湖南省长沙市南雅中学2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题

数学10月限时训练参考答案 2 6 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D A B C B ABC ACD AD 12. 13.16π 14.(0,-4) 8如图，设正三棱锥S-ABC的底面中心为O, 连接SO、AO并延长AO交BC于点D,连接SD 因为正三棱锥底面是正三角形，所以O是正△ABC的中心， AD⊥BC,又SO上底面△ABC,根据三垂线定理可得SD⊥BC, 则∠SDO就是侧面SBC与底面AABC所成二面角的平面角，即a=∠SDO, 因为SO⊥底面△ABC,所以∠SAO就是侧棱SA与底面ABC所成的线面角 即B=∠SAO 因为正三棱锥的对棱互相垂直，所以SA与BC所成的线线角B=90° sim(e+B÷0,日=9g,所以sma+月490j9 3 -=cos(a +8) 解法一：因为cos(a+B)=9 所以tan(a+B)=V2 因为底面正AABC的边长AB=4,则A0=名AD, 31 在正△ABC中，AD=√AB-BD=2W3,所以A0=V3,D0=子V3 设S0=A,ma=这=漫，amB=这= 4 mm6-》=2,即3通2+3v6-8=0 故tan(a+B)=ano+an月= 解得：克=（负值舍去） 所以BS=AS=A02+元2=V6 解法二：设∠DSA=Y,因为cos(a+B)=号，cosy=-9 3 在△ASD中，由余弦定理解得：AS=V6 所以BS=AS=√6 11.对于选项A:圆x2+y2-2x-3=0,即(x-1)2+y2=4,圆心为(，0)。半径r=2, 该圆圆心到直线1：xcos0+ysin0-cos0-2=0的距离d= -2 =2=r, cos20+sin2 所以直线1与圆x2+y2一2x-3=0相切，A说法正确； 对于选项B:圆C:(x-2)+(y-1)=16的圆心为C(2,1),半径=4， 圆C到直线1：rcos0+ysin0-cos0-2=0的距离 dc= 9t2m6gs0rmg-外5sma4升2 Vcos20+sin20 所以d。∈[2-V2,2+V2],即点C到1的最大距离为2+√2，B说法错误： 对于选项C:将直线方程变形为rcos0+ysin0-cos8-2=0, 假设直线1过定点(x,y),则(x。-1)cosB+ysin0=2对任意0恒成立， 当0=0时，得-1=2，解得名=3：当0=2时，得6=2， 将(3,2)代入方程，得2cos0+2sin0=2,即cos0+sin0=1,此式不恒成立，故假设不成立，直线I不 过定点，C说法错误； 当cos0=0,sin0=1时，直线1为y=2, 当cos0=0,sin0=-1时，直线1为y=-2, =-2没有交点，所以直线1不过定点，C说法错误： y=2 因为 对于选项D:因为AB到=2W2-d长=216-d8, aABC的面积S=Bldc=V6d-d, 令长=t,由C选项可得t∈[6-4v2,6+4], 因为函数y=-2+16t在6-4V2,8]单调递增，在8,6+4V2]单调递减， 所以ymx=-32+16×8=64,所以Smx=8, 所以△ABC的面积最大值为8，D说法正确； 14.圆x2+y2=4,∴.圆心为0(0,0)，半径r=2, 设点P份坐标为（小则以0P为直径的圆的方租为-空-(--兰， 将该方程和x2+y2=4相减得xx+yy。=4,即直线AB的方程为xx+y,=4, 由题意知直线AB过点(0，-1)，故x×0+(-1)y6=4,即y=-4即直线AB的方程为xx-4y=4, 点O(0,0)到直线B的距离为1=10-0-4 4 √x号+16V好+16' 2 则AB=2WFP2-亚=2,4- 4 16 =2.4 =4 名+12 +16 x+16 x6+16 又点P到直线A8的距离为4=名名-4x(-4)46+12 Vx6+(-4)2 √居+16 由于aPMB的面积为35，放ABa=x4 +12后+12 2V+16√名+16 35,即26+12+2-35， x6+16 设V份+12=1，则可得22 =3V3,即2t2-3√3t2-12√5=0， 2+4 即2-5j门3m2+365=0,即(-2503+i+60, 即得1-2√5=0或22+√5t+6=0, 对于22+V3t+6=0,△=(V3-4×2×6=-45<0,即该方程无解， 故t-2√3=0，即t=23,即√x+12=2V5,0=0，所以点P的坐标为(0，-4). 15.(10号 (2)18 (1)由题意得acosC+ccosA=2 bcosB, 由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2 sinBcosB, 由两角和的正弦公式得sin(A+C)=2 sinBcosB, 可得sin(r-B)=2 sinBcosB,即sinB=2 sinBcosB, 在△ABC中，可得sinB≠0，得到cosB=克 又因为BE(0,),所以B=音 (2)由三角形面积公式得SABc=×号。 ac=9v3, 解得ac=36,由余弦定理得b2=a2+c2-2 accosB=a2+c2-36=36, 化简得a2+c2=72,而(a+c)2=a2+c2+2ac=144,a+c=12, 故△ABC的周长为a+b+c=18. 16.(1)因为E,F分别是PB,PC的中点，所以EF1/BC, 又因为BCC面ABCD,EFE面ABCD,所以EFII面ABCD (2)取AD中点O,连接P0,则由题意得P0⊥AD 因为平面PADL平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,P0⊥AD,POC平面PAD 、 所以PO⊥面ABCD 则以OD为y轴的正方向，以OP为2轴的正方向，过点O作平行于AB且以AB为x轴的正方向， 则由题可得P(0,0,2V),B(4,-2,0),C(4,2,0),D(0,2,0), 故P=(4,-2,-2V3,PC=(4,2,-2V3),C而=（-4,00)， PC.n=0 设而PCD的法向量为n=(x,y,2),则 CD.=0 即+2y22=0,令y=5, -4x=0 则解得n=(0,V3,), 设直线PB与平面PCD所成角为O, 则sin9=cos(位，P⑧引= |P呢 0-2V3-2W3 P J(W32+12×√16+4+12 4 17.(1) i)√5 ii)(x-3)}+(y-2)2=8,(x-7)2+(y+2)}2=8 (2) x2+y2+x+2y=0 (1) i)设圆心C(a,5-a),圆心C到l,的最小距离2q为d=+5-a-3.2, ii)由题意易知半径为r √2+6=22 因为圆C经过点A(5,0), 所以C4=V(a-5)2+(5-a}2=22,解得a=3或a=7,即C(3,2)或C(7,-2), 则圆C的标准方程为(x-3)2+(y-22=8,(x-7}2+(y+2)2=8 (2)因为圆心在第一象限，故圆心C(3,2)。设圆心C(3,2)关于4的对称点为C(x), [+3+b+2-1=0 2 2 则 %-2 解得/61 =1 。=-2则c(-1,-2), x-3 因为过原点O的直线m交圆C于M,N两点，弦MN中点为2， 当点9与点O,C都不重合时，O21C2,则2在以C0为直径的圆上， 显然点0C在此圆上，因此此圆的圆心为'0)可（合小 此圆的半径为1-0妒+(2-可呼-，则Q载遮方程为+号+0+旷-即+y+x+2=0 18.(1)1 2)[-1, (3)(4,4) (1)当a=0时，f(x)=2sin2x+3,则f(x)的最小值为-2+3=1， 此时2x=2+（ke2列，解得x=a+平(keZ列. 故f(x)的最小值为1，且f(x)取得最小值时x的取值集合为 xx=km+ (2)由题意可得g(y=3x2,3=3- 6 2*+1 2*+1 因为y=2+1在[-1，上单调递增，所以g(x)在[-1，上单调递增， 因为g(-1)=-1，,g(1)=1,所以g(x)在[-1，]上的值域为[-1，] (3)对任意的x∈R,总存在为∈[-l,],使得f(x)>g(3)成立， 所以f(x)>g(x2)=-1, 设1=+ox=n(+引e[5列，则m2=f-1. 设h()=2r-at+1(-2≤t≤2)， 当导<，即a<4时，易证0在[反，v]上单调道， 则h(0)n=h(-V②)=V2a+5,即f(x)mn=V2a+5>-1,得-3√2<a,又a<-4V2,此时无解； 当-V2≤4≤V2,即-4V2≤a≤42时， 因为0在[一5，引上华词递减，在〔子 2上单调递增， 所以0w-)-10=1-写>1得4a4 当分>5，即a>42时，易证在[-5，]上单调滤减。 则h)mi=h(V2)=5-V2a,即f(x)m=5-V2a>-1,得a<3V2,又a>4V2,此时无解. 综上，a的取值范围是(-4,4) 19.(1)AB=(-2,0),AC=(3,4),AB×AC=-2×4-3×0=-8 SAABC=×2×4=4:则SAABC=AB×Ad (2)设圆上动点P(cos0,sin) PA =(1-cose,-sine),PB=(-cose,1-sine) PAx PB=(1-cose)(1-sin0)-(-sine)(-cose) =1-sin8-cos6=1-v2sin(8+9)e[1-V2,1+V2] 所以IPA×PB最大值为1+V2 (3)法1：圆C的圆心为C(1,2),半径r=1。 10C1=V3-1)2+(4-2)2=√22+22=v8=2V2 由切线长公式：1QM1=1QNW=√1Qc2-r7=(2W2)2-12=V8-1=V7 设∠MQN=B。QC平分∠MQN,在Rt△QMC中： sn子=8=嘉=装cos=1-sim2号=、1-日=-9 8 66 。V2V14V7 sin0=2 sin 2 cos-2=2·4·4=4 由叉积几何意义：1QM×QM=IQM·lQN·sin8=V7.V7.5=75 下证：AB=(&,y,AC=(x2,y2),SAABC=x12-x2y1引AB×Ad, 因为SAABC=ABIIACIsin∠BAC2 IABIIACI1-cos2∠BAC /(ABIACI2-(AB·AC2 下证1a×b12+(a·b)2=|a21b12 代入坐标展开： 1a×b12=(x1y2-x2y1)2=x3y2-2x1x2y1y2+xy1 (a·b)2=(x1x2+y1y2)2=x好x3+2x1x2y1y2+yy3 两式相加： 左边=x+好+x好好+3，恒等式得证。 =(x+y1)(x吃+y)=a21b12 法2：圆C:圆心C(2,1),半径T=2,Q(0,3):10C!=V(2-0)2+(1-3)2=2V2 my。 切点M,N在以CQ为直径的圆上，记为圆C:(x-2)2+(y-3)2=2 圆C与圆C,作差得公共弦MN所在直线方程：2x+2y-7=0 圆心C到直线MN的距离为d-是弦长MN-2v-d正=四 点Q到直线MN的距离为h=Y2 由又积几何意义：IQM×QM=2SA0N=79 4 法3：圆C:圆心C(2,1),半径r=2,Q(0,3),1QC1=√(2-0)2+(1-3)2=2V2 切点M,N在以CQ为直径的圆上，记为圆C1:(x-2)2+(y-3)2=2 圆C与圆C,作差得公共弦MN所在直线方程：2x+2y-7=0 设M(x1,y1),N(x2,y2),QM=(x1-3,y1-4),QN=(x2-3,y2-4) 则QM×QN=(x1-3)(y2-4)-(x2-3)(y1-4) =(x-3)(号-x2-4)-(x2-3)(-x1-4) 子(x2-x) 联立2x+2y-7=0与6x-P2+0-22=1得82-20x+9=0,得k2-x=g 所以QM×QN-k2-x2 数学 10月限时训练 时量: 120分钟 总分: 150分 一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.设集合 集合 则A∩B=( ) A. [0,1) B. (-2,1) C. [0,2) D. (-∞,2) 2.已知复数z=1-i,则复数 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量 且 则m= ( ) A. 2 C. -1 D. -2 4.为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动.甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为 ，乙猜对的概率为 ,甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为( ) B. C. 5.如图为函数 的部分图象， 且点 在图象上，则f(x)的单调递增区间为( ) 6.已知 则( ) A. c>a>b B. a>b>c C. b>a>c D. b>c>a 7.已知圆 直线l:(1-3m)x+(m+2)y+1+4m=0与C交于A, B两点,则数量积 的最小值为( ) A. 2 B.4 C.8 D.16 8.在正三棱锥S-ABC中，侧面与底面所成二面角的平面角为α，侧棱与底面所成的线面角为β，对棱所在异面直线所成的线线角为θ，已知 且AB = 4, 则侧棱BS的长为( ) A. 2 B. C. 2 二、多选题(本大题共3道小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.关于空间向量，以下说法正确的是( ) A.若向量 的夹角是锐角，则 B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若 则P,A,B,C四点共面 D.若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10.已知函数下列结论正确的是 ( ) A. f(x)无最值 B. 若f(a)=2, 则a=-1 C. 若f(a)≥4, 则a≤-2或a≥82 11. 已知直线l:(x-1)cosθ+ysinθ-2=0与圆C 相交于A，B两点，则下列结论正确的有 ( ) A.直线l与圆 相切 B.点C到l的最大距离为 C.直线l过一定点 D.△ABC的面积最大值为8 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知角α的终边过点 则cos2α=_______ 13. 已知∠ABC=120°,PA⊥平面ABC, 若PA= 2, 则四面体P-ABC的外接球(顶点都在球面上)的表面积为 14. 过圆 外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点(0,-1), 且△PAB的面积为3 ， 则点P的坐标为 三、解答题：本大题共5道小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小； (2)若 的面积为 求 的周长. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形， 为等边三角形，E，F分别是PB, PC的中点. (1)求证: (2)若平面求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 17.已知圆C经过点A(5,0),圆心C在直线 上，圆 C被直线 截得的弦长为 (1)若Q为直线l₂上一动点 i)求|QC|的最小值; ii)求圆C的标准方程； (2)若圆心C在第一象限，且圆C与圆C'关于直线 对称，过原点O的直线m交圆C'于M，N两点，求弦MN中点Q的轨迹方程. 18.已知函数 (1)当a=0时，求f(x)的最小值，并求f(x)取得最小值时x的取值集合； (2)求g(x)在[-1,1]上的值域; (3)若对任意的 总存在 使得 成立，求a的取值范围. 19.对平面向量 定义叉积运算： (1)已知 计算 的值，求 的面积，并写出 面积与向量叉积的数量关系(不需要证明)； (2)已知点A(1,0),B(0,1),点P为单位圆. 上的动点，求 的最大值； (3)已知圆 点Q(3，4)为圆外定点，过Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $