江西南昌市第二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期初三数学阶段性学习质量检测卷 说明：1.本试题卷满分120分，考试时间为120分钟。 2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 1. 点 在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 1. 一元二次方程 的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A. 2，-5　　　B. 2，1　　　C. 2，-1或-2，1　　　D. 2，0 1. 已知关于 的二次函数 的图象上有三个点：，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 1. 如图，点 、 位于图中所示的双曲线上，且 轴，点 、 在 轴上，若四边形 为矩形，则它的面积为（　　） 第5题图 A. 4　　　B. 6　　　C. 8　　　D. 12 1. 已知二次函数 （）的图象如图所示，有如下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ 为任意实数），则正确结论的个数有（　　） 第6题图 A. 2个　　　B. 3个　　　C. 4个　　　D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若关于 的方程 是一元二次方程，则 ＿＿＿＿＿． 1. 下表是函数 的部分自变量与对应的函数值： 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 -1 -0.28 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程 的一个解 可能的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 1. 选一个数作为 的值，使关于 的函数 的图象在每个象限 随 的增大而增大，则 的值为＿＿＿＿＿． 1. 如图，二次函数 （）的图象与直线 （）有两个交点，交点横坐标分别为1，3，则关于 的不等式 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿． 第10题图 1. 设 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为＿＿＿＿＿． 1. 把一副三角板一对顶点重合于点 ，边 与射线 重合，若 固定不动，将 绕点 按逆时针方向旋转，旋转角为 （），使 中有一条边所在的直线与 垂直，则 ＿＿＿＿＿度． 第12题图 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 1. （1）解方程：． （2）解方程：． 1. 关于 的一元二次方程 ． （1）求证：此方程必有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 1. 如图，一次函数 与反比例函数 （）的图象交于 ， 两点，与 轴交于 点． （1）求反比例函数的解析式； （2）在第一象限内，根据图象直接写出反比例函数值不小于一次函数值时自变量 的取值范围． 第15题图 1. 已知四边形 是平行四边形，请仅用无刻度直尺完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法． 第16题图 （1）如图1， 为 上任意一点，请在边 上找出一点 ，使 ； （2）如图2， 为对角线 上任意一点，请在对角线 上找出另一点 ，使 ． 1. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栅栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边 上要造一个1米宽的门，在边 上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 第17题图 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，直线 经过点 ，． 第18题图 （1）求点 ，， 的坐标； （2）不等式 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）若点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标． 1. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数 随上课时间 （分钟）的变化情况如图所示，上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内 是 的一次函数；10分钟以后 与 成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： 第19题图 （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 1. 某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本 （万元）与产量 （万件）之间近似满足二次函数关系 （），部分数据见下表： 产量 （万件） … 15 18 20 … 总成本 （万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额-总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本 与产量 之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为 元时，总利润会随着产量 的增大而增大，则 的最小值是多少？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 1. 如图，在直角坐标系中，已知点 ，等边三角形 的顶点 在反比例函数 的图象上． 第21题图 （1）求反比例函数的表达式； （2）把 向右平移 个单位长度，对应得到 ，当这个函数图象经过 一边的中点时，求 的值． 1. 解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程 ， 如果设 ，则 ，用 表示 后代入 得：． 应用：请用换元法解下列各题 （1）已知 ，则 的值：＿＿＿＿＿； （2）解方程：； （3）已知 （），求 的值． 六、解答题（本大题共12分） 1. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． 第23题图 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ，过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标； （3）如图2，连接 ，，抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 《2026-2027学年第一学期初三数学阶段性学习质量检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A C A C C 1．A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．A 【分析】首先识别出反比例函数的标准形式，然后将点A代入解析式中求出k的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为（）， ∴选项C为正比例函数，排除； 将点代入中，得， ∴该反比例函数解析式为． 3．C 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数的定义，求解即可． 【详解】解：∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为； ∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为， ∴一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为，或，． 4．A 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ， ． 5．C 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： 四边形为矩形， 四边形和四边形都是矩形， 点A在双曲线上， 矩形的面积为4， 点B在双曲线上，且轴， 矩形的面积为12， 矩形的面积为． 6．C 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； 对称轴为直线， ， ， ，故正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 7．2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 8． 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 9．（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， 反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 10． 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 11． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再展开所求式子后整体代入计算. 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得，， . 12．或或． 【分析】分3种情况：时，时，时，分别画出图形，结合三角形内角和定理，可得为或或． 【详解】解：时，如图： ， ， ， ； 时，如图： ； 时，如图： ，， ， ； 综上所述，为或或； 故答案为：15或60或105． 【点睛】本题考查直角三角形中的旋转变换，解题的关键是分类思想的应用． 13 1）； 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， ∴， 直接开方得：， ∴； 13 2）．， 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 14．(1) 证明：是关于的一元二次方程， ， ， 方程必有的实数根； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：当时，方程有两个相等的非零实数根， ， 方程即， 解得． 15．(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，一次函数图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先将两点代入一次函数解析式，求出坐标，再将或坐标代入反比例函数解析式即可求出． （2）在第一象限内，根据图象直接写出即可． 【详解】（1）解：把，两点分别代入得 ，， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 把代入， 求得， 反比例函数解析式为； （2）在第一象限内，根据图象反比例函数值不小于一次函数值时自变量的取值范围为：或 16．(1) 如图，点为所求， (2) 如图，点为所求， 【分析】（1）连接、，相交于点，过点作射线交于点，则； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长，交于点，连接交于点,则，可得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ． 17．垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 18．(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得， ， 令，则，解得，， ，； （2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； （3）解：∵，，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， 直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ， ， ，解得， ， 取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ， ， ，解得， ， 取，， 故； 综上，或． 19．(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， 前分钟内与的函数关系式为， ， 随着的增大而增大， 当时，， 上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ， 分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， 注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， 为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 20．(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 21．(1) (2)a的值为2或6 【分析】（1）求出点，利用待定系数法即可求出答案； （2）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点C， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 把点代入，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：分两种情况讨论： 如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E， 由题意得， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 把代入，得， ， ； 如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H． 由题意得， ，， 在中，， ，， 把代入，得， ， ， 综上所述，a的值为2或6． 22．（1）1；（2）；（3）或 【分析】（1）令可得，求解一元二次方程即可； （2）令，则，原方程可化为，求得，即可求解； （3）因为所以，方程两边同时除以，可得，令，方程可化简为，求解方程即可． 【详解】解：（1）令，则，原方程可化为 即，，解得或 又 所以，x2+y2的值为1 （2）令，则 原方程可化为 即，解得或 当时，即， ，即 解得 当时，， 判别式，方程无解 综上所述，的解为 （3） ， 两边同时除可得： 令，可化为， 解得， 或 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解方法，涉及了完全平方公式，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法以及整体代换的思想． 23．(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， 轴，轴， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ， ， ， ， ，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， 点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ， ， ， ， 联立得：， 解得：或， 点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $