第14章全等三角形分层作业-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章全等三角形分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•龙口市期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6 2．（2026秋•东台市月考）下列作图中，点M到AB，BC两边距离相等的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•南充期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 4．（2026秋•行唐县月考）如图，已知△ABC≌△DEF，点C在DE边上，CD平分∠BCA，DF与BC交于点G．若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．34° B．40° C．44° D．30° 5．（2025秋•温江区校级同步）若△ABC的三边长为a、b、c，且，则△ABC的三个角的角平分线交点到AB边的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026春•新城区期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°； ②∠ADE＝∠CDE；③四边形ABCD的面积等于AE×DE；④AD＝AB+CD．四个结论中成立的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①② 二．填空题（共6小题） 7．（2026•达州）如图，AB∥DE，BE＝FC．请你添加一个条件_________________ ，使得△ABC≌△DEF． 8．（2025秋•绵阳期末）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 ________ ． 9．（2026春•通川区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接CD，BE．若∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝_____ ． 10．（2026秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF＝_______ 度． 11．（2026春•苏家屯区期末）如图，∠DAB＝∠EAC＝65°，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是_________ ． 12．（2025秋•伊通县期末）如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________ ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•兴宁市期末）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC． 14．（2025秋•武城县期末）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：DE＝DF； （2）若BG＝CA，DE＝4，求AG的长． 15．（2026•滨湖区校级二模）如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积． 16．（2025秋•沭阳县校级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，且点E，F在线段AD上，且∠BED＝∠DFC＝∠BAC． （1）求证AF＝BE； （2）若，S△BDE+S△AFC＝6，求S△ABC． 17．（2026春•广州期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1）、点Q（x2，y2），若满足x1x2+y1y2＝m，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶元元点”，例如：点P（﹣4，3）与Q（1，2）互为“2阶元元点”． （1）下列选项中，是点A（1，2）的“8阶元元点”的有_______ （填序号）； ①（4，2）； ②（2，1）； ③（﹣2，5）． （2）点A（1，2）和点B（4，a）互为“2026阶元元点”，求a的值； （3）若点C（m+7，3m﹣1）到两条坐标轴的距离相等，且与点A（1，2）互为“a阶元元点”，求a的值． 18．（2026秋•杭州月考）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝θ． （1）如图1，当θ＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系． （2）如图2，当0°＜θ＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 19．（2026春•鼓楼区校级期末）已知：如图1，在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I． （1）试探究∠BIC和∠A的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当∠A＝90°时，点F在边CA上，且CF+BE＝BC，连接IF． ①求证：IF⊥CE． ②若AB＝8，AC＝15，BC＝17，求AF的长． 20．（2026春•东城区校级期中）已知直线AB∥CD，直线EF交AB，CD于点E，F，点M，N分别为射线EB，射线FD上的点，点P在直线EF上． （1）如图1，点P在线段EF上，∠EMP＝30°，∠MPN＝70°，则∠FNP的度数为________ ； （2）作∠EMP的角平分线MG，射线MG的反向延长线与∠DNP的角平分线NH交于点H． ①点P在线段EF上时，在图2中补全图形，写出∠MHN与∠MPN的数量关系，并说明理由； ②点P在直线EF上时，直接写出∠MHN与∠MPN的数量关系． 