精品解析：福建漳州市南靖县第一中学2026-2027学年上学期高二第一次月考数学试卷

南靖一中2026-2027（上）高二年第一次月考数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三个数成等比数列，的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 数列中，，，则（ ）． A. B. 28 C. D. 14 5. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为递减数列 C. D. 当时，最小 10. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为周期数列 C. 数列为单调递增数列 D. 数列为常数列 11. 若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，且，则________． 13. 已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______． 14. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 16. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）数列的前项和为，求证：． 17. 对于函数，分析并求解下列问题： （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； （3）解不等式：； 18. 若数列的首项且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，设为数列的前n项和. (ⅰ)求； (ⅱ)求的最小的正整数的值． 19. 定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. （1）若 ，证明:数列 是 数列； （2）设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； （3）设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南靖一中2026-2027（上）高二年第一次月考数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三个数成等比数列，的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项求解即可. 【详解】因为三个数成等比数列， 所以，解得， 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得函数定义域. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以函数的定义域为， 故选：D 3. 已知点，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率公式以及斜率与倾斜角公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得：，所以，， 所以. 4. 数列中，，，则（ ）． A. B. 28 C. D. 14 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 得． 5. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 6. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 7. 已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 8. 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和的性质求得数列的通项公式与前项和，再按为奇数、偶数分类讨论，分离参数后求解对应函数的最值，即可确定的取值范围. 【详解】由题意得：，所以， 由得：，所以，又， 所以，所以， 由得， 当为正奇数时，，所以对任意恒成立， 令，又，即， 所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以， 当为正偶数时，，所以对任意恒成立， 令，又，所以， 所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为递减数列 C. D. 当时，最小 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】因为数列为等差数列，为其前项和.已知，， 设该数列的首项为，公差为，则， 化简得，解得. 所以，所以A正确； 由于，所以数列为递增数列，B错误； ，C正确； 由于， 所以当时，最小，为，D正确. 10. 已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为周期数列 C. 数列为单调递增数列 D. 数列为常数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定函数式求出，求出的范围判断A；利用周期数列、递增数列、常数列的意义判断BCD. 【详解】依题意，，， 对于A，，则，A正确； 对于BCD，显然，则，即恒成立， 因此数列为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C正确，BD错误. 故选：AC 11. 若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A列出前9项即可判断；找出奇偶三循环规律，计算2026除以3的余数判断奇偶得出B；C项通过裂项计算偶数项和，对比即得；D项通过结合扇形面积公式与平方和结论化简验证等式. 【详解】对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确； 对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数， 因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确； 对于C，由，得，，…，， 累加得，故C错误； 对于D，由，得 , 因,则 ,所以，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨数列的周期，进而求出所求值. 【详解】数列中，，由，得，则， 因此数列是以2为周期的周期数列，， 所以，. 故答案为： 13. 已知各项均为正数的等比数列中，，为函数的两个零点，则______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出的值，结合等比数列的下标性质与对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，为函数的两个零点，所以，是方程的两个正根，根据根与系数的关系可得. 根据等比数列的性质，有，所以（负根舍去）. 所以. 14. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是______． 【答案】100 【解析】 【分析】由于数列为“调和数列”，可得数列为等差数列，由于，可得，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：数列为“调和数列”， 可得，为常数）， 数列是公差为的等差数列， ， ， ． ，， ，即，当且仅当时取等号； ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知中，，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求边的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意求出点坐标以及斜率即可得解； （2）由中点坐标公式求出中点的坐标，进一步求出直线的斜率即可得解. 【小问1详解】 因为边所在直线方程为，故可设， 因为边上的高所在直线方程为， 所以，所以， 所以，故所求为，即； 【小问2详解】 因为，，设中点为，所以， 因为，所以， 故所求为，即. 16. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求数列的通项公式． （2）数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. 【小问2详解】 略 17. 对于函数，分析并求解下列问题： （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增； （3）解不等式：； 【答案】（1） 函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数. （2） ，且， 则 ， ，， ，， 在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证明； （2）根据函数的单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性结合题意得到关于的不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在区间上单调递增，且为奇函数， 在上单调递增， 令，解得或， 又，即， 或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 18. 若数列的首项且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，设为数列的前n项和. (ⅰ)求； (ⅱ)求的最小的正整数的值． 【答案】（1） （2）(ⅰ) (ⅱ)8 【解析】 【分析】（1）利用的通项公式求出的通项公式； （2）(ⅰ)写出表达式，然后用错位相减法求解； (ⅱ)判断的单调性，找到满足，的最小正整数即可. 【小问1详解】 因为，所以；又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列，则， 则. 【小问2详解】 (ⅰ)因为，所以 从而 ． 令，① 则，② 由得， 所以，而， 故． (ⅱ)因为，所以数列 ， 又因为，，所以的最小值为8 19. 定义: 对于任意 ，满足条件 且 ( 是与 无关的常数) 的无穷数列 称为数列. （1）若 ，证明:数列 是 数列； （2）设数列的通项为 ，且数列是数列，求常数的取值范围； （3）设数列 ，问数列 是否是数列？请说明理由. 【答案】（1）由得， 所以数列满足． 单调递减， 所以当时，取得最大值0，即． 所以，数列是T数列． （2） （3）数列是数列，理由如下： 假设数列是数列，依题意有： ， 因为，所以当且仅当小于的最小值时， 对任意恒成立， 即可得． 又当时，，，故， 综上所述：当且时，数列是数列． 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出. （2）作差得出数列的单调性，代入通项解不等式组，使即可求解. （3）作差求出恒成立，又得，再根据题中新定义即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 得， 当，即时，，此时数列单调递增； 而当时，，此时数列单调递减； 因此数列中的最大项是， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $