圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线中定点、定值、定直线三大核心问题，通过精选例题与变式构建从基础到综合的逻辑训练体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点问题|3例+3变式|直线过定点证明，涉及椭圆、双曲线|从椭圆定义与方程推导入手，通过韦达定理、参数消元构建定点模型| |定值问题|3例+3变式|斜率/面积/向量数量积定值判断|以曲线性质为基础，结合坐标运算与代数变形实现定值转化| |定直线问题|3例+3变式|动点在定直线上的证明|通过曲线方程与直线方程联立，利用参数关系推导定直线方程|

圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 考点一 定点问题 例1．（25-26高二下·广东惠州·期末）已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 例2．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 例3．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 变式1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 变式2．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 变式3．（2026·山东威海·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于，两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 考点二 定值问题 例1．（25-26高三上·云南文山·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点，上、下焦点分别为，，直线：和交于，两点，轴，为上的动点． (1)求的方程； (2)若，求的面积； (3)设上有两点，（，与都不重合）满足，且，垂足为，证明：存在定点，使得为定值． 例2．（2026·陕西·一模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3. (1)求椭圆的方程 (2)已知点，过点的直线交椭圆于两点（在轴下方），直线交直线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由 例3．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)试证明为定值 变式1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点． （i）若在轴上，求的取值范围； （ii）设为坐标原点，证明：为定值． 变式2．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 变式3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 考点三 定直线问题 例1．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与交于，两点，在线段上取异于，的点，且满足． （i）求证：点在定直线上； （ii）设直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 例3．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，为第一象限内上的动点，，直线，的斜率之积为． (1)求的方程； (2)求四边形面积的最大值； (3)直线与直线交于点，过点且与平行的直线交直线于点，证明：点E在一定直线上，并求出该定直线的方程． 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 变式2．（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 变式3．（2026·安徽六安·模拟预测）已知点在双曲线上． (1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 考点一 定点问题 例1．（25-26高二下·广东惠州·期末）已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明：设过点的直线，，， 联立方程组得，得， ， ， ，则， ，所以， 同理可得，即， 当时，， 直线的方程为， 整理可得， 所以直线恒过定点， 当时，直线的方程为，也过点， 所以直线恒过定点. 【分析】（1）由椭圆过点的坐标及离心率公式，求出，得到椭圆的方程； （2）先设出直线和的方程，联立方程组求出点，的坐标，进而求出直线的方程，得到直线过定点. 【详解】（1）点在椭圆：上，所以， 椭圆的离心率为，，，， 得，，，， 椭圆的标准方程为. （2）略 例2．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【答案】(1)； (2)； (3)设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，， 由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得： ， 化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 【分析】（1）结合椭圆方程列方程，解方程求得 的值，由此求得椭圆的离心率； （2）设出点 ，则可利用坐标表示出两向量，从而用 表示点 坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得； （3）设，，根据题意得到 ，分为斜率不存在和斜率存在两种情况分别讨论，求出直线的方程判断过定点即可. 【详解】（1）由已知 ，则 ，又，. 得 ， ， 故椭圆的离心率为； （2）由椭圆的标准方程为 ， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； （3）略 例3．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1)． (2)由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）讨论直线的斜率是否存在，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简的方程求解. 【详解】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）略 【点睛】直线与椭圆的位置关系中直线过定点问题，需要讨论直线的斜率是否存在，若斜率不存在，特殊情况特殊对待，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用从而求得直线方程中两个参量之间的关系即可得到定点. 变式1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明：，则， 易知，设，， 联立，， ， 则，又，所以， 则， 即， ， ， 故直线过定点． 【分析】（1）根据离心率的定义直接计算； （2）设，联立可得，结合基本不等式求最值即可； （3）设，，联立可得，进而得到直线，再求即可得到过定点． 【详解】（1）解：椭圆：， 则， 则椭圆的离心率； （2）解：由题可知， 点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接， 由题可知直线的斜率存在，且，设， 联立，得，解得， 则， 点到直线的距离，点到直线的距离， ，当且仅当时取等， 故四边形面积的最大值为； （3）略 变式2．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i） 不为定值.理由如下. 设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 , 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得 得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ⅱ） 由（i）得 则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而 不为定值. （ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点 【详解】（1）由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）略 （ii）略 变式3．（2026·山东威海·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于，两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②直线过定点，定点为 【分析】（1）由点在椭圆上，再由离心率以及求解即可. （2）①设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理求出弦长，再求出原点到直线距离，代入面积公式求解即可. ②由题意可得，设：，与椭圆联立，求解点，的坐标，列出直线的方程，化简求解即可. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以，即， 因为椭圆的离心率为，所以，, 因为，所以解得， 故椭圆方程C为． （2）①设：，，，    联立，整理得， 由，得， 由韦达定理可得，，， 所以 ， 设原点到直线距离为，则， 所以， 令，则，当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为1． ②，所以：， 联立，可得， 所以，解得，所以， 同理可得， 所以：，整理可得， 所以直线过定点，定点为．    考点二 定值问题 例1．（25-26高三上·云南文山·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点，上、下焦点分别为，，直线：和交于，两点，轴，为上的动点． (1)求的方程； (2)若，求的面积； (3)设上有两点，（，与都不重合）满足，且，垂足为，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)设，， 当直线斜率存在时，设其方程为， 联立，消去，整理得， 则， ，， 结合（2）有，则，， 又， 则 ， 化简整理得， 又直线：不过点，得， 所以，即， 所以直线方程为，过定点； 当直线斜率不存在时，设其方程为，（）， 则，，则，， 所以， 又，则联立得，解得，（舍去）， 所以直线方程为，过定点， 因此直线过定点， 又，则点在以线段为直径的圆上，所以圆心坐标为， 令点，则， 所以存在定点，使得为定值． 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即可； （2）由（1）求出点的坐标，结合对称性得到点的坐标，再根据数量积的坐标表示求出点的坐标，进而根据两点间的距离公式，点到直线的距离公式即可求出三角形面积； （3）分直线斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及向量垂直的坐标表示求出直线所过的定点，进而求出点的轨迹即可推理得证． 【详解】（1）令椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，且经过点， 则，解得， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知，椭圆，， 又在直线：上，且轴，则， 由对称性得关于原点对称，则， 设，则，， 由，化简得， 又，解得，，即点， 又， 点到直线的距离， 所以的面积为．    （3）略 例2．（2026·陕西·一模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3. (1)求椭圆的方程 (2)已知点，过点的直线交椭圆于两点（在轴下方），直线交直线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由 【答案】(1) (2)不为定值，理由如下： 设，直线， 联立方程，得到， 即，解得或， 又因为在轴下方，所以， 由韦达定理得到， 得到，即， 又因为， 所以 . 所以不为定值. 【分析】（1）列方程求解即可求解； （2）设，直线，联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而不为定值. 【详解】（1）因为直线被椭圆所截得的线段的长为3， 所以在椭圆上，则，即 又因为离心率为，即，且， 所以， 所以椭圆的方程. （2）略 例3．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)试证明为定值 【答案】(1) (2) (3)由（2）知，，，则． 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即， ， ， 所以， 而， 所以． 【分析】（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解； （2）设直线方程为，，，联立直线与双曲线方程，得，，再联立直线方程分别求出的横坐标，即可求解； （3）根据条件求出，即可求解. 【详解】（1）易知双曲线：的渐近线方程为，右焦点为， 由题意知， 解得，，， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，，，， 由题可设过的直线方程为，，， 联立，消整理得， 则，，， 又直线方程为，直线方程为， 联立解得 ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为． 所以直线的方程为．    （3）略 变式1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点． （i）若在轴上，求的取值范围； （ii）设为坐标原点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）设，则，， 直线的斜率，则直线的方程为， 令，可得，即, 直线的斜率，则直线的方程为， 令，可得，即, ||||， 因为，在双曲线上，所以，，即，， 将，代入上式可得 ， 所以为定值. 【分析】（1）利用实轴长，虚轴长，焦距和求解； （2）（i）设，用表示，再求取值范围；（ii）设，则，用的坐标表示再求解化简. 【详解】（1）实轴长，虚轴长，焦距得 实轴长是虚轴长 2 倍得，即 因为，所以 所以的标准方程是 （2）（i）双曲线与x轴交点：令，得，故 设在双曲线上：， 斜率，直线方程 令，得纵坐标： 斜率，直线方程 令，得纵坐标：， 由，得， 由，得 ，，所以， 故取值范围是； （ii）略 变式2．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线交于，两点，为坐标原点． (1)求抛物线的方程； (2)若为直角三角形，求直线的斜率； (3)点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交轴于点，探究是否为定值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)是定值1,理由如下： 由（2）可知， 且，， 又因为， 所以直线的方程为， 令，得 ， 即， 所以， 所以是定值1.    【分析】（1）由题意可得，求出的值即可得答案； （2）设的方程为，与抛物线方程联立，分、及分别求解； （3）由题意可求得，，利用点斜式求出直线的方程，进而可得点的坐标，代入化简即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设为， 所以的方程为， 由，得， 其中， 解得， 设, 由韦达定理可得：， 所以， 又因为为直角三角形， 当时，则有, 即， 即， 所以， 解得， 所以， 又因为在抛物线上， 所以， 整理得, 即， 解得； 同理当时，解得； 当时，所以,即， 所以， 解得，满足， 所以； 综上，或； （3）略； 变式3．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，结合已知条件得出，结合构造方程，结合点与，不重合，求出曲线的方程为； （2）设点，求出直线的方程，求出，求出直线，联立直线与曲线的方程求出，再根据得出椭圆方程，进而求出焦点即为定点，，使得为定值． 【详解】（1）设，则，， ，整理得， 又点与，不重合， 曲线的方程为． （2） 设，则直线：， 令，可得， 则直线：， 联立直线与曲线的方程得， 消去，整理得， ，解得， 由题意可知，， ， 整理得，即点在椭圆上， 椭圆的焦点为， 椭圆的焦点为， 在直线上存在两个定点，，使得为定值． 考点三 定直线问题 例1．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）． （ⅱ）假设点在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与轴垂直．     由题可知的斜率不为，且直线：， 直线：，联立， 得 ， 所以点在定直线上． 【分析】（1）设，由题可得，化简可得曲线方程； （2）（i）由题得，当的斜率为时，由可得直线方程；当的斜率不为时，设：，，，将直线方程与曲线方程联立，然后由结合韦达定理可得，据此可得答案； （ii）假设N在定直线上，由椭圆对称性可得该直线与x轴垂直，然后将直线AM与BN方程联立，结合韦达定理可得定直线方程. 【详解】（1）设，由题得， 即， 整理得， 所以 的方程为． （2）（ⅰ）由题得，     当的斜率为 时，可取，或，. 则，符合题意，此时的方程为 ；     当的斜率不为 时，设：，，， 联立，得， 则，，．     ，， 所以，即，不成立．     综上，的方程为 ．     （ⅱ）略 例2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与交于，两点，在线段上取异于，的点，且满足． （i）求证：点在定直线上； （ii）设直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由离心率和顶点坐标建立关于的方程，可得椭圆方程. （2）（i）先设直线方程，联立椭圆方程，韦达定理求出两根之和、两根之积；再用坐标表示出线段长度并且结合化简得出关于坐标的等式，最后将韦达定理代入求出关于的等式，代入直线方程可证. （ii）用坐标表示斜率，先根据（i）求出的值，再用韦达定理化简并求出，最后得出即可证明. 【详解】（1）由题意可知，， 又，所以，解得（舍去）， 所以椭圆的方程为：． （2）（i）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 不妨设，且， 由可得， 依题意， 所以， 又， 同理， 由得，化简得， 所以，整理得， 代入，并化简得， 所以点在直线上． （ⅱ）依题意， 由（ⅰ）易知（点N，P都在直线上）， ， 又，代入并整理得． 所以，即成等差数列． 例3．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，为第一象限内上的动点，，直线，的斜率之积为． (1)求的方程； (2)求四边形面积的最大值； (3)直线与直线交于点，过点且与平行的直线交直线于点，证明：点E在一定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）设，利用直线，的斜率之积为和椭圆方程列式求解即可； （2）将四边形拆分成，和，结合基本不等式求面积的最大值即可； （3）根据点坐标和直线斜率得到直线方程，与直线方程联立得到点坐标，再根据平行关系得到直线方程，再将直线与直线联立化简即可得解. 【详解】（1）由题意知，，设，则， 因为直线，的斜率之积为， 则，即得， 由题意得，所以，， 所以的方程为． （2）设坐标原点为，则的面积， 因为，且， 所以四边形的面积， 当且仅当，即，时等号成立， 所以， 当点P的坐标为时，四边形面积取得最大值为． （3）由得直线的方程为， 又直线的方程为， 由解得， 即， 因为，所以， 所以直线的方程为， 又， 所以直线的方程为， 由消去可得： ，整理得， 由，得， 所以， 故点在一定直线上，其方程为． 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为； （ii）证明：，，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【详解】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ）略 变式2．（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，. 因为为中点，所以，即. 又因为点都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【分析】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程； （2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上。 【详解】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为，与联立得. 设，由题意，得解得. （i）解：因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）略 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 参数法：参数解决定点问题的思路： ①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 变式3．（2026·安徽六安·模拟预测）已知点在双曲线上． (1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出双曲线方程，设，则过点的切线方程为，联立与两条渐近线方程，得到点坐标，利用求出面积为定值； （2）考虑直线斜率不存在，不合题意，故直线斜率存在，设直线方程，与双曲线方程联立，设出，得到两根之和，两根之积，再设点的坐标为，由得到，，消去参数得到点恒在一条定直线上. 【详解】（1）将代入双曲线中，， 解得，故双曲线方程为， 下面证明上一点的切线方程为， 理由如下：当切线方程的斜率存在时， 设过点的切线方程为，与联立得， ， 由 化简得， 因为，代入上式得， 整理得， 同除以得，， 即， 因为，， 所以， 联立，两式相乘得，， 从而， 故， 即， 令，则，即， 解得，即， 当切线斜率不存在时，此时切点为，切线方程为，满足， 综上：上一点的切线方程为， 设，则过点的切线方程为， 故为过点的切线方程， 双曲线的两条渐近线方程为， 联立与，解得, 联立与，解得, 直线方程为，即， 故点到直线的距离为， 且， 故的面积为 ，为定值； （2）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 故直线斜率存在，设直线方程， 与联立得， 由， 因为恒成立，所以， 故， 解得, 设，则， 设点的坐标为， 则由得，， 变形得到， 将代入，解得， 将代入中，解得， 则， 故点恒在一条定直线上. 【点睛】方法点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为 2 学科网（北京）股份有限公司 $