第14章全等三角形分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•龙口市期末）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠C＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6 【解答】解：A、3+4＝7＜8，不满足三角形的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，不能画出唯一的△ABC，不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，符合题意． D、一边一角无法确定三角形，不能画出唯一的△ABC，不符合题意， 故选：C． 2．（2026秋•东台市月考）下列作图中，点M到AB，BC两边距离相等的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据作图痕迹逐项分析判断如下： 由作图得，选项A中点M在∠ABC的平分线上， ∴点M到AB，BC两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在∠ABC的平分线上，不符合题意． 故选：A． 3．（2025秋•南充期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【解答】解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′＝∠A，A′B′＝AB，∠B′＝∠B， 符合全等三角形的判定定理ASA， 故选：A． 4．（2026秋•行唐县月考）如图，已知△ABC≌△DEF，点C在DE边上，CD平分∠BCA，DF与BC交于点G．若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．34° B．40° C．44° D．30° 【解答】解：由题意可得： ∠CGF＝∠D+∠BCD，∠D＝30°，∠CGF＝88°， ∴∠BCD＝58°， ∵CD平分∠BCA， ∴∠BCA＝2∠BCD＝116°， ∴∠EFD＝∠BCA＝116°， ∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠EFD＝34°． 故选：A． 5．（2025秋•温江区校级同步）若△ABC的三边长为a、b、c，且，则△ABC的三个角的角平分线交点到AB边的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵b2+|c﹣5|＝8b﹣16， ∴（b﹣4）2+|c﹣5|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 解得a＝3，b＝4，c＝5， ∵a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°， 设△ABC的三个角的角平分线交点到AB边的距离为h， ∴（3+4+5）h3×4， 解得h＝1， 即△ABC的三个角的角平分线交点到AB边的距离为1． 故选：A． 6．（2026春•新城区期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°； ②∠ADE＝∠CDE；③四边形ABCD的面积等于AE×DE；④AD＝AB+CD．四个结论中成立的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①② 【解答】解：如图，过E作EF⊥AD于F， ∵AB⊥BC，AE平分∠BAD， ∴BE＝EF， 在Rt△AEF和Rt△AEB中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）， ∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB， ∵点E是BC的中点， ∴EC＝BE， ∴EC＝EF， 在Rt△EFD和Rt△ECD中， ， ∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL）， ∴DC＝DF，∠ADE＝∠CDE，∠FED＝∠CED，故②正确； ∴AD＝AF+FD＝AB+DC，故④正确； ∵∠AEB+∠AEF+∠DEF+∠DEC＝∠BEC＝180°， ∴，故①正确． ∵， ∴S四边形ABCD＝2S△ADE＝AE•DE，故③正确． 综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•达州）如图，AB∥DE，BE＝FC．请你添加一个条件AB＝DE（答案不唯一）　 ，使得△ABC≌△DEF． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝FC， ∴BE+EC＝FC+EC， ∴BC＝EF， ①当添加AB＝DE时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； ②当添加∠A＝∠D时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ③当添加∠ACB＝∠F时， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：AB＝DE（答案不唯一）． 8．（2025秋•绵阳期末）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 　45°　 ． 【解答】解：如图， 在△ABC与△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴∠1＝∠CED， ∵∠CED+∠2＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 9．（2026春•通川区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接CD，BE．若∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝　3　 ． 【解答】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． ∴AB＝AC＝5，AE＝AD＝2， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣2＝3． 故答案为：3． 10．（2026秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF＝　65　 度． 【解答】解：∵∠A＝50°， ∴∠B＝∠C（180°﹣50°）＝65°， ∵BD＝CE，∠B＝∠C，BF＝CD， ∴△BFD≌△CDE（SAS）， ∴∠BDF＝∠CED， ∵∠BDF+∠EDF＝∠C+∠CED， ∴∠EDF＝∠C＝65°， 故答案为：65． 11．（2026春•苏家屯区期末）如图，∠DAB＝∠EAC＝65°，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是　115°　 ． 【解答】解：∵∠DAB＝∠EAC＝65°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠EAC， ∴∠DAC＝∠EAB， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB（SAS）， ∴∠E＝∠ACD， 又∵∠AFE＝∠OFC， ∴∠EAF＝∠COF＝65°， ∴∠DOE＝180°﹣∠COF＝115°． 故答案为：115°． 12．（2025秋•伊通县期末）如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝　55°　 ． 【解答】解：∵PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵PA＝PB，OP＝OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP∠AOB＝25°， ∴∠PCA＝∠AOP+∠OPC＝55°， 故答案为：55°． 三．解答题（共8小题） 13．（2026春•兴宁市期末）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC． 【解答】证明： 如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC， ∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°， ∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°， ∴∠DAF＝∠C， 在△ADF和△CDE中 ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴AD＝CD． 14．（2025秋•武城县期末）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：DE＝DF； （2）若BG＝CA，DE＝4，求AG的长． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠F＝∠BED＝90°（垂直的定义）， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF（全等三角形对应边相等）； （2）解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF（全等三角形对应边相等）， 在Rt△BEG和Rt△CFA中， ， ∴Rt△BEG≌Rt△CFA（HL）， ∴EG＝FA（全等三角形对应边相等）， ∴AG＝EF， ∵DE＝DF＝4， ∴EF＝DE+DF＝8， ∴AG＝EF＝8． 15．（2026•滨湖区校级二模）如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积． 【解答】（1）证明：∵△ABC 的两条高 AD，CE 交于点 F， ∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴∠BCE+∠B＝∠DAB+∠B＝90°，即∠BCE＝∠DAB（同角的余角相等）， 在△CEB 与△AEF 中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）； （2）解：∵△AEF≌△CEB， ∴AE＝CE，EF＝EB（全等三角形对应边相等）， ∵BE＝4，CF＝5， ∴EF＝4， ∴CE＝AE＝CF+EF＝9， ∴， 则△ACF的面积为22.5． 16．（2025秋•沭阳县校级期末）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，且点E，F在线段AD上，且∠BED＝∠DFC＝∠BAC． （1）求证AF＝BE； （2）若，S△BDE+S△AFC＝6，求S△ABC． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD， ∵∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD，∠ABE＝∠BED﹣∠BAD， ∴∠CAF＝∠ABE， ∵∠CFA+∠DFC＝180°，∠AEB+∠BED＝180°，且∠BED＝∠DFC， ∴∠CFA＝∠AEB， 在△AFC和△BEA中， ， ∴△AFC≌△BEA（AAS）， ∴AF＝BE． （2）解：由（1）得△AFC≌△BEA， ∴S△AFC＝S△BEA， ∴S△ABD＝S△BDE+S△BEA＝S△BDE+S△AFC＝6， ∵BDBC， ∴S△ABDS△ABC， ∴S△ABCS△ABD6＝21． 17．（2026春•广州期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1）、点Q（x2，y2），若满足x1x2+y1y2＝m，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶元元点”，例如：点P（﹣4，3）与Q（1，2）互为“2阶元元点”． （1）下列选项中，是点A（1，2）的“8阶元元点”的有　①③　 （填序号）； ①（4，2）； ②（2，1）； ③（﹣2，5）． （2）点A（1，2）和点B（4，a）互为“2026阶元元点”，求a的值； （3）若点C（m+7，3m﹣1）到两条坐标轴的距离相等，且与点A（1，2）互为“a阶元元点”，求a的值． 【解答】解：（1）①∵1×4+2×2＝8， ∴点（4，2）是点A（1，2）的“8阶元元点”； ②∵2×1+1×2＝4≠8， ∴点（2，1）不是点A（1，2）的“8阶元元点”； ③∵﹣2×1+5×2＝8， ∴点（﹣2，5）是点A（1，2）的“8阶元元点”； 故答案为：①③； （2）∵点A（1，2）和点B（4，a）互为“2026阶元元点”， ∴1×4+2a＝2026， ∴a＝1011； （3）由条件可知|m+7|＝|3m﹣1|， ∴m+7＝3m﹣1或m+7＝﹣（3m﹣1）， ∴m＝4或； 当m＝4时，m+7＝11，3m﹣1＝11， ∵点C（m+7，3m﹣1）与点A（1，2）互为“a阶元元点”， ∴a＝1×11+2×11＝33； 当时，， ∵点C（m+7，3m﹣1）与点A（1，2）互为“a阶元元点”， ∴； 综上所述，a的值为33或． 18．（2026秋•杭州月考）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝θ． （1）如图1，当θ＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系． （2）如图2，当0°＜θ＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下， ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝CA， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （2）（1）中结论DE＝BD+CE仍然成立，证明如下， ∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝θ， ∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣θ， ∴∠DBA＝∠EAC， ∵AB＝CA， ∴△DBA≌△EAC（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE． 19．（2026春•鼓楼区校级期末）已知：如图1，在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I． （1）试探究∠BIC和∠A的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当∠A＝90°时，点F在边CA上，且CF+BE＝BC，连接IF． ①求证：IF⊥CE． ②若AB＝8，AC＝15，BC＝17，求AF的长． 【解答】（1）解：，理由如下： ∵在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I， ∴， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∵∠BIC+∠IBC+∠ICB＝180°， ∴； （2）①证明：如图2所示，在BC上截取BH＝BE，连接IH， ∵在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I， ∴∠IBE＝∠IBH，∠ICH＝∠ICF， 又∵BE＝BH，BI＝BI， ∴△BEI≌△BHI（SAS）， ∴∠BEI＝∠BHI， ∴180°﹣∠BEI＝180°﹣∠BHI， ∴∠AEC＝∠IHC； ∵BC＝BE+CF， ∴CF＝BC﹣BE＝BC﹣BH， ∴CF＝CH， 又∵CI＝CI， ∴△CIF≌△CIH（SAS）， ∴∠CIF＝∠CIH； ∵∠A＝90°， ∴∠AEC+∠ACE＝90°， ∴∠IHC+∠ICH＝90°， ∴∠CIH＝90°， ∴∠CIF＝90°， ∴IF⊥CE； ②解：如图所示，过点E作ET⊥BC于点T， ∴∠ETC＝90°＝∠A； ∵CI平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠TCE， 又∵CE＝CE， ∴△ACE≌△TCE（AAS）， ∴EA＝ET； ∵， ∴，即， ∴， ∵BC＝BE+CF， ∴， ∴． 20．（2026春•东城区校级期中）已知直线AB∥CD，直线EF交AB，CD于点E，F，点M，N分别为射线EB，射线FD上的点，点P在直线EF上． （1）如图1，点P在线段EF上，∠EMP＝30°，∠MPN＝70°，则∠FNP的度数为　40°　 ； （2）作∠EMP的角平分线MG，射线MG的反向延长线与∠DNP的角平分线NH交于点H． ①点P在线段EF上时，在图2中补全图形，写出∠MHN与∠MPN的数量关系，并说明理由； ②点P在直线EF上时，直接写出∠MHN与∠MPN的数量关系． 【解答】解：（1）作PQ∥AB交EF于点P， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PQ， 又∵∠EMP＝30°，∠MPN＝70°， ∴∠MPQ＝∠EMP＝30°∠FNP＝∠NPQ＝∠MPN﹣∠MPQ＝70°﹣30°＝40°， 故答案为：40°； （2）①补全图形如下： 数量关系是2∠MHN+∠MPN＝180°， 由（1）得∠MPN＝∠EMP+∠FNP， 作KH∥AB交HN于点H， ∴KH∥AB∥CD， 又∵MG平分∠EMP，NH平分∠DNP， ∴， ， 即∠EMP＝2∠EMG＝2∠KHM，∠FNP＝180°﹣2∠HND＝180°﹣2∠KHN， ∴∠MPN＝∠EMP+∠FNP， ＝2∠EMG+180°﹣2∠HND ＝2∠KHM+180°﹣2∠KHN ＝2∠KHM+180°﹣2（∠KHM+∠MHN） ＝2∠KHM+180°﹣2∠KHM﹣2∠MHN ＝180°﹣2∠MHN， 即2∠MHN+∠MPN＝180°； ②当点P在点E上方时，作PQ∥AB交EF于点P，JH∥AB交NH于点H，如下图： ∴PQ∥JH∥AB∥CD， 又∵MG平分∠EMP，NH平分∠DNP， ∴∠QPM＝∠EMP＝2∠AMG＝2∠BMH，∠QPN＝∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2∠HNP，∠BMH＝∠MHJ，∠JHN＝∠HND＝∠HNP， ∴∠MHN＝∠MHJ+∠JHN＝∠BMH+∠HNP， ∴∠MPN＝∠QPN﹣∠QPM ＝180°﹣2∠HNP﹣2∠BMH ＝180°﹣2（∠BMH+∠HNP） ＝180°﹣2∠MHN， 即2∠MHN+∠MPN＝180°； 当点P在点F下方时， 射线MG的反向延长线与∠DNP的角平分线无交点； 综上，点P在直线EF上时，2∠MHN+∠MPN＝180°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $