3.2 一元二次方程的解法 第六课时 课件—2026-2027学年湘教版数学九年级上册

3.2 一元二次方程的解法 第六课时 一元二次方程 第三章 （湘教版）九年级 上 学生能够理解并掌握因式分解法的基本原理和步骤，能够熟练地用因式分解法求解一元二次方程。 通过复习回顾、新知探究、课堂练习等环节，使学生经历一元二次方程求解的完整过程，培养他们的自主学习能力和合作学习能力。 3. 激发学生的学习兴趣，培养他们的数学兴趣和自信心，使学生能够积极面对数学问题，勇于挑战。3. 学习目标 新知探究 下列方程用哪种方法求解较简便？ 请用合适的方法求解, 并将结果与同学比较. （ ; （ ; （ . 新知探究 解答： (1) 对于方程x2−4x=0， 化简：x(x−4)=0， 得x1=0，x2−4=0， 解得：x1​=0，x2​=4。 (2) 对于方程 2x2+4x−3=0， 化简：x2+2x=​， 在等式的两边都加上1，得到： x2+2x+1= +1，(x+1)2= ​， 两边同时开平方，得：x+1=±， 解得： x1​=−1+ ​​，x2​=−1− . 新知探究 （3）对于方程 x2+6x+9=16， 化简：x2+6x−7=0 我们发现此方程不易直接分解, 因此，我们使用公式法求解. 其中，a=1，b=6，c=−7。 Δ=b2−4ac=62−4×1×(−7)=36+28=64 由于 Δ>0，方程有两个不相等的实根. 使用公式求解，得到： x=​​= = ​ 解得： x1​=1，x2​=−7 例题讲解 例9 选择合适的方法解下列方程: (1) ; （2） ; (3) . 解 ： (1) 将方程左边的多项式因式分解,得 , 由此得 解得 例题讲解 （2）这里 . 因而 所以 因此,原方程的根为 . 例题讲解 （3）原方程可化为 , 即 由此得 解得 新知探究 用自己的语言总结解一元二次方程的基本思路, 并与同学交流. 解一元二次方程的基本思路是: 将一元二次方程转化为两个一元一次方程,即降次,其本质是把方程 左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积,即 ,于是原方程可写成 . 由此得出, 于是 和 是一元二次方程 的两个根. 练 习 选择合适的方法解下列方程: ; （2） ; ; （ ; （ ; （ ; （7） ; （ . 练 习 （1）解： 原方程为 3x2−4x=2x， 移项得 3x2−6x=0， 提取公因子 3x 得 3x(x−2)=0， 解得 x1​=0，x2​=2。 （2）解： 原方程为 ​(x+3)2=1， 两边乘以 3 得 (x+3)2=3， 开方得 x+3=±​， 解得 x1​=−3+ ​ ，x2​=−3− ​ ​。 练 习 （3）解： 原方程为 x2+(​ ​+1)x=0， 提取公因子 x 得 x(x+ ​ ​+1)=0， 解得 x1​=0，x2​=− ​ ​−1。 （4）解： 原方程为 x(x−6)=2(x−8)， 展开得 x2−6x=2x−16， 移项并合并同类项得 x2−8x+16=0， 即 (x−4)2=0， 解得 x1​=x2​=4。 练 习 （5）解：原方程为 (x+1)(x−1)=2 ​ ​x， 展开得 x2−1=2 x， 移项并合并同类项得 x2−2 ​x−1=0， 使用求根公式解得 x=​​， 即 x= ​± 解得 x1​= ​+ ​，x2​= ​− ​。 （6）解：原方程为 x(x+8)=25， 展开得 x2+8x−25=0， 使用求根公式解 得 x= ​​ 即 x=−4±​​， 化简得 x=−4±​， 解得 x1​=−4+ ​，x2​=−4− ​。 练 习 （7）解：原方程为 (x+2)(x−5)=1， 展开得 x2−5x+2x−10=1， 移项并合并同类项得 x2−3x−11=0， 使用求根公式解得  x= ​​​​， 即 x= ​​， 解得 x1​= ​​ ​​，x2​= ​​ ​​。 （8）解：原方程为 (2x+1)2=2(2x+1)， 移项得 (2x+1)2−2(2x+1)=0， 提取 (2x+1) 得 (2x+1)(2x+1−2)=0， 即 (2x+1)(2x−1)=0， 解得 x1​=−​，x2​= ​ 。 多知道一点 用十字相乘法解一元二次方程 我们已经知道可用十字相乘法把二次多项式因式分解, 于是可以用十字相乘法解一元二次方程. 多知道一点 例1 解方程: . 解: 如图 ,多项式 能够分解成 于是原方程可以写成 由此得 解得 多知道一点 例 2 解方程: . 解: 如图 ,多项式 能够分解成 于是原方程可以写成 由此得 解得 多知道一点 例 3 解方程: . 解 :原方程两边都乘 6 , 得 如图 ,多项式 能够分解成 于是方程 可以写成 由此得 解得 多知道一点 例 4 解方程: . 解 :如图 ,多项式 能够分解成 于是原方程可以写成 解得 多知道一点 练习 用十字相乘法解下列方程: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 多知道一点 (1)首先，将方程 (x+2)2+5(x+2)+6=0 展开并整理，得到：(x+2+2)(x+2+3)=0 即：(x+4)(x+5)=0 由此，解得：x+4=0 或 x+5=0 解得：x1​=−4，x2​=−5 多知道一点 (2)对于方程 2x2−7x+3=0， 因式分解得：(2x−1)(x−3)=0 由此，得到两个方程：2x−1=0 或 x−3=0 解得：x1​=​，x2​=3 多知道一点 (3)解： 原方程为x2−x−=0， 为了使用十字相乘法，先对方程两边同时乘以12，得到12x2−7x−10=0， 因式分解为(3x+2)(4x−5)=0， 由此可得3x+2=0或4x−5=0， 解得x1​=−​，x2​= ​ ​。 多知道一点 (4)解： 原方程为−6x2−x+12=0， 为了使用十字相乘法，先将方程两边同时乘以-1，得到6x2+x−12=0， 因式分解为(2x+3)(3x−4)=0， 由此可得2x+3=0或3x−4=0， 解得x1​=−​，x2​=。 课堂总结 1.因式分解法的具体步骤： 第一步：将一元二次方程整理为标准形式. 第二步：尝试对多项式进行因式分解，通常寻找两个数，它们的乘积等于常数项c，且它们的和等于一次项系数b. 第三步：将分解后的因式等于零，分别求解x的值. 课堂总结 2.十字相乘法的应用： 十字相乘法是因式分解法中的一种技巧，特别适用于二次项系数为1且常数项可以分解为两个因数的乘积的情况. 应用实例：如方程2x2 - 7x + 3 = 0，可以通过十字相乘法分解为(2x - 1)(x - 3) = 0. 课后练习 1.必做题：教材P110页习题——学而时习之 2.选做题：教材P110页习题——温故而知新 谢谢观看 Thank you $