精品解析：河北省沧州市部分学校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

2027届高三质量检测 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】全称量词改为存在量词，条件保持不变，否定结论，所以命题：，，则为. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，得到复数在复平面内对应点的坐标为，结合对数函数的性质，即可求解. 【详解】由复数的几何意义知，复数在复平面内对应点的坐标为， 又由对数函数的性质，可得，所以点位于复平面内的第四象限. 3. 的最小值为（ ） A. 25 B. 27 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 【详解】，因为， 由基本不等式得，当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 4. 已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】，设将向右平移个单位(表示向右移，表示向左移)， 则平移后得函数为：， 令其等于，得，解得，故向右平移个单位． 5. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理,得. 6. 已知水质达标的一项标准为硼浓度不大于．现利用某海水淡化装置去除某水体中的微量硼元素，其初始硼浓度为，经过分钟过滤后，硼浓度满足，则若使硼浓度达到标准至少需要过滤（ ） （参考数据：，，） A. 26分钟 B. 27分钟 C. 28分钟 D. 29分钟 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件先求出参数的值，然后根据题意建立不等式，结合对数函数与指数函数性质解不等式即可. 【详解】由题意知当时，， 又，所以有：，解得：， 所以， 由题意知水质要达标则：，即， 因为函数在上单调递增， 所以对上述不等式两边取对数得：，即， 由，所以， 又，所以，所以要使硼浓度达到标准至少需要过滤27分钟. 7. 已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可推得平面，根据体积最大值求出三棱锥的高，利用直角三角形的勾股定理计算即得. 【详解】如图，因，，则的面积为， 要使三棱锥的体积取得最大值，需使平面，设直线交平面于点，连接， 则即三棱锥的高，由三棱锥体积公式解得， 在中，由余弦定理，，即， 再由正弦定理，，解得，设球的半径为，则， 在中，，解得，故球的表面积为. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求得，由，利用正弦函数与余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为，可得，， 所以，，且，且， 又因为，且，所以， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据参数的取值范围，等价转化成一元一次或一元二次不等式，求解即得. 【详解】对于A， 当时，不等式为，解得，即，故A正确； 对于B，当时，不等式为，即，可得，故B正确； 对于C，当时， ， 因，可得，故原不等式的解为或，故C错误； 对于D，当时，， 因，则原不等式的解为，故D正确. 10. 已知，为双曲线：的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简双曲线的方程为，求得，结合选项，利用双曲线的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得，其中 则，所以，可得， 对于A，由双曲线的定义，可得， 当时，；当时，，所以A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，所以B正确； 对于C，由双曲线的离心率为，所以C正确； 对于D，设坐标原点为， 根据向量的运算法则，可得，所以， 当时，双曲线，此时，可得， 所以，所以D正确. 11. 设数列前项和为，．如图，在中，为边中点，点在线段上，且有，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列单调递增 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可知，设，则，结合，可得，结合数列通项公式及数列求和公式的求解方式，逐项判断. 【详解】为边中点，，则. 点在线段上,设，代入式可得， 又有， 则，化简得. 对于A，，故A错误； 对于B，由得， 所以数列是等比数列.故B正确； 对于C，结合B选项知，，则，即， 因为， 所以数列单调递增，故C正确； 对于D， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某科研机构测试7台人形机器人步态精度综合得分（满分10分）如下：9.4，8.5，8.7，9.1，9.6，9.2，9.4，则这组数据的中位数为__________． 【答案】9.2 【解析】 【详解】将综合得分由小到大排列为：8.5，8.7，9.1，9.2，9.4，9.4，9.6， 所以这组数据的中位数为9.2. 13. 定义非空数集的“跨度”为，即数集中的最大值与最小值的差．已知集合，，若，则实数__________． 【答案】或6 【解析】 【分析】先解出集合，然后根据新定义分类讨论即可. 【详解】由， 因为恒成立，所以集合， 由，即的最大值与最小值的差为，则， ①若时，不满足题意； ②若时，则不满足题意； ③若时，需满足，即 此时最大值为，最小值为，则，解得：满足题意； ④若时，需满足，即 此时最大值为，最小值为，则，解得：满足题意. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数．当时，，且，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，构造函数，再结合偶函数把不等式化为，利用单侧单调性脱去即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数，,, 设，定义域是， 因为是偶函数，所以，所以也是偶函数， ， 已知时，即分子，又分母，故，故在上单调递增； 由偶函数对称性，在上单调递减，， 于是不等式等价于，偶函数满足，故，在上单调递增， 所以，结合定义域，得且， 则不等式的解集是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某新能源企业的甲、乙两条自动化产线生产动力电池电芯，两条产线当日产量相同．为探究产线类型与电芯合格情况是否存在关联，采用按比例分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的电芯中随机取出100枚进行性能检测，得到如下列联表： 单位：枚 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 50 乙自动化产线 40 合计 （1）将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析自动化产线类型与电芯合格情况是否有关； （2）用样本的频率估计概率，从当日生产的电芯中随机抽取2枚进行检测，记其中不合格电芯的个数为，求的分布列与期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 45 50 乙自动化产线 10 40 50 合计 15 85 100 认为自动化产线类型与电芯合格情况无关． （2）分布列为 0 1 2 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，先完成的列联表，利用公式求得，结合附表的数据，即可得到结论； （2）先求得从样本中随机抽取1枚电芯为不合格电芯的概率，得到变量，结合二项分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，进而求得数学期望. 【小问1详解】 解：将列联表补充完整，如下表所示： 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 45 50 乙自动化产线 10 40 50 合计 15 85 100 零假设：自动化产线类型与电芯合格情况无关， 由列联表，得， 所以根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立， 可以认为自动化产线类型与电芯合格情况无关． 【小问2详解】 解：由题意得，从样本中随机抽取1枚电芯为不合格电芯的概率， 又由随机变量的可能取值有，随机变量， 可得，， ， 则随机变量的分布列为 0 1 2 所以期望为． 16. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，底面，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图所示，连接，交于点，连接， 在梯形中，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，证得，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为和，根据题意，列出方程，求得，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为原点，所在直线分别为轴，以过作平行于的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，则，，， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为二面角的余弦值为， 可得，解得， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求的单调区间和图象的对称轴． （2）记函数． （i）若在上恰有3个零点，求实数的取值范围； （ii）将的正零点按从小到大的顺序依次记作，，，…，设，求数列的前10项和． 【答案】（1）递增区间为；减区间为；对称轴的方程为 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）化简函数，根据正弦函数的图象与性质，即可求解； （2）（i）令，得到，根据题意，得到，即可求得实数的取值范围； （ii）由（i），求得和构成公差为的等差数列，得到，得到和构成公比为的等比数列，结合等比数列的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 因为的最小正周期为，可得，故， 令，可得， 所以的递增区间是， 令，可得， 所以的递减区间是． 令，解得， 所以图象的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：（i）令，可得，即， 当时，可得， 因为在上恰有3个零点，则满足， 所以实数的取值范围是． （ii）由（i）知，，，，，，…，因为，，，，，构成公差为的等差数列， 又因为，所以，，，，，成公比为的等比数列， 且， 同理可得：，，，，，构成公差为的等差数列， 所以，，，，，成公比为的等比数列，且， 数列的前10项和中奇数项与偶数项各有5项，且奇数项和中相互抵消后只剩下一项，偶数项和中相互抵消后只剩下一项，因此． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，为直角三角形． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点且斜率为的直线与交于，两点． （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明：由（1）得，由（i）得， 直线的方程为，直线的方程为，设交点， 由，得 ，解得， 所以直线与的交点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程. （2）（i）写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积公式列出关系式，再利用基本不等式求出最大值；（ii）由（i）中信息，求出直线方程，并联立消去即可推理得证. 【小问1详解】 由，得椭圆的半焦距，由为直角三角形，得， 则，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）直线的方程，设， 由消去并整理得， ，且，， 则的面积 ，令，则， 于是， 当且仅当，即时取等号，且满足， 所以面积的最大值为. （ii）略 19. 已知函数． （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若正实数，满足，证明：． （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i） （ii）证明：由函数，可得其定义域为， 则，所以在上单调递增， 又由，所以， 若都大于1，则，不合题意， 同理都小于1也不满足． 设，欲证，即证，即证， 即证，即证， 令，其中， 由 ， 所以在区间上单调递增， 所以，所以原不等式得证． （2） 【解析】 【分析】（1）（i）当时，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （ii）由，得到为递增函数，且，转化为，设，转化为证明，令，利用导数求得的单调性，进而证得结论； （2）先令，由，得到，转化为， 令，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得到答案. 【小问1详解】 解：（i）当时，，可得， 所以，且，即切线的斜率为，切点坐标为 所以曲线在点处的切线方程为，即． （ii）略 【小问2详解】 解：由题意知，不等式对任意的恒成立， 令， 即对任意的恒成立，由，解得． 下面证明：时符合题意． 当时，可得， 下面证明：，令， 可得， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即当时符合题意； 当时，，不满足对任意的恒成立， 综上可得，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三质量检测 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的最小值为（ ） A. 25 B. 27 C. 32 D. 36 4. 已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知水质达标的一项标准为硼浓度不大于．现利用某海水淡化装置去除某水体中的微量硼元素，其初始硼浓度为，经过分钟过滤后，硼浓度满足，则若使硼浓度达到标准至少需要过滤（ ） （参考数据：，，） A. 26分钟 B. 27分钟 C. 28分钟 D. 29分钟 7. 已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 已知，为双曲线：的两个焦点，为上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 若，则 11. 设数列前项和为，．如图，在中，为边中点，点在线段上，且有，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某科研机构测试7台人形机器人步态精度综合得分（满分10分）如下：9.4，8.5，8.7，9.1，9.6，9.2，9.4，则这组数据的中位数为__________． 13. 定义非空数集的“跨度”为，即数集中的最大值与最小值的差．已知集合，，若，则实数__________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数．当时，，且，则不等式的解集是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某新能源企业的甲、乙两条自动化产线生产动力电池电芯，两条产线当日产量相同．为探究产线类型与电芯合格情况是否存在关联，采用按比例分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的电芯中随机取出100枚进行性能检测，得到如下列联表： 单位：枚 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 50 乙自动化产线 40 合计 （1）将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析自动化产线类型与电芯合格情况是否有关； （2）用样本的频率估计概率，从当日生产的电芯中随机抽取2枚进行检测，记其中不合格电芯的个数为，求的分布列与期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，底面，． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求的单调区间和图象的对称轴． （2）记函数． （i）若在上恰有3个零点，求实数的取值范围； （ii）将的正零点按从小到大的顺序依次记作，，，…，设，求数列的前10项和． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，，为直角三角形． （1）求的方程． （2）设为坐标原点，过点且斜率为的直线与交于，两点． （i）求面积的最大值； （ii）证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 19. 已知函数． （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若正实数，满足，证明：． （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $