4.1 指数讲义【知识清单+4大题型】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1 指数 第一部分：知识清单 知识点一：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点二：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点三：分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点四：有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点五：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 第二部分：典型例题汇总 典例一 根式的概念 典例二 根式的化简(求值) 典例三 分数指数幂与根式的互化 典例四 指数幂的化简、求值 典例五 条件求值 第三部分：典型例题 典例一 根式的概念 1．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．负数的次方根不存在，其中 B．因为，所以是的五次方根 C．因为，所以81的四次方根是3 D．1的次方根是1，其中 3．（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 4．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 典例二 根式的化简(求值) 5．（26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 典例三 分数指数幂与根式的互化 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 10．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 典例四 指数幂的化简、求值 13．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 14．（25-26高一上·江西南昌·期中）化简：的值为_________． 15．（26-27高一上·全国·课后作业）化简下式：. 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 典例五 条件求值 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求的值. 18．（26-27高一上·全国·课后作业） ，则的值为________． 19．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 20．（2026高一·全国·专题练习）若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 第四部分：课后检测 1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C．1 D．2 E．4 4．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 5．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 6．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C． D．0 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各式运算错误的是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东梅州·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 10．（25-26高一上·全国·阶段检测）（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·四川广安·期中）（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·云南德宏·期中）计算的结果为______________. 13．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则的值为________． 14．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则__________． 15．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）计算： (1) (2)已知，求的值 16．（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数 第一部分：知识清单 知识点一：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点二：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点三：分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点四：有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点五：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 第二部分：典型例题汇总 典例一 根式的概念 典例二 根式的化简(求值) 典例三 分数指数幂与根式的互化 典例四 指数幂的化简、求值 典例五 条件求值 第三部分：典型例题 典例一 根式的概念 1．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，解得，故实数的取值范围为. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．负数的次方根不存在，其中 B．因为，所以是的五次方根 C．因为，所以81的四次方根是3 D．1的次方根是1，其中 【答案】B 【详解】对于A，的三次方根为，A错误； 对于B，由，得是的五次方根，B正确； 对于C，81的四次方根是，C错误； 对于D，的平方根是，D错误. 3．（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 4．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据根式有意义的条件和实数指数幂的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知无意义，故A错误， 对于B，底数，指数，符合实数指数幂中底数大于零的情况，故B正确， 对于C，由，可知若，则无意义，故C错误， 对于D，因为根指数是3，任意实数都有唯一的立方根，所以有意义，故D正确. 故选：BD. 典例二 根式的化简(求值) 5．（26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 【答案】②④ 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故①错误； 16的4次方根有两个，为，故②正确； 当为奇数时，；当为偶数时，，故③错误； 当时，；当时，，故，故④正确． 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1），. （2）原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以，原式＝. 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 【答案】②④⑤ 【详解】当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故，①错误； 16的4次方根有两个，为，②正确；，③错误； ，所以，④正确． 由题意知， 故,⑤正确． 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以， 所以. （3）. 典例三 分数指数幂与根式的互化 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）因为，故原式. （3）. 10．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 11．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 12．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 典例四 指数幂的化简、求值 13．（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2) 【分析】（1）将带分数化为假分数，利用分数指数幂与负整数指数幂的运算法则逐项化简，最后合并同类项即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则计算，最终将结果写回根式形式． 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 14．（25-26高一上·江西南昌·期中）化简：的值为_________． 【答案】1 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 ． 15．（26-27高一上·全国·课后作业）化简下式：. 【答案】 【详解】 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式. 典例五 条件求值 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求的值. 【答案】 【详解】 ， ， ， 所以. 18．（26-27高一上·全国·课后作业） ，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式，立方和公式及指数运算法则计算即可． 【详解】由得，， 所以． 19．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 20．（2026高一·全国·专题练习）若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 第四部分：课后检测 1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 2．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂与根式的关系即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C．1 D．2 E．4 【答案】E 【详解】 4．（26-27高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 【答案】D 【详解】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 5．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由指数运算性质得出，然后利用“1”的代换构造基本不等式，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 6．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可． 【详解】原式 ． 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各式运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，. 8．（25-26高一上·广东梅州·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项：由题意得，故选项A错误； B选项：由题意得，故选项B错误； C选项：由题意得，故选项C错误； D选项：由题意得，故选项D正确. 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 【答案】BC 【分析】A通过分析指数运算与底数正负的关系来验证；B根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值；C根据偶次根式被开方数非负以及零次幂底数不为零的条件求定义域；D通过指数式转化为对数或直接解指数方程，再求和验证. 【详解】因为时，，，所以A错误； 根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值，B显然正确； 解得且，所以C正确； 因为，所以，因为，所以，所以，所以D错误． 故选：BC. 10．（25-26高一上·全国·阶段检测）（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高一上·四川广安·期中）（多选）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 12．（25-26高一上·云南德宏·期中）计算的结果为______________. 【答案】 /0.5 【详解】 13．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）已知，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】. 14．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则__________． 【答案】10 【分析】将已知条件两边同时平方可得，将平方可求﹒ 【详解】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 15．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）计算： (1) (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以， 所以． 16．（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将小数化为分数，利用分数指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并计算即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $