广东实验中学越秀学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026学年第一学期10月月考高二数学试题 班级： 学号： 姓名： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线过点A(1,0),B(0,-√3，则直线的倾斜角为() D A若 B号 C D. B D 2.如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为 坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是() A.(0,3,2) B.(0,4,2) C.(4,0,2) D.2,3,4) 3.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，若AB=d,AC=,AD=C,则DE=() A.za+zb-d B.zd+zb+d c-拉-五+ D.拉+场+ 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=(2,-1,-4,AD= (4,2,0),AP=(-1,2,-1),则直线PA与底面ABCD的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.在平面内 D.成60°角 5.直线l1:ax-y+b=0与l2:bx-y+a=0(其中a≠0，b≠0，a≠b),在同一平面直角坐标系中的图象可能是 图中的() 试用，” 6.已知空间向量a=(2,1,2),=(-1,4,-3),元=(1,2,3)，若向量a,b,共面，则实数的值为() A.-2 B.2 C.-1 D.0 H 7.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE,且满足 A丽=AE+21AD+(-)A正，则P到AB的距离为) A B号 c 8.在四面体P-ABC中，Q为△ABC的重心，E,F,G分别为侧棱PA,PB,PC 第1页，共4页 上的点，若所-号，所-号丽，P元-托，PQ与平面EFG交于点D,则品(） AS Bo c D 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.己知ABCD-A1B1C1D1是正方体，则正确的结论有() A.A1A+AD1+A B1=A1C B.A1C·AB1=0 C.向量AD与向量A1B的夹角为60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为AB·AA1·AD1 10.下列说法正确的有() A.点斜式方程y-yo=k(x-xo)可表示过点P(xo,yo)的所有直线 B.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则点（飞，b)在第二象限 C.过点(2，-1)，且倾斜角为120°的直线的点斜式方程为y+1=-V3(x-2) D.斜率为-2，且在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x士3 11.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2,点P在线段B1C上（不含端点），则() A.不存在点P,使得AB11BP B.△ABP面积的最小值为2W2 C.PA+PB的最小值为有2W7+6 水印 D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值 B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线经过点P(√2,1)，且倾斜角等于直线y=-√3x+3的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为」 13.已知三个空间向量a,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60若kd++>√6，则k的取值范围 为 14.己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点.若点P是线段B1C1上的点，且BP1A1E,则线 段A1P的长为」 ;若点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上的动点，且BP1A1E,则线段A1P的最小 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本题13分)己知直线l1:(m+2)x+my-8=0与直线l2:mx+y-4=0,m∈R. (1)若l11l2,求m的值； (2)若点P(1,m)在直线2上，直线过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 第2页，共4页 16.(本题15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别为B1C1和AB的中点，设AB=a,AC=b, AA1=C. (1)用d,b,c表示向量D (2)若1AB=|AC=1,AA=2,∠A1AB=∠BAC=60°，∠A1AC=90°，求DE.BC. B D A B E 水印 17.(本题15分)已知A(4,0),B(1,2),C(m,m),D(7,-1 (1)若直线AB与CD平行，求m的值； (2)若△ABC为直角三角形，求m的值. 第3页，共4页 18.(本题17分)已知等腰梯形ABCD如图1所示，其中AD/BC,∠BAD=45°，点E在线段AD上，且BE⊥AD, AD=3BC,现沿BE进行翻折，使得平面ABE⊥平面BCDE,所得图形如图2所示. (1)证明：CD1AE; (2)已知点F在线段CD上（含端点位置），点G在线段AF上（含端点位置）. ()若CF=2DF,，点G为线段AF的中点，求AC与平面BEG所成角的正弦值； (探究：是否存在点F,G,使得AF1平面BEG,若存在，求出Ac的值；若不存在，请说明理由. AF B 图 图2 19.(本题17分) 水印 在三棱锥P-ABC中，A(3,0,0),B(0,0,2),C(0,4,0),P(3,4,2) (1①)E是AB的中点，F是PC的中点，求异面直线PE与BF所成角的余弦值. (②对于实数a1,b1,a2,b2,称8为二阶行列式，定义一种运算：b别=，-，b1对于向量a= 1a2b,1 az b2 《,z小，石=(x,z).称a×为与的向量积，定义一种运算：a×万=(（似；到引，险)试计 就，=需品关说明这一运算的几何意文。 (3)在(2)的基础上计算PA·的值，指出PA·o的几何意义，并求出三棱锥P-ABC的体积. 第4页，共4页 2026学年第一学期10月月考高二数学试题 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：直线过点A(1,0),B(0,-√3，则直线的斜率为k=+-√3， 1-0 设直线的倾斜角为8，所以tan6=√3,6∈[0，m),所以直线的倾斜角为5故选：B. 2.【答案】A 【解析】因为DB1=(4,3,2),D为坐标原点，所以B1(4,3,2),所以BC1=4,IDC1=3,ICC1=2,所以C1的坐标 为(0,3,2).故选A. 3.【答案】A 解：因为点E是BC的中点， 所以DE=(DE+DC)=DB+DC=(DA+AB+(DA+A⊙)=-AD+AB+2AC=a+号B-元. 4.【答案】B 水 解：AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP-(-1,2-1), AP.AB=(-1)×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0,同样APAD=0, .AP⊥AB,AP1AD,又AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD,·AP1平面ABCD, 故直线PA与平面ABCD的位置关系是垂直，故选B. 5.【答案】B 6.【答案】A 【解析】解：若向量a,b,c共面，存在实数x,y使得b=xa+y元。 即(-1,4，-3)=x(2,1,2)+y(1,2,3)=(2x+y,x+2y,2x+3y), 2x+y=-1 所以x+2y=u解得x=0,y=-1,4=-2。 (2x+3y=-3 第1页，共8页 7.【答案】C 解：根据题意以AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴，A为坐标原点建立空间直角坐标系如图， 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1), P A丽=1,0,0)+21(0,1,0)+（分-）(00,1)=(4,22,2-) P(4223-),P=(年21-3-)，E丽=(1,0，-1)，D丽=(1，-1,0)， 设平面EBD的一个法向量为元=(x,y,Z), 测低语=8=，.pc. 丽1元距元=+2孔+(-号-)=0，得乳=子P(号}， ∴丽=(1,00,4P=(层行)， ·COS∠PAB= AB·AP IABLIAPI 1x+品 “P到A8的距离为A可：s血PAB=√品+计品×- 6 .故选：C。 8.【答案】A 解：如图，设AB的中点为R,PR∩EF=S,连接SG. 水印 由P,R,C,Q,S,G共面可知，PQ与平面EFG的交点即PQ与SG的交点D. 因为PE=PA,pF=PB,pG-PC, 设P=PR,(0<1<1), 则P顾=P网+P丽，设丙=xPE+(1-)丽=PA+2p丽，(0<x<), 则Pm+22p丽=1(P+P,故：月2 怎是要做：2-2x=x解得：x后代入好- 3 可得：入=即p-PR, 由重心性质可得：p0=PR+P元，设PD=P0,0<<1), 又P而=y+(1-y)Pc=gP吸+号之P元，(0<y<1),则gP吸+号p元=(P吸+号PG, 故： g=， 解得 = 台放0-合则品-导旅态4 9 y=3 第2页，共8页 9.【答案】AB 【解析】A中，由空间向量的运算法则，可得A1A+A1D+A1B1=A1D+A1B1=A1D+DC=A1C,所以A正确； 对于B中，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得BC1平面ABB1A1,因为AB1C平面ABB1A1,所以AB1⊥BC,又因 为AB11A1B,且A1B∩BC=B,A1B,BCC平面A1BC,所以AB11平面A1BC,因为A1CC平面A1BC,所以AB11 A1C,所以A1C·AB1=0,所以B正确； 对于C中，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AD1平面ABB1A1,因为A1BC平面ABB1A1,所以AD1A1B,所以 AD1A1B,所以向量AD与向量A1B的夹角为90°，所以C错误； 对于D中，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AB·AA1·AD=0,该正方体的体积为AB·AA·AD,所以D 错误. 10.【答案】BC 11.【答案】BD 解：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，取BC的中点O,连接OA,由题意得OA1BC, 又BB1⊥底面ABC,AOC底面ABC,.B1B⊥AO, 又B1B∩BC=B,B1B,BCC平面CBB1C1,AO1平面CBB1C1, 在平面CBB1C1内作OzZ⊥BC, 则以O为原点，OA,OB所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AA1=AB=2,所以A(0,√3,0)，B(-1,0,0) C(1,0,0),B1(-1,0,2),P(x,y,2),则C=(x-1,y,z CB1=(-2,0,2),设CP=1cB1(0<1<1),则(x-1,y,2)=2(-2,0,2), 解得x-1=-21,y=0,z=21,所以P(1-21,0,2), 对于A选项，AB1=(-1,-√3,2)，BF=(2-21,0,2), 要使AB11BP,即AB·丽=-1×(2-2)+4以=0，解得A=宁 当C币-CB时，AB11BP,故A选项不正确： 对于B选项，AB=(-1,-V3,0),AP=(1-2L,-V√3,2)，设LPAB=0, 则cos0=o<丽，币>需崇所以9-1 1AP2-(1+)2 =√72-61+3， lAPI 则5a:B即=合AF sin-BAP=方×2x1AP×aO2平 √7-P+号 第3页，共8页 因为0<入<1，所以当入=时，S4BP取得最小值，号-2，故B选项正确： B 7 对于C选项，将△BB1C和△AB1C沿B1C展开，如图所示， 连接AB交B,C于点T,可知PA+PB≥AB,当点P与点T重合时取得最小值AB, 由题意得，AC=2,BB1=2,AB1=2V2,BC=2,B1C=2V2, 所以cos4CB,A-88。-子sinCB1A- 2×8 C 则osAB,B=cs(uAB,C+-是x号-×号-35。国 8 在△ABB1中，由余弦定理得AB2=AB子+BB子-2XAB1XBB1×cosLAB1B =22+(2W2)2-2×2×2W2×32,=6+2N7,则AB=√6+2W7, 8 所以PA+PB的最小值为√6+2√7，故C选项错误； 对于D选项，Va4-PaB+Vc1-Pac=VA-B,+Va-c,=吉×宁×2×2XV3=号V3, 故D选项正确。 12.【答案】y-1=V3(x-V2) 水印 【解析】设直线y=-V3x+3的倾斜角为01，则斜率k1=tan01=-V3又0≤1<元，故01=号设直线的倾斜 角为0，则0=兰=了直线的斜率k=ta号=V3又直线经过点P(W2,1),则直线的点斜式方程为y-1= V3(x-V2).故答案为y-1=√3(x-V2). 13.【答案】(-∞，-3)U(1,+∞) 【解析】因为a,石，的模均为1，它们之间的夹角均为60°，所以2=万=2=1，石.方=元方=·c=)又 (ka+i+)2=k2a2++2+2ka.万+2ka.元+ 2元.万=k2+2k+3>6,所以k2+2k-3>0→(k+3)(k-1)>0→k<-3或k>1.故答案为(-∞，-3)U (1,+∞). 第4页，共8页 14【答案】罗，9 4 解：如图，建立空间直角坐标系，则A1(1,01),E(01,》,B(1,1,0), D 设P(x1,1),所以A1E=（-1,1,-)BP=(x-1,01), 因为BP1A1B,所以B丽.A1E=-(x-1)-=0,解得x=2 D为 所以P(传.1,1所以A,P=(1,0）,所以A,=（+12= 取B1C1的中点M,D1C1的中点N,连接BD、BM、MN、DNW、B1D1, 因为B1D1/BD,B1D1/MN,所以BD/MN,所以D、B、M、N四点共面， 又DE=(11,0),BM=（-,0,1),A1正=（-1,1，-) 所以A1E.DB=0,A1E·BM=0,即A1E1DB,A1E1BM, 又BD∩BM=B,BD,BMC平面DBMN,所以A1E⊥平面DBMN, 因为点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上的动点，且BP1A1E, 所以P在四边形DBMN的边上（除B点外）， 若点P在DN上，设P(0,y,2),(0≤y≤)》， 则1A,P=V1+严+(2y-可-50-)+g所以A,Plm ?y=甜取最小值： 当点P在DB上，设P(a,a,0),(0≤a<1), 则A,P川=1+a2+(a--√2(a-}+多所以A,Pln-√月 当a=时取最小值： 当点P在MN上，设P(,3+b,1,(0<b<) 则A,P叫-√（6+分》+-12-√26-}+旨所以A,Pm=景当b=时取最小值： 若点P在BM上，设P(c1,2-2c),(传≤c<1) 则AP叫-Vc-+1+1-2网-√5(c-)+台所以A,P叫m=层当c=时取最小值： 因号>台>层所以A,P叫如-J月即线段AP的设小值为平放答案为：票华 第5页，共8页 15.【答案】解：(1)由题意得：m(m+2)+m=0,解得：m=-3或0， 经检验，均满足要求，所以m=-3或0： (2)将点P(1,m)代入l2中，得m+m-4=0,解得：m=2, 因为直线过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线为y=kx,代入P(1,2),可得k=2,此时直线为 2x-y=0; 当两截距不为0时，设直线为+=1，代入P(1,2),可得n=-1,故此时 直线为x-y+1=0: 综上：直线的方程为2x-y=0或x-y+1=0. 16.【答案】解：(1)DE=DA+A1A+AE=-2(A1B+A1C-AA+2AB=-号3- (2)1AB=|AC=1,1AAl=2,∠A1AB=∠BAC=60°，∠A1AC=90°，BC=AC-AB=万-d, 所以6t=0,a万=a元=1，D呢.Bc=(-5-⑥-西=五-石+a万+元=是 17.【答案】解：(1)依题意可得kB=kcD,又因为A(4,0)B(1,2),C0m,m,D(亿，-1)，即2=0=，-m 1-4-7-m 解得m=号又kg=骨=多k知==言所以k4g≠，所以A、月、(、D四点不英线， 所以m=号 (②若A为直角，因为直线AB的斜率存在，且不为0，则8×kc-1,即得×-1，解得m=12, 若8为直角，因为直线AB的斜率存在，则ks×kac-1,即吕×子-1，解得m=1, 若C为直角，当4C,8c的斜率存在且不为0时，kc×c=-1,即×器导-1，解得m=生巴 4 综上，m的值为-1或12或±亚. 4 第6页，共8页 18. 【答案】(1)证明：因为平面ABE1平面BCDE,AE⊥BE, 平面ABE∩平面BCDE=BE,AEC平面ABE,所以AE⊥平面BCDE, 而CDC平面BCDE,故CDL AE; (2)解：由题意易知EB,ED,EA两两垂直， 故以E为坐标原点，EB,ED,EA所在直线 分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设BC=1,则BE=AE=号DE=1,AD=3BC=3,可得AE=BE=1, (1)因为LBAD=45°，等腰梯形ABCD中，BE1AD,CF=2DF,点G为线段AF的中点， 则A(00,1,C,10,B,00.E0.00).F(哈号0.G(后故丽=(1,00，c=(合， ,(x=0 设元=（化，，2）为平面BG的法向量，则·距=0，即 元.EG=0 后x+影+2=0令2=-5，则x=0,y=3, 可得元=(0,3，-5)为平面BEG的一个法向量，而AC=(1,1,-1), AC·元=0×1+1×3+(-1)×(-5)=8， 4C=√12+12+(-1)7=V3,=√02+32+(-5)2=√34， 所以sa配，列=隔-7是= AC元 8 51 设直线Ac与平面BBG所成的角为0,0E[0,],所以sin8=lcos(AC,列=4严， 51 (i)由题意D(0,2,0), 设EF=1E元+(1-)ED=(几，1,0)+(0,2-2λ，0)=(2,2-λ，0)，0≤1≤1， 故(22-1,0)，AF=(0,2-,-1), 设AG=AF=u几，2μ-uA,-),0≤u≤1，则G(M,2μ-几，1-四， 而EB=(1,0,0),EG=（0八，2μ-u%,1-), 若AF1平面BEG, 儒88即2-+k1=0 (入=0 解得-甘放当，D重合，点G的坐标为0号， AF1平面BEG,此时架-专 第7页，共8页 19. 【答案】（①四由题意可知E(侵，0,1），F(,41),P呢=（-3，-4-1)，B丽=(（层，4，-1) 所以cos(PE,,BF)= P正BF 69 PB丽=-77 因此异面直线Ps与BF所成角的余弦值为号 (2) 由题可得AB=(-3,0,2),AC=(-3,4,0), 所以丽×正-(4,6-引39)=(-8-6，-12.丽×4G=V64+36+14-26瓦 所以0= ABXAC 2W61 又0·AB=0,元0·AC=0,所以元01AB,元01AC又iol=1, 所以元，分别垂直于AB,AC,且为AB×AC方向上的单位向量（⑦，所在直线垂直于平面ABC). (3) 由趣意可知A=0,-42),则丽：元贵+品=2酒 =61 因为PA·元o|=PA·ocos(PA,ol=PA·cos(PA,元o,所以PA·元是PA在元方向上的射影， 因为元O1AB,元⊥AC,AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,所以元0为平面ABC的一个法向量， 所以PA·为点P到平面ABC的距离，即三棱锥P-ABC以△ABC为底面的高. 设a=（(x1y1,z1),万=(x2,y2,z2) 则a×万=（似2到居；刻引房》=0-z2z4出xx%-x 因为=x好+y好+z,=x好+y3+z经，sin位，=1-cos2a, 1 (x1x2+y1y2+z)2 (x+y+z)(+y吃+2) a·例sina,司=√（好+片+2）线+喔+z)-(x西+y2+212)2= Vy122-y221)2+(亿1x2-22x1)2+(x1y2-x2y1)2, 所以a·sin(a,)=|a×=√0y122-y22)2+(21x2-z2x1)2+(x1y2-x2y1)7 因为s.ABc=号A·ACsin-BAC=引A丽×AC=V6,h=PAl=24 61 所以V三搅-ABc=S.Ach=专×√6×24E=8. 61 第8页，共8页