1.4.1　充分条件与必要条件课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.1　充分条件与必要条件 1 章节导读 1.1集合的概念 1.2 集合间的基本关系 1.3集合的 基本运算 1.4充分条件 与必要条件 集合的概念 集合的表示 空集 、 (真)子集个数 子集与真子集 并集及其性质 交集及其性质 补集与摩根定律 充分条件与必要条件 充要条件与集合的关系 集合 与元素 列举法描述法 1.5全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 两类命题的否定 1.4.1　充分条件与必要条件 学 习 目 标 1 2 3 会判断命题的真假，了解真命题与推出符号的关系. 理解充分条件、必要条件的概念并且掌握判断方法. 能利用充分性、必要性解决简单的含参数问题. 1.4.1　充分条件与必要条件 [教学重点]　 1. 充分条件、必要条件的概念，理解推出符号 的含义 2. 会根据“若p，则q”命题的真假，判断谁是谁的充分/必要条件 3. 初步建立集合视角理解条件关系（小范围推大范围） [教学难点]　 1. 必要条件的理解（本节课最大难点）：学生容易搞反逻辑—— ，则q是p的必要条件（通俗：没q一定没有p，“没它不行”，学生很难理解这种反向描述） 2. 准确区分条件p和结论q，避免推导方向颠倒 3. 自然语言、文字命题和符号语言之间的转化 1.4.1　充分条件与必要条件 前情回顾 命题的定义：用语言、符号或式子表达的 可以_________的___________。 判断真假 陈述句 命题的分类： 真命题： 假命题： 判断为真的命题 判断为假的命题 命题的形式： 若 p，则 q p称为命题的条件，q称为命题的结论 例.下列语句是不是命题， 并判断真假。 1.他太帅了！ 2.正方形的四条边相等。 3.x>3。 4.若x2-4x+3=0，则x=1。 5.你多大了？ 真命题 假命题 1.4.1　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 命题可以写成“若 p ，则 q ”，“如果 p ，那么 q ”等形式；其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．本节课我们将进一步考查：“若 p，则 q ”形式的命题中 p 和 q 的关系，学习两种常用的逻辑用语。 要想在高考中取得好成绩, 平时的努力学习是必要的. 废话文学 张三：“你饿了吗？” 李四：“饿了。” 张三：“为什么呀？” 李四：“因为我没吃饭。” 这个理由充分吗？ 1.4.1　充分条件与必要条件 “若 p ，则 q ”是真、假命题时，p与q之间有何关系呢？ 探究1：下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3) 若x2 －4x+3=0，则x=1； (4) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线 l，则a∥b． 在命题(1)(4)中，由条件p可以得到结论q，所以它们是真命题。 在命题(2)(3)中，由条件p不能得到结论q，所以它们是假命题。 1.4.1　充分条件与必要条件 1. 充分条件与必要条件： 充分条件与必要条件 定义：如果“若p,则q”为真命题，我们就说由p可以推出q， 记作 并且p是q的充分条件，q是p的必要条件。 如果“若p,则q”为假命题，那么由p不能推出q，记作p⇏q。 就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。 1.4.1　充分条件与必要条件 充分条件与必要条件的概念辨析 例如：若我是云南人，则我是中国人。 条件p：我是云南人 结论q：我是中国人 这是真命题 (2)我是中国人是我是云南人的必不可少条件。 我是中国人，是我是云南人的必要条件。 (1)若我是云南人，则有充分的理由说明我是中国人； 小范围: 云南人 大范围： 中国人 ⇍ ⇒ 1.4.1　充分条件与必要条件 问题1 找出将下列命题的条件p和结论q，并判断条件p和结论q的关系？ 问题2 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分条件， 则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要条件呢？ 问题3 判断充分、必要条件的步骤？ 问题4 已知p：实数x满足 ，q：实数x满足－2≤x≤3，若p是q的充分条件，求实数的取值范围? (2)若小贾是高中生，则小贾是高二学生。 (1)若小贾是高二学生，则小贾是高中生。 1.4.1　充分条件与必要条件 例1 找出将下列命题的条件p和结论q，并判断条件p和结论q的关系？ (2)若小贾是高中生，则小贾是高二学生。 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 q ⇏p q 是 p 的不充分条件 p 是 q 的不必要条件 条件p：小贾是高二学生 结论q：小贾是高中生 (1)若小贾是高二学生，则小贾是高中生。 条件p：小贾是高二学生 结论q：小贾是高中生 逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p 和结论q 互换， 得到一个新的命题“若q，则 p”，称这个命题为原命题的逆命题. 逆命题 1.4.1　充分条件与必要条件 方法总结 小范围 大范围 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ⇍ ⇒ 1.4.1　充分条件与必要条件 探究2 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分条件， 则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要条件呢？ B A 若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B 若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 小范围 大范围 1.4.1　充分条件与必要条件 充分、必要条件与集合的关系 2. 充分、必要条件与集合的关系： B A (1)若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B (2)若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 小范围 大范围 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} (3)若p不是q的充分条件：，则A⊈B； (4)若p不是q的必要条件：，则B⊈A； 1.4.1　充分条件与必要条件 例1 已知p：实数x满足 ，q：实数x满足－2≤x≤3，若p是q的充分条件，求实数的取值范围? 1.4.1　充分条件与必要条件 例2 集合P＝{x|－2＜x＜1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}. 若P 的必要条件为Q，求实数m的取值范围？ 解：由题意得，Q是P 的必要条件，所以，P是Q的子集， 1.4.1　充分条件与必要条件 方法总结 判断充分、必要条件的步骤 认清 找推式 确定逻辑关系 分清哪个是条件，哪个是结论 判断“若，则”及“若，则”的真假 根据推论及定义确定逻辑关系 “p⇒q”的几种等价表达： (1)p是q的充分条件 (2)q是p的必要条件 (3)q的充分条件是p (4)p的必要条件是q 1.4.1　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个________； 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个________ 充分条件 必要条件 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 【教用·微提醒】　(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)“p是q的充分条件”“q是p的必要条件”“q的一个充分条件是p”“p的一个必要条件是q”这四种表述形式等价． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 探究1　命题的概念与结构 [典例讲评]　1．将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式，并指出命题中的条件p和结论q． (1)有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形； (2)对顶角相等； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)若一个等腰三角形有一个内角是60°，则这个三角形是正三角形． 条件：一个等腰三角形有一个内角是60°． 结论：这个三角形是正三角形． (2)若两个角是对顶角，则这两个角相等． 条件：两个角是对顶角． 结论：这两个角相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分． 条件：一个四边形是平行四边形． 结论：这个四边形的对角线互相平分． (4)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形． 条件：一个四边形的对角线互相平分． 结论：这个四边形是平行四边形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 反思领悟　只要分清命题的条件和结论便可以很容易得出命题“若p，则q”． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [学以致用]　1．判断下列命题的真假． (1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形； (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数； (3)等腰三角形的底角相等； (4)矩形的对角线相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)因为三角形的内角和为180°，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为90°，那么第三个角为90°，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题． (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题． (3)根据等腰三角形的性质知等腰三角形的底角相等，该命题为真命题； (4)根据矩形的性质知矩形的对角线相等，该命题为真命题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 【教师·备选题】　将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)角平分线上的点到角两边的距离相等； (4)两角分别相等的两个三角形相似． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)条件：两个数的绝对值相等，结论：它们相等．“若p，则q”的形式： 若两个数的绝对值相等，则它们也相等． (2)条件：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论：这两条线段相等．“若p，则q”的形式： 若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (3)条件：平面上的点在一个角的角平分线上，结论：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式： 若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等． (4)条件：两个三角形的两个角分别相等，结论：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式： 若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 探究2　充分条件与必要条件 [典例讲评]　【链接教材P18例1、P19例2】 2．(源自苏教版教材)下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ (1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； (3)p：同位角相等，q：两条直线平行； (4)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)因为p⇏q，所以p不是q的充分条件． (3)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)因为p⇒q，所以p是q的充分条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 【教材原题·P18例1、P19例2】 例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若x2＝1，则x＝1； (5)若a＝b，则ac＝bc； (6)若x，y为无理数，则xy为无理数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由于(－1)2＝1，但－1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件． (5)由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)为无理数，但×＝2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； (4)若x＝1，则x2＝1； (5)若ac＝bc，则a＝b； (6)若xy为无理数，则x，y为无理数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [解]　(1)这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件． (2)这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以， q是p的必要条件． (3)如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但 它不是菱形，p⇏q，所以，q不是p的必要条件． (4)显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件． (5)由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件． (6)由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，p⇏q，所以，q不是p的必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 反思领悟　充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 [学以致用]　2．(1)(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 (2)使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4　　　 B．x>0 C．x>2 　 D．x<2 √ √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (1)BCD　(2)A　[(1)对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0，即a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD． (2)∵x>4⇒x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 √ 探究3　充分条件与必要条件的应用 [典例讲评]　3．(1)已知不等式m－1＜x＜m＋1成立的充分条件是－＜x＜，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (1)B　[由题意得m－1＜x＜m＋1}， 所以 解得－， 所以实数m的取值范围是． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (2)[解]　p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－≤a＜0， 所以实数a的取值范围是． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 反思领悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 √ [学以致用]　3．(1)设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是(　　) A．a≥2 　 B．a≤－1或a≥2 C．a≤－1 　 D．－1≤a＜2 (2)已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (1)A　[由q是p的必要条件，得{x|－1≤x＜2}⊆{x|x＜a}，所以a≥2．故选A．] (2)[解]　由题意得，P是Q的子集， 则解得－≤m≤0． 所以实数m的取值范围是． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 【教用·备选题】　(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ [解]　(1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2． 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要 ，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 课堂小结 小范围 大范围 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ⇍ ⇒ 1.充分条件与必要条件： 1.4.1　充分条件与必要条件 课堂小结 2.充分、必要条件与集合的关系： B A (1)若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B (2)若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 小范围 大范围 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} (3)若p不是q的充分条件：，则A⊈B； (4)若p不是q的必要条件：，则B⊈A； 1.4.1　充分条件与必要条件 应用迁移 随堂评估自测 1．若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 √ B　[因为p是q的充分条件，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 √ 2．(多选)(教材P18例1改编)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有(　　) A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 ABC　[由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意．故选ABC．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 3．用符号“⇒”“⇏”填空： (1)x－3＝0________(x－2)(x－3)＝0； (2)两个三角形相似________两个三角形全等； (3)a，b都是奇数________a＋b是奇数． ⇒　 ⇏　 ⇏　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 (1)⇒　(2)⇏　(3)⇏　[(1)因为方程(x－2)(x－3)＝0的根为x＝2或x＝3， 所以x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， 但(x－2)(x－3)＝0⇏x－3＝0，故填“⇒”． (2)两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似⇏两个三角形全等，故填“⇏”． (3)a，b都是奇数⇏a＋b是奇数，且a＋b是奇数⇏a，b都是奇数，故填“⇏”．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 4．若“x<－1”是“x≤a”的必要条件，则a的取值范围是______． a<－1　[若“x<－1”是“x≤a”的必要条件， 则{x|x≤a}⊆{x|x<－1}，则a<－1， 即实数a的取值范围是a<－1．] a<－1　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.4.1　充分条件与必要条件 下节课见！ 1.4.1　充分条件与必要条件 从军行七首·其四 【唐】王昌龄 青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还。 思考1：这首诗中，“攻破楼兰”一定“返回家乡”吗？ 思考2：这首诗中，“返回家乡”一定“攻破楼兰吗？ 思考3：这首诗中，“攻破楼兰”与“返回家乡”之间是否存在逻辑关系呢？ 解：由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a<0，a的取值范围是{a|－eq \f(2,3)≤a<0} 则解得－≤m≤0. m的取值范围是{m|－≤m≤0}. $