安徽省桐城中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

桐城中学2026-2027学年高一第一次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.若集合M={x2x-1>6,N={xeN-1<x<6,则(GM)nN=() A.{01,2,3}B.{1,2,3} C. 2.命题x>0,x2-21xk0”的否定是（ A.3x>0,x2-2|x20 B.3x≤0，x2-2|x≥0 C.x>0,x2-2|x20 D.x≤0，x2-2|x20 3.已知命题p:x2-5x+4≤0,9：x≥a.若p是9的充分不必要条件，则a的取值范围是() A.a<1 B.a≤1 C.a>1D.a≥1 4.某社区需要招募志愿者进行连续3天的志愿工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加， 第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天参加的 人数最少为() A.29 B.30 C.31 D.32 5.A,B,C,D四名学生的年龄关系如下A,C的年龄之和与B,D的年龄之和相同，C,D 的年龄之和大于A,B的年龄之和，B的年龄大于A,D的年龄之和，则A,B,C,D的年龄 关系是（) A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 6.A={x2-2x-3≤0，B={xx2+px+q<0,若A∩B={x-1≤x<2},则以下结论正确的是（() A.p>0 B.p-q=1 C.q<-2 D.2p+9<-4 7.设集合A为非空集合，且ME(eZIx≥2斗，若a∈A,则36∈A,满足上述条件的集合A的 个数为（) A.7 B.15 C.24 D.31 8.已知x>0,y>0,且x+y=3,若mx+业≤y+x+1对任意的x>0,y>0恒成立，则实数m的 m-1 取值是() 1 A.mm<1 B.{mlm≥5} C.{mlm<1或m≥5} D.{ml1<m≤5} 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.对于实数a,b,c,下列说法正确的是() A.若1<a<b,则}< B.若ac2>bc2，,则a>b C.若a>b>0,c>0,则2<+c aa+c D.若c>a>b,a<b c-a c-b 10.已知a>0,b>0,a+b=2,则下列说法正确的有（) A.ab的最小值为1： B.(6a+6+)的最大佰为空： C.√a+√b的最大值为2； D. a2b2 a+1b+2 的最小值为 1已知关于：的不等式m+c+<0的解集为2<x<2>),则下列说法正确的是() A.abc<0 B.a-b-c>0 C.(a+b+c)(6a+2b+c≤0 D.设关于x的方程a+2bF+4e=0的解为x,,则x+名>161+16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设a,beR,若集合La+aa={02则a+bm= 13.已知a>b>c,2a+b+c=0,则二的取值范围是 14.若x>0,不等式(ax+3)(x2-b)≤0恒成立，则a(b+1)的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（13分)已知命题p:x∈R,ax2+r+4>0,命题9：1≤x≤2，a2-2≥0 (1)若p为真，求实数a的取值范围： 2 (2)若命题P和9中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围 16.(15分)已知集合A=x-4bx+3动<0，B=k (1)若b=-1,求AOB; (2)若A∩B=☑，求实数b的取值范围. 17.(15分)某公益广告公司拟在一张面积为36000cm的矩形海报纸（记为矩形ABCD,如图） 上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观， 要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm,设DC=xcm. B 水平方向 (1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围： (②)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸(AD和CD分别为多少时)，可使用宣 传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积. 3 18.（17分)已知函数f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. (1)解关于x的不等式f(x)≥(m+)x; (2)关于x的不等式f(x)≥(m+)x解集中恰有四个整数，求实数m的取值范围； (3)记不等式f(x)≥0的解集为A, cA,求实数m的取值范围. 19.(17分)已知集合A={x,x2,,xn},n∈N,n≥3，若x∈A,y∈A(xy可以相等)，x+y∈A或 x-y∈A,则称集合A具有包容性 (1)判断集合{-1,1,2,3和集合{-1,0,1,2是否具有包容”性： (2)若集合B={L,a,b}具有“包容性，求a2+b2的值： (3)若集合C具有包容性，且集合C的子集有64个，1∈C,试确定集合C. 4《桐城中学2026-2027学年高一第一次月考数学试题》参考答案 题号 1 2 4 5 6 9 10 11 答案 B B A D C B c ABC BCD ABD 1.B 【详解】2x->6,故x子所以M={}引，女M=x引， N-{xeN-1<x<6={12,3,4,5}, 故(C.M)∩N={L,2,3} 2.C 【分析】修改量词否定结论，可得结果」 【详解】3x>0,x2-21xk0的否定为x>0,x2-2|x20”, 故选：C 3.B 由x2-5x+4=(x-1)(x-4)≤0，解得1≤x≤4，即命题p对应的集合为1,4]， 又命题9对应的集合为[a,+o),且p是9的充分不必要条件， 即AB,所以a≤1，即a的取值范围是(-o,. 4.A 【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A,B,C, 设三天都参加的志愿者人数为x,第一天和第三天均参加的志愿者人数为x+y, 根据题意可作维恩图如图： A B 16-1y 3-x 6+x 4-x 14- C 依题意必有x,y,3-x,14-y均为自然数， 所以0≤x≤3,0≤y≤14. 故这三天参加的志愿者总人数为：19+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y 当y=14时，总人数最少，最少人数为43-14=29 故选：A 5.D 【分析】利用不等式的基本性质分析可得」 【详解】为简便起见，复用A,B,C,D表示A,B,C,D四个同学的年龄，则A>0,B>0,C>0,D>0. 则：A+C=B+D①，C+D>A+B②，B>A+D③ ①+②得C>B,①H③得C>2D,②+③得C>2A,由于A>0,D>0,故由③得B>A,B>D, 由①得C-B=D-A,.C>B,.C-B>0,.D-A>0,.D>A, 综上C>B>D>A. 故选：D 6.c 【分析】将问题转化为x2+x+g=0有两个不等根，其中一根小于-1，另一根为2即可求解 【详解】因为A={x2-2x-3≤0={x-1≤x≤3}，AnB=[-1,2), 所以x2+px+q=0有两个不等根，其中一根小于-1，另一根为2， y-n*g<0即2p*g4 [22+2p+q=0 则 p-q>1，故B、D选项错误： 消元解得> g<-2故A错误，C选项正确 7.B 【分析】据集合A需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合A的个数， 【详解】因为Ac{xeZx≥2，若a∈A,则36∈A, 又36=2×18=3×12=4×9=6×6， 则集合A是集合{2,3,4,6,9,12,18的非空子集， 且元素2和18,3和12,4和9必须同时出现， 故可把元素2和18,3和12,4和9看成一个元素， 则集合{2,3,4,6,9,12,18可看成有4个元素， 所以集合A的个数为24-1=15 8.C 【分析】根据题意，问题可转化为ms牛+对任意的x>0y>0恒成立，由题设条件 m-1(x+1)yx+1y 6 行到0y4,进面符到六+好按有结合然本不等式求骨六最小佰得到 x+l v 巴即可求实数的取值范指 【详解】因为mx+业≤+x+1对任意的x>0,y>0恒成立， m-1 可相二+对任孩的090恒废立。 又因为x+y=3,可得(x+I)+y=4, 则y+1少+++yy+x+1 22 yx+1,15 x+1yx+14yx+14y42k+14y44’ 当且似当古即时等号成立 所以本+最小恤为所以京 .5一m-≤0，即4(m1之0， 以m-可得4m-) 所以 (m-5)(m-1) m-1≠0 0,解得m≥5或m<1, 所以实数m的取值范围为(-o,1)U[5,+∞). 故选：C 9.ABC 【分析】AB选项，可利用不等式性质进行判断：CD选项，利用作差法比较出大小 【详解】A益项，若1<a<,则>0，不等式两边同除以的得分云A业确 B选项，若ac2>bc2,则c≠0，故c2>0,不等式两边同除以c2得a>b,B正确： c选项名8-哈-的 因为a>b>0,C>0,所以b-a<0a+c>0,故名+-6<0，所以2<+C,C正确： aa+c a(a+c) aa+c D选项，ab=ca-) c-ac-bc-c-'因为c>a>b,所以c-a>0,c-b>0,a-b>0, 但c的正负不确定，故无法判断b)的正负，从而无法判断a与b的大小关系，D错误 (c-a)(c-b) c-a c-b 故选：ABC 10.BCD 【详解】已知a>0,b>0,a+b=2,结合基本不等式逐一判断选项： 选项A:由排本不等式0(-1，当且仅当。=6=1时取等号， 7 因此ab的最大值为1，没有最小值(ab可趋近于0)，A错误； 选项B:由a+b=2得(3a+1)+(3b+3)=10, 当且仅当30+1=(0+3列5，即a号=号时等号成立，B正确： 选项C:因为Va+Vb=a+b+2Wab=2+2Wab≤2+(a+b)=4 当且仅当a=b=1时取等号，因此√a+√b的最大值为2，C正确： 选项D:因为心+-。-1+1，分-4+4=a-1+1+b-2+4 a+1b+2a+1b+2 a+1 +2 1,4 1 4 =a+b-3+ -=-1+ a+1'b+2 a+1b+2' 又因为a>0,b>0,a+h=2,所以(a+)+(b+2)=5,即[(a+)+(b+2]=l, 所以1中1g)e06:明-n 1 当且仅当+2-4a+)时取等号，由+2_4a+得6+2=2a+。 a+1b+2 a+1b+2 36 即b=2a代入a+b=2,得a= -3 因此当a-号-时，+g的最小值为D确 3’ 3 11.ABD 【分析】由一元二次不等式的解集得b=-a +24水0，c=4a>0,结合基木不等式及不等式性质、 根与系数关系依次判断各项的正误， 【详解】因为不等式ax2+bx+c<0的解集为x <x<21>), 所以2和21为方程m2+bx+c=0的两根，且a>0, +21=- 所以 x21=9 ,即6=仔+2刘小水0，c=a>0,所以成<0，A正编： a 区2+2>2}2=4（等号不成立D,所以b<-4a<0,所以-b>4a>0,Q-bca+40-4a=>0,B t 正确； 8 oeer-小e2j小-任可0e是 方程+2+k=0可化为m-2a径+2小+16=0， 整理得--4-0，解得x-16,5=162, 所以+=1-任+-2x=(任+-2， 任-2-4任利-任+-2-36，且+>8， 所以任4-2-6>0，即（任利小-2+1a 所以+：>161+16，故D正确 故选：ABD 三.填空题 13.2 【分析】由集合相等的定义，结合元素的互异性，分类讨论求出α，b,进而可得到答案. 【详解】由，a+h,a={0,2,b易知a≠0，a≠l, a 由两个集合相等的定义可知包括两种情况： @/b=1 a+b=0'得a=-l,经验证，符合题意： b小 ②a， 易知该方程组无解， a+b=0 综上，a=-1,b=1, 则。6+62=（←)+1=1+1=2 13.-3<<-1 因为a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c, 因为a>b>c,所以-2a-c<a,即3a>-c,得>-3， a 将b=-2a-c代入b>c中，得-2a-c>c,即a<-c,得<-1， 所以-3<<-1. a 9 14.-6 【分析】讨论b≤0、b>0,根据不等式恒成立，结合一次函数、二次函数的性质，再讨论a≠0、a=0 情况下参数、b之间的数量关系，最后根据目标式并应用基本不等式求最大值，注意等号成立条 件. 【详解】1、当b≤0时，题设不等式恒成立，只需y=ax+3≤0恒成立， a≠0时，由一次函数的性质易知：y=ax+3≤0不可能恒成立； a=0时，y=3>0不成立； .b≤0不合要求 ax+3≥0x+3≤0 2、当b>0时，由题设有-6s0或-620在(@，四)上恒成立， 当a=0时，x2-b≤0在(0，+∞)上不可能恒成立，不合要求； 当a≠0时，在(0，+oo)上y=ax+3、y=x2-b以零点为界两侧单调性相反，且零点相同， 3=b,即a=-3 6+0-45+2s-3x26 V V6 =-6,当且仅当a=-3,b=1时等号成立. 综上，a(b+1)的最大值为6： 故答案为：6. 四.解答题 15.(1)0≤a<4 (2{ad0≤a号或a24 【详解】(1)若p为真，解得0≤a<4, (2)由(1)得：P真0≤a<4, 若9为真：32小，a心是，∴o p、q一真一假 0≤a<4 1 ①P真9假： 1，.0≤a<2 a< 2 a<0或a≥4 ②P假9真： .1 ，∴.a≥4. 10 综上：a的取值范国是{d0≤a<或a之4 16.(1)若b=-1,则集合A={x-3<x<-1}, 朱合a=l-a220-en+2-a1ss 所以AnB={x-2<x<-: (2)由x2-4bx+3b2<0可得：（x-b)(x-3b)<0, 当b>0时.3动>b,此时A=6<<，而8--2<写} 此时满足A∩B=o,所以b>0满足题意： 当b=0时，3b=b,不等式x2-4bx+3b2<0解集为⑦， 此时满足A∩B=②，所以b=0符合题意： 当6<0时，3动<b,此时4=和36<x<b,而B={到-2<x<}, 若4n8=②，则6≤-2或02}解得6≤-2或)6， 因为b<0,所以b≤-2或)6<0： 综上所述：实数b的取值范围为： bb≤-2或b≥- 9 17.(①y=(x-50)3600-20,x∈(50,180) (2)AD=120cm,CD=300cm,25000cm2 【详解】(1)根据题意DC=xcm,矩形海报纸面积为36000cm, 所以4D=36000。】 -cm, 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm, 所以四个宣传栏的总面积y=(CD-5x10)4D|-2×10)=(x-50) 36000 -20 x-50>0 其中3600 -20>0所以x∈(50,1800). 即y=(x-50) /36000-20,x∈(50,1800) (2)由(1)知y=(x-50)/3600-20,x∈(50,180)， x 则y=(x-50) 36000 -20=37000- 20x+1800000 x ,x∈(50,1800) 20x+1800000 2，/20xx1800000 =12000,当且仅当x=300时取等号， 11 则y=37000- 20x+1800000 ≤25000，当且仅当x=300时取等号， 即CD=30cm,AD=3600 300 120cm时， 可使用宣传栏总面积最大为25000cm2. 18.【详解】（1)不等式f(x)≥(m+1)x台(m+1)x2-2mx+m-1≥0台[(m+1)x-(m-1)](x-1)≥0， 当m+1=0,即m=-1时，解得x≥1： 当a10,即a>时，x-20,11,解得r或2l m+1 当m+lk0,即m<时.mx-030，子存，解特7 m+1m+1 m+11 所以当m<-1时，原不等式的解集为x1≤x≤m-马 当m=-1时，原不等式的解集为{xx之}： 当m>1时，原不等式的解集为xx≤m-或x≥}」 m+1 (2)由(1)知，m<-1,且4≤m-1<5,则-5 +1 (3)依题忘，xe2,不等式m+r-0m-x+m-20台e-+2-+l, 而-41=+0，则we烟+0】 x2-x+1 x2-x+1 1-x t 一令11，则立00=当月议，即x=0时取等多 因此当=0时计1，则m≥1， 所以m的取值范围为l,+o). 19.1.(1)集合{-1,1,2,3}不具有“包容性，集合{-1,0,1,2}具有“包容性 (2)1 ®2-a2.{-分5}{层时号2-1024{3-5 【分析】(1)根据包容”性的定义，逐一判断即可： (2)根据“包容”性的定义，能得到0∈{L,a,b},分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果； (3)由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且0eC,再由条件1∈C,推出集合中有正数也有 负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果 【详解】(1)(I)集合{-1,1,2,3}中的3+3=6E{-1,1,2,3},3-3=0E{-1,1,2,3}, 所以集合{-1,1,2,3}不具有包容性. 12 集合{-1,0,1,2}中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合{-1,0,1,2}，所 以集合{-1,0,1,2}具有“包容性. (2)(Ⅱ)已知集合B={1,a,b具有“包容性，记m=max{1,a,b},则m≥1， 易得2m生{1，a,b},从而必有0e{1,a,b}, 不妨令a=0,则B={1,0,b},b≠0且b≠1，则{1+b,1-b}∩{1,0，b}≠☑，且{1+b,b-1}∩{1,0，b}≠0， ①当1+b∈{1,0，b}时，若1+b=0,得b=-1,此时B={1,0,-1}具有包容性： 若1+b=1,得b=0,舍去：若1+b=b,无解： ②当1+bE{1,0,b}时，则{1-b,b-1s{1,0,b},由b≠0且b≠1，可知b无解， 故B={1,0,-1}. 综上，a2+b2=1. (3)(I)因为集合C的子集有4个，所以集合C中共有6个元素，且0∈C,又1∈C,且C中既有正数也有 负数， 不妨设C{-b,-b-1,…,-b,0,4,a,…,a}, 其中k+l=5,0<a<…<4,0<b<…<b, 根据题意{a-4,…,a1-a}二{-b,-b,…,-b}, 且{b-b,b1-b,…,b2-b}c{a,a2,…,a},从而(k,l)=(2,3)或(3,2)： ①当(k,)=(3,2)时，{b-b,b-b2}={a,a2}, 并且由{-b+b,-b+b2}={-b,-b2},得b=b+b2,由a2-a1∈{a,a2},得a2=2a, 由上可得(b2,b)=(亿-b,b-b2)=(a2,a)=(2a,a),并且b=b+b2=3a1, 综上可知C={-3a,-2a,-a,0,4,2a}: ②当(k,l)=(2,3)时，同理可得C={-2a,-a,0,a,2a,3a}.综上，C中有6个元素，且1eC时，符合条件的集 合C有5个， 分别是2-@12.{-卧{号写号{32-a2或3-h 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章 办事”，逐条分析验证。此题中，确定出0∈1，α，b}后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成， 13