精品解析：山西太原市部分学校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

2026~2027高三10月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据虚数的幂次运算性质及复数的乘法和除法运算，结合共轭复数的定义求解即可.   【详解】， 分母实数化得， 所以. 3. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】方法一：由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 方法二： ，得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为，在上单调递减，A错误； 对于B，函数的定义域为，，函数为奇函数，B错误； 对于C，函数的定义域为，为奇函数，C错误； 对于D，函数的定义域为，， 函数为偶函数，当时，，因此在上单调递增，D正确。 5. ，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 6. 第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得扇形所在圆的圆心角，结合扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形所在圆的半径为， 则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为， 根据勾股定理得，整理得，解得， 设扇形所对的圆心角为，因为弦长为， 在直角中，可得，所以，即 所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 因为，所以弓形的面积为. 7. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数法求得极值点，再根据函数在内存在极值建立关于的不等式求解即可. 【详解】的定义域为，， 令，可得：或（舍）， 由在其定义域内的一个子集内存在极值， 可得：，解得， 所以实数的取值范围为． 8. 设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象存在对称轴 B. C. 当时， D. 方程有四个实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出对称轴判断A；确定函数的周期并求出函数值判断B；结合周期性求出指定区间上的解析式判断C；将方程根的个数转化为直线与函数图象的交点个数求解判断D. 【详解】对于A，由，得直线是的图象对称轴，A正确； 对于B，由函数是奇函数，得，则4是函数的一个周期， 而当时，，因此，B正确； 对于C，当时，，则， 因此当时，，，C正确； 对于D，方程，于是方程的实根个数 即为函数的图象与直线的交点个数， 由是奇函数，得当时，，当时，， 则，又函数的一个周期为4， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象知，函数的图象与直线有五个交点， 即方程有五个实数根，D错误. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误 由得，能推出，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 若不成立，故充分性不成立， 若不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； ，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据可判断A；根据及即可判断B；根据两角和的正弦公式可判断C；代入可判断D. 【详解】， 解得，又，所以，故A正确； 联立及，解得， 所以，故B错误； 同理根据及，解得， 所以，故C正确； 因， 所以.故D错误. 11. 在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导验证即可；对于B，利用不等式，取特殊值验证即可；对于C，由题意，利用分析法证明即可；对于D，由题意，利用分析法证明即可. 【详解】对于A，由题意得，由， 函数在上递减，在上递增，且当时，. 所以当时，，故；当时，，故； 由此是的极大值点，故A正确； 对于B，令，则， 所以在上单调递增，由题意得， 由不等式，取，得， 所以，由此， 又单调递增，所以，则，故B错误； 对于C，由题意，， 要证，只需证， 等价于，由，得， 所以只需证，由于，则成立，故C正确； 对于D，直线的斜率， 要证，等价于， 等价于，因为，所以， 由于， 由B已证，即，且， 又，所以，所以，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是纯虚数，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】， 若是纯虚数，则，解得. 13. 设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】对分为与两种情况讨论，再由对数函数以及分段函数的性质求解即可. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 14. 已知函数，实数，满足，．若恒成立，则实数的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】化简，根据题意可得或，讨论这两种情况即可求解. 【详解】， 由于，所以， 所以或， 当时，， 不妨设，，由， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，则， 由于，所以； 当时，，此时， 综上，，所以实数的最大值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式直接求解即可； （2）结合“”的妙用，将恒成立，转化为，进而求出结果即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，则，， 当且仅当，即，时等号成立. 【小问2详解】 由得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 由恒成立，则得， 解得，所以实数的取值范围为. 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2） 极小值，无极大值 【解析】 【小问1详解】 ，求导可得， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由小问1可知，， 令，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极小值为，无极大值. 17. 已知函数，其中． （1）讨论函数的奇偶性； （2）当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数； （2） 【解析】 【分析】（1）应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断； （2）应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解. 【小问1详解】 因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． 【小问2详解】 当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． 18. 已知函数. （1）求的对称中心坐标； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 【答案】（1）对称中心为，其中. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差公式和倍角公式、辅助角公式化简求出解析式，再结合正弦函数的性质可得； （2）代入后化为恒成立，分离参数，设，利用单调递减、单调递增，证明该函数在区间上单调递减，求出最大值即可； （3）令，结合的图象与的交点即可求出. 【小问1详解】 因为 ， 所以， 令，得，故对称中心为，其中. 【小问2详解】 由（1）知，， . 则原不等式化为， 当时，所以对任意的恒成立， 设， 任取，在此区间上单调递减、单调递增， 故，， 从而. 所以在上单调递减，故. 故，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，. 令，当时. 画出的图象如图： 由图可知，其图象与共有个交点， 且，，， 则，，， 故. 19. 三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”. （1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； （2）若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； （3）设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值. 【答案】（1）因为恒成立，且恒成立， 所以当时，恒成立， 故是与在区间上的“分割函数”； 又因为，当与1时，其值分别为和， 所以与在上都不恒成立， 故不是与在区间上的“分割函数”； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）分别构造待判断函数与两个已知函数的差函数，因为要判断差函数是否在全体实数上恒非负或恒非正，所以可通过研究差函数的最值、判别式等性质判断符号是否恒定， （2）根据分割函数定义得到两个恒成立的不等式，因为二次函数恒非负的条件是开口向上且判别式小于等于0，所以联立两个不等式的判别式条件，求解参数得到解析式， （3）利用导数分析函数的单调性，做出函数图象，再作的图象，再求弦长，利用导数求其最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立， 因为，当时，它的值为， 可知的图象在处的切线为直线， 它也是的图象在处的切线，如图： 所以，可得， 所以对一切实数恒成立， 可得且，即， 又因为时，与为相同函数，不合题意， 故所求的函数为； 【小问3详解】 关于函数，令，可得， 当与时，， 当与时，， 可知是函数的极小值点，是极大值点， 该函数与的图象如图所示： 若函数是与在区间上的“分割函数”， 故存在使得且直线与的图象相切， 并且切点横坐标， 此时切线方程为，即， 设直线与的图象交于点， 则由，可得， 所以 令， （当且仅当时，），所以严格减，故的最大值为， 可知的最大值为，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027高三10月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. ，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 7. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象存在对称轴 B. C. 当时， D. 方程有四个实数根 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（ ） A. 为的极大值点 B. C. D. 设直线的斜率为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是纯虚数，则__________． 13. 设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 14. 已知函数，实数，满足，．若恒成立，则实数的最大值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 17. 已知函数，其中． （1）讨论函数的奇偶性； （2）当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）求的对称中心坐标； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 19. 三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”. （1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； （2）若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； （3）设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $