积法与距离最值 点面距 · 线面与面面垂直（向量法） · 立体几何综合 · 线面角 2027重庆外国语月考 5 题 折叠动点与空间结论多选 立体几何综合 2027内蒙古大学附中月考 4 题 存在性与外接球综合压轴 立体几何综合 2026南宁三中段考 6 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 点面距：点到平面的垂线段长度；空间中点线距、异面直线间距离常转化为点面距或公垂线段处理。 2. 等体积法：利用同一几何体换底换高体积不变，反求点到平面的距离，是向量法之外的独立手段。 3. 存在性问题：在给定几何体上探究是否存在满足某数量条件的点（常用参数坐标设出），化为方程有解问题。 ▍二、法则与公式 1. 点面距向量公式：，其中 为平面内已知点， 为法向量。 2. 两点距公式：。 3. 体积法：，换底 解 。 ▍三、方法技巧 1. 向量法求点面距三步：建系写坐标 → 求平面法向量 → 代点面距公式；分母取模勿漏。 2. 动点距离最值：设动点坐标含参，写距离平方关于参数的函数，用二次函数或均值不等式求最值，注意参数范围。 3. 压轴综合题拆解：先静态（建系、坐标、法向量）后动态（设参、列方程），存在性最后必须回应结论。 ▍四、易错警示 1. 点面距公式中 取错： 必须是平面内的点，取到平面外会导致投影向量计算错误。 2. 距离与坐标差混写：两点距公式开方前漏平方项符号；模长公式 勿丢根号。 3. 存在性不回应：解出参数后不写"存在，点为…"或"不存在"的结论，证明不完整直接扣分。 　点面距与空间距离 方法要领　点面距优先 （ 在平面内、 为该点）；点到线距可用投影或公垂线。 【例】（2027揭阳岐山中学月考 18）如图，在棱长为 的正方体 中，， 分别为线段 ， 的中点． (1)求点 到直线 的距离； (2)求点 到平面 的距离． 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12）已知正方体 的棱长为1，若 ，则点 到平面 的距离为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027周口开封部分校学情检测 7）在棱长为8的正方体 中， 是棱 上的一个动点， 为线段 上的一个动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　等体积法与距离最值 方法要领　体积法 换底求距离是向量法的补充手段；最值问题先表示距离平方再求二次函数最值。 【例】（2027重庆外国语月考 16）如图，正方体 的棱长为1， 为棱 上的动点． (1)若 ，求 到平面 的距离； (2)若 ，求 与平面 所成角的余弦值． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026山东实验中学期中 6）已知正方体 的棱长为 ，点 为体对角线 的中点，点 为棱 的中点，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026玉溪一中期中 15）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，， 分别为 和 的中点，． (1)求三棱锥 的体积； (2)已知 为棱 上的点，证明：． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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(1)求多面体 的体积； (2)求二面角 的余弦值； (3)在线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027凌云中学月考 19）如图，在几何体 中，四边形 是边长为 的正方形，，，． (1)证明：平面 平面 ； (2)设 为 的中点，求点 到直线 的距离； (3)在线段 （含端点）上是否存在点 ，使平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027内蒙古大学附中月考 19）在四棱锥 中，底面 为正方形， 是 的中点， 平面 ，，，平面 平面 ． (1)求证：； (2)如图， 且 ，求点 到平面 的距离； (3)设四棱锥 的外接球球心为 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027执信中学阶段训练 18）如图，在三棱锥 中， 平面 ，平面 平面 ， 为 的中点． (1)求证：； (2)若 ，，，且 与平面 所成角为 ：①当 时，求三棱锥 的体积；②当 取最大值时，求二面角 的正弦值． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026宁波六校联盟期中 18）在 中，，，， 分别是 上的点，满足 且 ，将 沿 折起到 的位置，使 ， 是 的中点，如图所示． (1)求证： 平面 ； (2)求 与平面 所成角的大小； (3)在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由． 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关于平面 对称，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026杭州二中期中 4）已知 ，，，，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026东北育才学校期中 3）已知空间向量 ，，则点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2025广州天河外国语期中 11）如图，在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的上底面 内（不含边界）的动点，点 是棱 的中点，则以下命题正确的是（　　）（多选） A．三棱锥 的体积是定值 B．存在点 ，使得 与 所成的角为 C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 D．若 ，则 的轨迹的长度为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2027重庆外国语月考 11）在三棱锥 中，，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B．当 时，平面 平面 C．当平面 平面 时，直线 与平面 所成的角为 D．当二面角 的大小为 时，点 到平面 的距离为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（6分）（2027三明北附月考 11）如图，已知正方体 的棱长为1，点 为 的中点，点 为该正方体的上底面 上的动点，则（　　）（多选） A．满足 平面 的点 的轨迹长度为 B．存在唯一的点 满足 C．满足 的点 的轨迹长度为 D．存在点 满足 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2027新泰一中诊断测试 14）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，，点 分别为 的中点，点 为 内的一个动点（包括边界）， 平面 ，则点 的轨迹的长度为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2027重庆外国语月考 12）已知 ，，若 ，则 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（6分）（2026成都石室中学期中 14）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形，，，，，若动点 在 内及边上运动，使得 ，则三棱锥 的体积最大值为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2026长郡中学期中练习 19）如图所示，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，且与底面 垂直， 平面 ，， 是棱 上的动点． (1)当 是棱 的中点时，求证： 平面 ； (2)若 ，，求点 到平面 距离的取值范围． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．（15分）（2026重庆一中期中 15）如图为正四棱锥 ， 为底面 的中心，，． (1)求点 到平面 的距离； (2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高二学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二上期中专项复习 · 专题四 空间距离与综合压轴 全国各地市期中真题精选 · 5 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 点面距与空间距离 点面距 · 空间距离（坐标法） 2027揭阳岐山中学月考 5 题 空间距离（坐标法） 点面距 · 空间距离（坐标法） 2027柳林鑫飞中学月考 5 题 等体积法与距离最值 点面距 · 线面与面面垂直（向量法） · 立体几何综合 · 线面角 2027重庆外国语月考 5 题 折叠动点与空间结论多选 立体几何综合 2027内蒙古大学附中月考 4 题 存在性与外接球综合压轴 立体几何综合 2026南宁三中段考 6 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 点面距：点到平面的垂线段长度；空间中点线距、异面直线间距离常转化为点面距或公垂线段处理。 2. 等体积法：利用同一几何体换底换高体积不变，反求点到平面的距离，是向量法之外的独立手段。 3. 存在性问题：在给定几何体上探究是否存在满足某数量条件的点（常用参数坐标设出），化为方程有解问题。 ▍二、法则与公式 1. 点面距向量公式：，其中 为平面内已知点， 为法向量。 2. 两点距公式：。 3. 体积法：，换底 解 。 ▍三、方法技巧 1. 向量法求点面距三步：建系写坐标 → 求平面法向量 → 代点面距公式；分母取模勿漏。 2. 动点距离最值：设动点坐标含参，写距离平方关于参数的函数，用二次函数或均值不等式求最值，注意参数范围。 3. 压轴综合题拆解：先静态（建系、坐标、法向量）后动态（设参、列方程），存在性最后必须回应结论。 ▍四、易错警示 1. 点面距公式中 取错： 必须是平面内的点，取到平面外会导致投影向量计算错误。 2. 距离与坐标差混写：两点距公式开方前漏平方项符号；模长公式 勿丢根号。 3. 存在性不回应：解出参数后不写"存在，点为…"或"不存在"的结论，证明不完整直接扣分。 　点面距与空间距离 方法要领　点面距优先 （ 在平面内、 为该点）；点到线距可用投影或公垂线。 【例】（2027揭阳岐山中学月考 18）如图，在棱长为 的正方体 中，， 分别为线段 ， 的中点． (1)求点 到直线 的距离； (2)求点 到平面 的距离． 【答案】(1)；(2) 【分析】以 为原点建系，(1)由投影长与勾股关系用点到直线的距离公式求解；(2)求平面 的法向量，代入点到平面的距离公式． 【详解】解：以 为原点， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，， ∴，， (1)∵，， ∴ 在直线 上投影的长为 （依据：投影的定义）， 又 ， ∴点 到直线 的距离 （依据：点到直线的距离公式）． (2)∵，设平面 的法向量 ， 由 得 ， 令 ，得 ， 又 ，∴点 到平面 的距离 （依据：点到平面的距离公式）． 【练1】（2026大连二十四中期中 16）如图，在长方体 中，， 和 交于点 ， 为 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)已知 与平面 所成角为 ，求点 到平面 的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)证 为 中点后用中位线得 ；(2)由线面角确定 长度，建系求平面 的法向量，用距离公式求解． 【详解】(1)证明：∵ 且 ，∴四边形 为平行四边形， ∴ 为 的中点（依据：平行四边形对角线互相平分）， 在 中，， 分别为 ， 的中点，∴（依据：三角形中位线定理）， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （依据：线面平行的判定定理）． (2)解：∵ 平面 ，∴ 为直线 与平面 所成的角，即 （依据：线面角的定义）， ∵，且 ，∴，即 ， 以 为原点， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，，， ∴，， ∴，， 设平面 的法向量 ，则 ， 取 ，得 ，，∴， 又 ， ∴点 到平面 的距离 （依据：点到平面的距离公式）． 【练2】（2027三明北附月考 13）已知点 ，，则点 到直线 的距离为 ______． 【答案】 【分析】求出 与 ，用点到直线的距离公式求解，也可先求 在直线 上的投影再用勾股关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，， 设 在直线 上的射影为 ，则 的长即 到直线 的距离， 且 （依据：投影的定义）， 在 中，（依据：勾股定理）， ∴点 到直线 的距离 （依据：点到直线的距离公式 ）． 【练3】（2027无锡三中基础测试 18）如图，点 为正方形 所在平面外一点， 为 的中点，．若平面 平面 ，，． (1)求证：； (2)若点 到平面 的距离为 ，求 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由面面垂直的性质定理得 平面 ，从而 ；(2)以 为原点建系，求平面 的法向量，把点 到该平面的距离用 表示后列方程求解． 【详解】(1)证明：∵正方形 中 ，且平面 平面 ，交线为 ， ∴ 平面 （依据：面面垂直的性质定理）， 又 平面 ，∴． (2)解：以 为原点， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，，，， ∴，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 ， 又 ，∴（依据：数乘的坐标运算）， ∴点 到平面 的距离为 （依据：点到平面的距离公式）， 由 ，解得 ， 即 的值为 ． 【练4】（2027执信中学阶段训练 16）如图，在直三棱柱 中， 是 的中点． (1)证明： 平面 ； (2)若 ，且 ，求直线 到平面 的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)连接 交 于 ，由中位线得 ，再用线面平行的判定定理；(2)以 为原点建系，求平面 的法向量，由 平面知线面距离等于点 到平面的距离，代入距离公式求解． 【详解】(1)证明：连接 ，交 于点 ，连接 ， ∵四边形 为平行四边形，∴ 为 的中点（依据：平行四边形对角线互相平分）， 又 为 的中点，∴ 为 的中位线，∴（依据：三角形中位线定理）， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （依据：线面平行的判定定理）． (2)解：∵，直三棱柱中 平面 ，∴ 两两垂直， 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，，， ∴，，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （依据：法向量三步：设向量、列方程组、取特解）， 由(1)知 平面 ，∴直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离（依据：平行直线上各点到平面的距离相等）， ∴（依据：点到平面的距离公式）， 即直线 到平面 的距离为 ． 　空间距离（坐标法） 方法要领　两点距直接坐标公式；异面直线间、平行线间距离转化为点到线距，先找公垂方向。 【例】（2027柳林鑫飞中学月考 6）已知平面 的法向量为 ，点 在平面 内，点 到平面 的距离为 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【分析】由 的坐标与点面距公式列出含绝对值的方程，注意距离公式取绝对值后方程可能有两解，均需检验． 【详解】解：∵点 在平面 内，点 到 的距离为 ， ∴ （点面距的向量公式）； 而 （终点减起点），（模长公式）， ∴ （代入公式）， 即 ，解得 或 （绝对值方程分两类）． 故选：C． 【练1】（2026杭州学军中学期中 3）已知过原点的平面 的一个法向量是 ，点 是平面 外的一点，则点 到平面 的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面过原点 ，取 为平面内的向量，直接代入点面距公式计算． 【详解】解：由题意可得 （终点减起点）； ∵平面 的一个法向量是 ， ∴点 到平面 的距离为 （点面距的向量公式）． 故选：C． 【练2】（2027无锡三中基础测试 7）已知 ，，，则点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用点到直线的距离公式：求出 在 方向上的投影量，再由模的平方扣除投影的平方得距离；也可先求夹角余弦再求正弦． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，（终点减起点）， 且 ，（模长公式）， （数量积的坐标公式）； 设 在直线 上的射影为 ，则 （投影的定义）， 而 ，∴ ； 在 中，（勾股定理）， ∴ 点 到直线 的距离为 （点到直线的距离公式 ）． 故选：A． 【练3】（2027凌云中学月考 12）已知正方体 的棱长为1，若 ，则点 到平面 的距离为______． 【答案】 【分析】建系后由基底分解式定出 的坐标，求平面 的法向量，代入点面距公式求解． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 （由 与坐标的对应），，，； ∴ ，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴ 点 到平面 的距离为 （点面距的向量公式）． 故答案为： 【练4】（2027周口开封部分校学情检测 7）在棱长为8的正方体 中， 是棱 上的一个动点， 为线段 上的一个动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系后用参数设出两个动点的坐标，把 表示为两个参数的函数，配方（或逐项为零）求最小值． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步）， 则 ，，， ∴ ，（终点减起点）； 设 ，（ 在 上），设 ，（共线向量的参数设法）， 则 ，即 （向量加法）； ∴ （两点间距离公式） （配方）； 当 ，即 （均在各自范围内）时， 取得最小值 （二次函数求最值）． 故选：D． 　等体积法与距离最值 方法要领　体积法 换底求距离是向量法的补充手段；最值问题先表示距离平方再求二次函数最值。 【例】（2027重庆外国语月考 16）如图，正方体 的棱长为1， 为棱 上的动点． (1)若 ，求 到平面 的距离； (2)若 ，求 与平面 所成角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【分析】以 为原点建系：(1)求平面 的法向量，由点面距公式求解；(2)确定 的坐标，求法向量，由线面角公式求正弦后转余弦． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，； (1)∵，∴ 为 的中点，得 （中点坐标公式）， ∴，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 又 ， ∴点 到平面 的距离为 （点面距的向量公式）； (2)∵ 且 在棱 上，∴ 为线段 上靠近 的三等分点，即 （定比分点坐标）， ∴，； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步）； 又 ，设直线 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）； ∵，∴（同角平方关系）， 即 与平面 所成角的余弦值为 ． 【练1】（2026山东实验中学期中 6）已知正方体 的棱长为 ，点 为体对角线 的中点，点 为棱 的中点，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 为 中点，把 到平面的距离转化为 到平面距离的一半；用等体积法：，先由余弦定理求 的面积，再解出高． 【详解】解：∵ 为 的中点，∴点 到平面 的距离为点 到平面 距离的一半（平行线上的点到平面的距离成比例）； 在 中，，，（两点间距离公式）， ∴ （余弦定理）， ∴ （同角平方关系）， ∴ （三角形面积公式）； 又 （直角三角形面积）； 设点 到平面 的距离为 ， 由 （等体积法）得 ， 即 ，解得 ； ∴ 点 到平面 的距离为 ． 故选：B． 【练2】（2026玉溪一中期中 15）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，， 分别为 和 的中点，． (1)求三棱锥 的体积； (2)已知 为棱 上的点，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】(1)由 得 ，进而 平面 ，得 为等腰直角三角形，再算体积；(2)补形为正方体，取中点构造平面 ，证 该平面即可． 【详解】解：(1)∵ ，，∴ （平行线的性质）； 又 （直三棱柱的侧棱垂直于底面），，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； ∵ 平面 ，∴ ，即 为等腰直角三角形（线面垂直的性质）； ∴ （中点分积），； ∴ （等体积法与锥体体积公式）； (2)证明：由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 （补形法）， 取棱 的中点 ，连结 ； 在正方形 中， 为 的中点，∴ （正方形对角线的垂直关系）； 又 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； 而 平面 （ 分别在 上），∴ （线面垂直的定义）． 【练3】（2025资阳安岳中学期中 18）图1是直角梯形 ，，，四边形 是边长为4的菱形，并且 ，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如图2． (1)求证：平面 平面 ； (2)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求 的值； (3)在(2)的前提下，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，；(3) 【分析】(1)取 中点 ，由等边三角形三线合一及勾股定理的逆定理证 ，从而 平面 ；(2)以 为原点建系，设 ，由点面距公式列方程求 ；(3)由(2)的 坐标直接用线面角公式． 【详解】(1)证明：取 的中点 ，连接 ； ∵四边形 是边长为4的菱形，且 ，∴ 与 均为等边三角形（等边三角形的判定）， ∴ ，，且 （等边三角形三线合一）； ∵ ，∴ ，由勾股定理的逆定理得 ； 又 ， 平面 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； 又 平面 ，∴ 平面 平面 （面面垂直的判定定理）； (2)解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，，； 设 ，（共线向量的参数设法）， 即 ，解得 ，，， 故 ； 设平面 的法向量 ，由 ， 得 ，令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 其中 （终点减起点）， ∴ （点面距的向量公式）； 由 ，即 ，得 ， 解得 或 （舍去，超出 ）， ∴ 存在点 ，此时 （定比分点的关系）； (3)解：由(2)得 （终点减起点）； 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）， ∴ 直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【练4】（2027柳林鑫飞中学月考 17）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，，， 是 中点． (1)求直线 与平面 的夹角余弦值； (2)求点 到平面 的距离． 【答案】(1)；(2) 【分析】以 为原点建系：(1)求平面 的法向量与 夹角的余弦，得线面角的正弦后转余弦；(2)由点面距公式直接求解． 【详解】解：∵ 平面 ，底面为矩形，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，（中点坐标公式）； ∴ ，，（终点减起点）； (1)设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 （线面角公式）， ∴ （同角平方关系）， 即直线 与平面 的夹角余弦值为 ； (2)∵ （终点减起点），平面 的一个法向量为 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则 （点面距的向量公式）， 即点 到平面 的距离为 ． 　折叠动点与空间结论多选 方法要领　综合多选逐项判定：位置关系用方向向量与法向量，角与距离套公式算数值，别凭图直判。 【例】（2027内蒙古大学附中月考 11）如图，正方体 的棱长为 ， 分别是 的中点，点 是底面 内一动点，点 是侧面 内一动点， 是 上一动点，以上动点都含边界．则下列说法正确的为（　　）（多选） A．若 平面 ，则 的轨迹长度为 B．过 三点的平面截正方体所得截面面积是 C．当 时，若保持 ，则点 的运动轨迹长度为 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】A 由线面平行转化为等距问题求轨迹；B 先确定截面为等腰梯形再求面积；C 把空间定长条件投影到侧面内化为圆弧求弧长；D 用平面展开法把折线和的最小值化为两点间距离． 【详解】解：对A：设点 到平面 的距离为 ， 由 （等体积法），而 ， 到底面的高为 ， ∴ （锥体体积公式）； ∵ 平面 ，∴ ，（勾股定理）， ∴ ； 由 得 （解方程）； ∵ 为 中点，∴ 到平面 的距离为 ； ∵ 平面 ，∴ 到该平面的距离等于 （线面平行的性质）； 设 到 的距离为 ，∵ 对角面 与底面成 角，∴ ，得 （解直角三角形）； 故 的轨迹为底面内平行于 且到 距离为1的线段，长度为 ，A正确； 对B：∵ 分别为 中点，∴ （中位线定理），又 ， ∴ 过 的截面为等腰梯形 （截面形状的确定）； 其中 ，，（勾股定理）， 高 （等腰梯形求高）， ∴ 截面面积 （梯形面积公式），B正确； 对C：由 得 ，；点 到侧面 的距离为 ，设 在该侧面的射影为 ，则 在 上，； 由 得 到 的距离 （勾股定理）， ∴ 的轨迹为侧面内以 为圆心、 为半径的圆弧；圆心 到 的距离为 ，故 在弧上；圆心到 的距离 ，弧与 交于 ，易求两半径夹角为 （几何关系）； ∴ 轨迹长度 （弧长公式），C错误； 对D：将平面 与平面 沿 展开至同一平面，此时 （平面展开法）； 其中 ，，由余弦定理得 （余弦定理）， ∴ （两点之间线段最短），D正确． 故选：ABD． 【练1】（2027揭阳岐山中学月考 11）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱长都为1，且 ，下列说法中正确的是（　　）（多选） A． 平面 B． 平面 C． 的长为 D． 与平面 所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】A 由 用判定定理；B 展开 与 验证为零；C 用模的平方展开式；D 过 作底面垂线确定线面角后用向量或几何法求解． 【详解】解：对A：由平行六面体的定义，， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，A正确（线面平行的判定定理）； 对B：记基底各棱向量两两夹角为 、模为1，则两两数量积均为 （数量积的定义）； （数量积展开）； （数量积展开）； ∴ ，，又 ，∴ 平面 ，B正确（线面垂直的判定定理）； 对C：（模的平方展开式）， ∴ ，C错误； 对D：过 作 平面 ，垂足为 ，由 为等边三角形及对称性知 在 的平分线 上， ∴ 与平面 所成角为 （线面角的定义）； 由 得 ，且 （数量积展开）， ∴ （夹角公式）， ∴ （同角平方关系），D正确． 故选：ABD． 【练2】（2027黄陂七中月考 11）如图，已知正方体 的棱长为2，点 在正方形 内运动（含边界），则（　　）（多选） A．正方体 的外接球的表面积为 B．存在点 ，使得 C．若 ，则点 运动轨迹的长度为 D．若 ，则直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】建系后设 ：A 求外接球半径与表面积；B 取特殊点验证数量积为零；C 由垂直条件得轨迹方程求长度；D 表示出线线角的余弦求最值． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，，，设 ，； 对A：外接球半径 （体对角线等于直径），表面积 ，A正确（球的表面积公式）； 对B：，当 与 重合时，，（数量积的坐标公式），∴ ，B正确（垂直的充要条件）； 对C：，，由 得 ，即 （数量积为0）， ∴ 点 的轨迹为线段 ，长度为 （轨迹长度计算），C错误； 对D：由 得 ，即 ； 而 ，∴ （线线角的向量公式与放缩）， 当且仅当 时取等号，D正确． 故选：ABD． 【练3】（2027鹿邑县高中月考 11）正方形 边长为 ，沿着其对角线 将点 折叠至 ，二面角 的平面角为 ， 分别为 的中点，则（　　）（多选） A．当 时， B．存在 ，使得 C．四面体 的外接球半径不变 D． 到 的距离的取值范围是 【答案】ACD 【分析】先证 为二面角的平面角，以 为原点建系，用 表示 的坐标：A、B 由向量夹角公式计算；C 观察各顶点到 的距离；D 用点到直线的距离公式求 的范围． 【详解】解：连接 ，由正方形性质 ，，∴ 是二面角 的平面角，即 （二面角平面角的定义）； 正方形边长 ，则 ，∴ ； 以 为原点， 所在直线及过 垂直于底面的直线分别为 轴建系（建系三步）， 则 ，，，，（含参坐标）， 且 ，（中点坐标公式）； 对A：当 时 ，则 ，， ∴ （夹角公式）， ∴ ，A正确； 对B：，， ∴ （数量积的坐标公式），∴ 不存在 使 ，B错误； 对C：∵ ，即 到四个顶点的距离都是 ，且与 无关， ∴ 四面体 的外接球球心为 ，半径恒为 ，C正确（外接球的定义）； 对D：，（终点减起点）， ∴ 点 到直线 的距离为 （点到直线的距离公式）； ∵ ，∴ ，∴ （函数的值域），D正确． 故选：ACD． 　存在性与外接球综合压轴 方法要领　压轴题先建系完成静态计算，动点或存在性问题设参数坐标，把条件化为方程（组），存在性必须回应'是否存在'并给出坐标或说明不存在。 【例】（2026南宁三中段考 18）如图1，在边长为2的菱形 中，， 于点 ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2． (1)求多面体 的体积； (2)求二面角 的余弦值； (3)在线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在， 【分析】(1)先证 平面 得 ，进而 平面 ，再求体积；(2)以 为原点建系，求两平面的法向量；(3)设 ，求平面 的含参法向量，由面面垂直得法向量数量积为零，解出 ． 【详解】(1)解：∵ ，即 ；又 ，， ∴ 平面 （线面垂直的判定定理），∴ （线面垂直的性质）； 又 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； 在菱形 中 ，，∴ ，，折叠后 ； ∴ （锥体体积公式， 到直线 的距离不变）； (2)解：由 平面 ，，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，， ∴ ，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∵ 平面 ，∴ 平面 的法向量为 （线面垂直的定义）； ∴ （两平面夹角的向量公式）， 由图知所求二面角为锐角，∴ 二面角 的余弦值为 ； (3)解：假设存在，设 ，（共线向量的参数设法），则 ； 设平面 的法向量 ，由 ， 得 ，即 ，取 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 又平面 的法向量仍可取 （平面 即平面 ，因 在 上）； 若平面 平面 ，则 （两平面垂直等价于法向量垂直）， 解得 ， ∴ 在线段 上存在点 ，使平面 平面 ，且 ． 【练1】（2027凌云中学月考 19）如图，在几何体 中，四边形 是边长为 的正方形，，，． (1)证明：平面 平面 ； (2)设 为 的中点，求点 到直线 的距离； (3)在线段 （含端点）上是否存在点 ，使平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【分析】(1)由勾股定理的逆定理证 ，，从而建系，求两平面的法向量验证垂直；(2)用点到直线的距离公式；(3)设 ，求平面 的含参法向量，由面面夹角公式列方程求 ． 【详解】(1)证明：∵，， ∴，（依据：勾股定理的逆定理）， 又 ，∴ 两两垂直， 以 为原点， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，，，（依据： 且 ）， ∴，，， 设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 由 得 ， 由 得 ， 取 ，得 ，， ∵，∴平面 平面 （依据：两平面垂直等价于法向量垂直）． (2)解：∵ 为 的中点，∴，∴，， ∴点 到直线 的距离 （依据：点到直线的距离公式）． (3)解：假设存在，设 ，，则 ， ∴， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ，，即 （依据：法向量三步：设向量、列方程组、取特解）， 又平面 即底面 ，可取其法向量 ， ∴（依据：面面夹角公式）， 两边平方整理得 ，解得 ， ∵，∴， 故存在满足条件的点 ，且 ． 【练2】（2027内蒙古大学附中月考 19）在四棱锥 中，底面 为正方形， 是 的中点， 平面 ，，，平面 平面 ． (1)求证：； (2)如图， 且 ，求点 到平面 的距离； (3)设四棱锥 的外接球球心为 ，在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 或 【分析】(1)由正方形得 ，证 平面 ，再用线面平行的性质定理；(2)建系求平面 的法向量，由点面距公式求解；(3)先定球心 的坐标，设 ，求平面 的含参法向量，由线面角正弦列方程求 ． 【详解】(1)证明：∵四边形 为正方形，∴ （正方形的性质）； 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 （线面平行的判定定理）； 又 平面 ，平面 平面 ， ∴ （线面平行的性质定理）； (2)解：取 中点 ，连接 ，则 （正方形的对称性）； ∵ 平面 ，∴ ，（线面垂直的定义）， ∴ 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，（由 可定 的位置）； ∴ ，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴ 点 到平面 的距离为 （点面距的向量公式）； (3)解：∵ ，且底面为正方形，∴ 在底面的射影为正方形中心 ，可设 （外接球球心的位置）； 由 得 ，解得 （两点间距离公式）， ∴ ，； 设 ，（共线向量的参数设法）， 则 ，∴ ，； 设平面 的法向量 ，由 得 （法向量方程组）， 取 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）； 两边平方整理得 ，解得 或 （均在 内）， ∴ 当 或 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【练3】（2027执信中学阶段训练 18）如图，在三棱锥 中， 平面 ，平面 平面 ， 为 的中点． (1)求证：； (2)若 ，，，且 与平面 所成角为 ：①当 时，求三棱锥 的体积；②当 取最大值时，求二面角 的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)①；② 【分析】(1)在平面 内作 ，由面面垂直的性质得 平面 ，进而 平面 ；(2)①作 的中线 ，证 平面 ，确定线面角解出 后求体积；②由①建立含参关系，用基本不等式求 的最大值，再建系求二面角． 【详解】(1)证明：在平面 内作 于点 ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ （线面垂直的性质）； ∵ 平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，∴ 平面 （面面垂直的性质定理）， 又 平面 ，∴ ； ∵ ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， 又 平面 ，∴ （线面垂直的性质）； (2)解：①取 的中点 ，连接 ； ∵ 是 的中点，∴ （三角形中位线定理）， 由(1)知 平面 ，∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ； 由 ， 知 为等腰直角三角形，且 （三线合一）； ∵ ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， ∴ 就是 与平面 所成的角（线面角的定义），即 ； 在等腰 中 ，在 中 ， ∴ ，∴ （解直角三角形）； ∴ ， 三棱锥的体积 （锥体体积公式）； ②过点 作 平面 ，垂足为 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（由(1)知三线两两垂直，建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，， ∴ ，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 由 与平面 的夹角为 得 （线面角公式）， 整理得 （两边平方整理）， 进而 （解出 ）； 由基本不等式得 （基本不等式）， ∴ ，当且仅当 时取等号，即 ，最大值为 ； 此时 ，，，； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步）； 平面 的一个法向量 ； 设二面角 为 ，则 （两平面夹角的向量公式）， ∴ （同角平方关系）， 即二面角 的正弦值为 ． 【练4】（2026宁波六校联盟期中 18）在 中，，，， 分别是 上的点，满足 且 ，将 沿 折起到 的位置，使 ， 是 的中点，如图所示． (1)求证： 平面 ； (2)求 与平面 所成角的大小； (3)在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【分析】(1)先证 平面 得 ，结合 用判定定理；(2)以 为原点建系，求平面 的法向量，由线面角公式求角；(3)设 ，求两平面的含参法向量，由夹角余弦列方程解 ． 【详解】(1)证明：∵ ，，∴ ，且 （平行线与直角关系）， 折叠后仍有 ；又 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， 又 平面 ，∴ ； 已知 ，，且 平面 ， ∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； (2)解：由(1)知以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）； 由 得 ，，，（勾股定理）； 则 ，，，，，（中点坐标公式）， ∴ ，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 设 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）， ∴ 与平面 所成角的大小为 ； (3)解：假设存在，设 ，其中 （共线向量的参数设法）， 则 ，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 ，，即 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 由(2)知平面 的法向量为 ， 若两平面所成角的余弦值为 ，则 （两平面夹角的向量公式）； 两边平方整理得 ，即 ， 解得 或 （舍去，不在 内）， 而当 时 满足题设（代值验证）， ∴ 存在点 与 重合，，使平面 与平面 所成角的余弦值为 ． 【练5】（2026南京五校共同体质检 18）如图一，四边形 是边长为 的菱形，，，， 分别为 的中点，将 沿 边折起，使 ，连接 ，如图二． (1)证明：； (2)求直线 和 所成角的余弦值； (3)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【分析】(1)证 ，，得 平面 ；(2)由中位线把 与 所成角转化为 ，用余弦定理；(3)由平行线分线段成比例确定 的位置，用线面平行的判定定理． 【详解】(1)证明：连接 ； ∵ 分别为 的中点，∴ 且 （三角形中位线定理）； ∵ ，∴ （平行线的垂直关系）； ∵ 四边形 为边长2的菱形且 ，∴ 为等边三角形； 又 为 中点，∴ （三线合一）； ∵ 平面 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， 又 平面 ，∴ （线面垂直的定义）； (2)解：连接 ，交 于点 ，连接 ； ∵ 四边形 为菱形，∴ 为 的中点（菱形对角线互相平分），又 为 中点， ∴ ，且 （三角形中位线定理）， ∴ 直线 和 所成角即为 或其补角（异面直线所成角的定义）； 在 中，（勾股定理）， ∴ （直角三角形斜边中线），又 ，； 在 中，由余弦定理得 （余弦定理）， ∴ 直线 和 所成角的余弦值为 ； (3)解：存在；设 与 交于点 ，连接 ； ∵ 四边形 为菱形， 为 中点，∴ ，且 （菱形与中点的性质）， ∴ （平行线分线段成比例），∴ ； 当 时，在 中由平行线分线段成比例得 （比例对应）； 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （线面平行的判定定理）， 故存在满足条件的点 ，且 ． 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026雅礼集团期中 2）在空间直角坐标系中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用空间两点间距离公式求解． 【详解】解：（依据：空间两点间距离公式）．故选A． 2．（6分）（2026武汉部分重点中学期中 3）在空间直角坐标系 中，已知点 ，，若点 与点 关于平面 对称，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由关于平面 对称的点的坐标特征求出 ，再用向量模的公式求解． 【详解】解：∵点 与点 关于平面 对称，∴（依据：关于 对称，纵坐标变为相反数，横、竖坐标不变）， ∴， ∴（依据：向量模的坐标公式）．故选A． 3．（6分）（2026杭州二中期中 4）已知 ，，，，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面 的法向量，将 与法向量代入点面距公式求解． 【详解】解：由 ，，， 得 ，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 ，即 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴ 点 到平面 的距离为 （点面距的向量公式）． 故选：D． 4．（6分）（2026东北育才学校期中 3）已知空间向量 ，，则点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求 在 方向上的投影量的模，再用模的平方扣除投影的平方得距离． 【详解】解：∵ ，， ∴ 在 上的投影向量的模为 （投影的定义）； ∴ 点 到直线 的距离为 （点到直线的距离公式）． 故选：A． 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2025广州天河外国语期中 11）如图，在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的上底面 内（不含边界）的动点，点 是棱 的中点，则以下命题正确的是（　　）（多选） A．三棱锥 的体积是定值 B．存在点 ，使得 与 所成的角为 C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 D．若 ，则 的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】A用等体积转换判断；B、C建系后由向量夹角公式结合范围判断；D由 得轨迹方程，求线段长判断． 【详解】解：以 为原点， 所在直线为 轴建系，则 ，设 ， 对A：（依据：等体积变换），∵， 到底面距离为2，∴ 为定值，A正确； 对B：，， 设 与 所成角为 ，则 ， ∵，∴，而 ，B错误（依据：异面直线所成角的向量公式）； 对C：平面 的法向量 ，设所成角为 ， 则 ， ∵，∴，且可无限接近两端，∴，C正确（依据：线面角的向量公式与放缩）； 对D：，由 得 ， 化简得 （依据：两点间距离公式）， 在上底面内该轨迹为线段，令 得 ，令 得 ， ∴轨迹长度 ，D正确． 故选ACD． 6．（6分）（2027重庆外国语月考 11）在三棱锥 中，，，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B．当 时，平面 平面 C．当平面 平面 时，直线 与平面 所成的角为 D．当二面角 的大小为 时，点 到平面 的距离为 【答案】ABD 【分析】过 作 于 ，连接 ，证 平面 可判A； 及其补角为二面角 的平面角，据此判B、C；D 用等体积法求点面距． 【详解】解：∵，，， 过 作 交 的延长线于点 ，连接 ，则 ， ∴（依据：直角三角形中的边角关系）， ∵，，，∴， ∴，且 （依据：全等三角形的性质）， 对A：∵，，，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理）， 又 平面 ，∴，A正确； 对B：∵，，∴ 或其补角为二面角 的平面角（依据：二面角平面角的定义）， 当 时，，在 中，， ∴，即 ，∴平面 平面 ，B正确（依据：面面垂直的判定定理）； 对C：当平面 平面 时，，又 ，∴ 为等腰直角三角形，， 又由 平面 知平面 平面 ，交线为 ，∴ 为直线 与平面 所成的角，为 ，C错误（依据：面面垂直的性质定理与线面角的定义）； 对D：当二面角 为 时，，∴ 为等边三角形，， 点 到平面 的距离为 到直线 的垂线段长，（依据：面面垂直的性质，射影落在 上）， ， ∴， 在 中，， ∴，同理 ，∴ 为等腰三角形， 取 的中点 ，连接 ，则 ，， ∴， 设点 到平面 的距离为 ，由 得 ， 解得 ，D正确（依据：等体积法求点面距）． 故选ABD． 7．（6分）（2027三明北附月考 11）如图，已知正方体 的棱长为1，点 为 的中点，点 为该正方体的上底面 上的动点，则（　　）（多选） A．满足 平面 的点 的轨迹长度为 B．存在唯一的点 满足 C．满足 的点 的轨迹长度为 D．存在点 满足 【答案】ABC 【分析】A 证平面 平面 得轨迹为 ；B、C 建系后由数量积为零解出唯一解或轨迹线段；D 求对称点比较 与 的大小． 【详解】解：对A：∵ ，，且两对平行线分别在两平面内， ∴ 平面 平面 （面面平行的判定定理）； 又 平面 ，∴ 平面 恒成立的点 在线段 上（面面平行的性质）， ∴ 轨迹长度为 ，A正确； 对B、C：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，设 ，，（共线向量的参数设法）， 则 ，，（终点减起点）； 对B：由 得 （数量积的坐标公式与配方）， 解得 ，即存在唯一的点 ，B正确； 对C：由 得 ，即 （数量积为零）； 由 ， 得轨迹为线段 ，其中 ，（解不等式组）， ∴ 轨迹长度 （两点间距离公式），C正确； 对D：点 关于平面 的对称点为 （对称点的求法）， 当 三点共线时 最短，最小值为 （两点间距离公式）， ∴ 不存在点 使 ，D错误． 故选：ABC． 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2027新泰一中诊断测试 14）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，，点 分别为 的中点，点 为 内的一个动点（包括边界）， 平面 ，则点 的轨迹的长度为______． 【答案】 【分析】先由 （ 为 中点）得 平面 ，则轨迹为平面 与 的交线段 ；建系由 定 的位置，求 ． 【详解】解：∵ 两两垂直，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 记 的中点为 ，连接 ； ∵ 为正方形， 为 中点，∴ 且相等，四边形 为平行四边形， ∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 （线面平行的判定定理）； 记轨迹与 交于点 ，则 平面 ，又 是平面 内的相交直线， ∴ 平面 平面 （面面平行的判定定理），∴ 轨迹为线段 （面面平行的性质）； ∵ ，，，，，， ∴ ，，，（终点减起点）； 设 ，则 （数乘与加法的坐标运算）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 由 平面 得 ，即 ， 解得 （数量积的坐标公式）； ∴ ，，而 ， ∴ （终点减起点）， ∴ 点 的轨迹的长度为 （两点间距离公式）． 故答案为： 9．（6分）（2027重庆外国语月考 12）已知 ，，若 ，则 ______． 【答案】 【分析】由垂直的充要条件 列方程求解． 【详解】解：∵ ，∴ （垂直的充要条件）， 即 （数量积的坐标公式）， ∴ ，解得 ． 故答案为： 10．（6分）（2026成都石室中学期中 14）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形，，，，，若动点 在 内及边上运动，使得 ，则三棱锥 的体积最大值为______． 【答案】 【分析】由 平面 ， 平面 得 ，，由角相等得 ；在平面 内建系求 的轨迹（圆弧），得 到 距离的最大值后求体积． 【详解】解：∵ 平面 ，∴ 平面 平面 ； ∵ ，，∴ 平面 ，同理 平面 （线面垂直的判定与性质）； ∵ 在 内及边上，∴ ，（线面垂直的定义）， ∴ ，（解直角三角形）； 由 得 ，而 ，， ∴ （等量代换）； 在平面 内，以 的中点为原点、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，，； 设 ，由 （两点间距离公式）， 化简得 （轨迹方程）， ∴ 的轨迹是该圆落在 内（含边界）的一段弧； 令 得 ，故 到 的距离最大为 （圆上点的最值）； ∵ （三角形面积公式）， ∴ 三棱锥 的体积最大值为 （锥体体积公式，高即 到平面 的距离）． 故答案为： 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2026长郡中学期中练习 19）如图所示，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，且与底面 垂直， 平面 ，， 是棱 上的动点． (1)当 是棱 的中点时，求证： 平面 ； (2)若 ，，求点 到平面 距离的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)先由线面平行的性质定理证 ，再证四边形 为平行四边形；(2)建系并设 ，求平面 的法向量，将距离表示为 的函数求值域． 【详解】(1)证明：∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴（依据：线面平行的性质定理）， 取 的中点 ，连接 ， ∵ 为 的中点，∴ 且 （依据：三角形中位线定理）， 又 且 ，∴ 且 ， ∴四边形 为平行四边形，∴， 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 （依据：线面平行的判定定理）． (2)解：取 的中点 ，连接 ，∵ 是正三角形，∴， 又平面 平面 ，交线为 ，∴ 平面 （依据：面面垂直的性质定理）， ∵，，∴，∴， 以 为原点， 所在直线为 轴建系， ∵，，∴，则 ，，，，， 设 ，，则 ，又 ， 设平面 的法向量 ，则 ，即 ， 令 ，得 ，，∴， ∵，∴点 到平面 的距离 （依据：点到平面的距离公式）， 当 时，； 当 时，， ∵ 时 ，∴， ∴（依据：二次型式子的值域）， 综上，点 到平面 距离的取值范围是 ． 12．（15分）（2026重庆一中期中 15）如图为正四棱锥 ， 为底面 的中心，，． (1)求点 到平面 的距离； (2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)；(2) 【分析】由 底面得建系依据：(1)求平面 的法向量，由点面距公式求解；(2)求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】解：∵ 平面 ，底面为正方形，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）； 由 ， 得 （勾股定理）， 故 ，，，，； (1)设平面 的法向量 ，由 ， 得 ，即 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 又 ， ∴点 到平面 的距离 （点到平面的距离公式）； (2)由 为 的中点得 ，∴（中点坐标公式）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步）； 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 期中专项复习 · 高二教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $